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  • 2021-06-21 发布

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第五章 2 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

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‎[基础题组练]‎ ‎1.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(  )‎ A.-a+b        B.a-b C.-a-b D.-a+b 解析:选B.设c=λa+μb,则(-1,2)=λ(1,1)+μ(1,-1),所以所以所以c=a-b.‎ ‎2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反,则x的值是(  )‎ A.2          B.-2‎ C.±2 D.0‎ 解析:选B.因为a与b方向相反,所以b=ma,m<0,则有(4,x)=m(x,1),所以解得m=±2.又m<0,所以m=-2,x=m=-2.‎ ‎3.已知A(1,4),B(-3,2),向量=(2,4),D为AC的中点,则=(  )‎ A.(1,3) B.(3,3)‎ C.(-3,-3) D.(-1,-3)‎ 解析:选B.设C(x,y),则=(x+3,y-2)=(2,4),所以解得即C(-1,6).由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5),所以=(0+3,5-2)=(3,3).‎ ‎4.(2020·温州瑞安七中高考模拟)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=(  )‎ A.-8 B.-4‎ C.4 D.2‎ 解析:选C.设正方形的边长为1,则易知c=(-1,-3),‎ a=(-1,1),b=(6,2);因为c=λa+μb,‎ 所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),‎ 解得λ=-2,μ=-,故=4.‎ ‎5.已知非零不共线向量,,若2=x+y,且=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是(  )‎ A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0‎ C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0‎ 解析:选A.由=λ,得-=λ(-),即=(1+λ)-λ.又2=x+y,所以消去λ得x+y-2=0,故选A.‎ ‎6.(2020·金华十校联考)已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(,0),(0,-2),O为坐标原点,动点P满足||=1,则|++|的最小值是(  )‎ A.-1 B.-1‎ C.+1 D.+1‎ 解析:选A.设点P(x,y),动点P满足||=1可得x2+(y+2)2=1.‎ 根据++的坐标为(+x,y+1),可得|++|=,表示点P(x,y)与点Q(-,-1)之间的距离.‎ 显然点Q在圆C:x2+(y+2)2=1的外部,求得QC=,|++|的最小值为QC-1=-1,‎ 故选A.‎ ‎7.已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,则锐角θ=________.‎ 解析:因为a∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0,得cos2θ=,所以cos θ=±,又因为θ为锐角,所以θ=.‎ 答案: ‎8.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则ab的最大值为________.‎ 解析:易知=(a-1,1),=(-b-1,2),由A,B,C三点共线知∥,故2(a-1)-(-b-1)=0,所以2a+b=1.‎ 由基本不等式可得1=2a+b≥2,当且仅当2a=b时等号成立,所以ab≤,‎ 即ab的最大值为.‎ 答案: ‎9.(2020·台州质检)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,向量a=(cos C,b-c),向量b=(cos A,a)且a∥b,则tan A=________.‎ 解析:a∥b⇒(b-c)cos A-acos C=0,即bcos A=ccos A+acos C,再由正弦定理得sin Bcos A=sin Ccos A+cos Csin A⇒sin Bcos A=sin(C+A)=sin B,即cos A=,所以sin A=,tan A==.‎ 答案: ‎10.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为2,且=λ+μ,则λ+μ=________.‎ 解析:因为∠DEB=∠ABC=45°,‎ 所以AB∥DE,‎ 过D作AB,AC的垂线DM,DN,‎ 则AN=DM=BM=BD·sin 45°=,‎ 所以DN=AM=AB+BM=2+,‎ 所以=+=+,‎ 所以λ=,μ=,‎ 所以λ+μ=1+.‎ 答案:1+ ‎11.已知=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上?‎ 解:由题设,知=d-c=2b-3a,‎ =e-c=(t-3)a+tb.‎ C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,‎ 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.‎ ‎①若a,b共线,则t可为任意实数;‎ ‎②若a,b不共线,则有 解之得t=.‎ 综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;‎ a,b不共线时,t=.‎ ‎12.(2020·杭州市七校高三联考)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且|DM|=1,|DN|=2,∠MDN=.‎ ‎(1)试用向量,表示向量,;‎ ‎(2)求||,||;‎ ‎(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若=x+y,求x,y的值.‎ 解:(1)如图所示,‎ =+=-;‎ =+=+=-.‎ ‎(2)由(1)知=-,=-,‎ 所以||==,‎ ‎||==.‎ ‎(3)由重心性质知:++=0,所以有:‎ ‎0=x+y+=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y).‎ 所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=.若动点P满足=(1-λ)+(λ∈R),则点P的轨迹与直线BC,AC所围成的封闭区域的面积为(  )‎ A.5 B.10‎ C.2 D.4 解析:选A.设=,因为=(1-λ)+=(1-λ)+λ,所以B,D,P三点共线.所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中,BC=7,AC=6,cos C=,所以sin C=,所以S△ABC=×7×6×=15,所以S△BCD=S△ABC=5.‎ ‎2.设两个向量a=(λ+2,λ2-cos2α)和b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,则的取值范围是(  )‎ A.[-6,1] B.[4,8]‎ C.(-∞,1] D.[-1,6]‎ 解析:选A.由a=2b,得 所以 又cos2α+2sin α=-sin2 α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,所以-2≤cos2α+2sin α≤2,所以-2≤λ2-m≤2,‎ 将λ2=(2m-2)2代入上式,得-2≤(2m-2)2-m≤2,得≤m≤2,所以==2-∈[-6,1].‎ ‎3.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________________.‎ 解析:由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能构成三角形,则,不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.‎ 答案:m≠ ‎4.(2020·浙江名校新高考研究联盟联考)如图,在等腰梯形ABCD中,‎ DC∥AB,AD=DC=CB=AB=1,F为BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧上变动,E为圆弧与AB的交点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是________.‎ 解析:建立平面直角坐标系如图所示,‎ 则A(0,0),E(1,0),D,B(2,0),‎ C,F;‎ 设P(cos α,sin α)(0°≤α≤60°),‎ 因为=λ+μ,‎ 所以(cos α,sin α)=λ+μ.‎ 所以 所以2λ-μ=sin α-cos α=2sin(α-30°),‎ 因为0°≤α≤60°,所以-1≤2sin(α-30°)≤1.‎ 答案:[-1,1]‎ ‎5.(2020·嘉兴模拟)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.‎ ‎(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;‎ ‎(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.‎ 解:(1)=t1+t2 ‎=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).‎ 当点M在第二或第三象限时,有 故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.‎ ‎(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).‎ 因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,且有公共点A,‎ 所以不论t2为何实数,A、B、M三点都共线.‎ ‎6.已知a=(1,0),b=(2,1).‎ ‎(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?‎ ‎(2)若=2a+3b,=a+mb且A、B、C三点共线,求m的值.‎ 解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),‎ a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).‎ 因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,‎ 即2k-4+5=0,得k=-.‎ ‎(2)法一:因为A、B、C三点共线,‎ 所以=λ,即2a+3b=λ(a+mb),‎ 所以,解得m=.‎ 法二:=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),‎ =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).‎ 因为A、B、C三点共线,所以∥.‎ 所以8m-3(2m+1)=0,‎ 即2m-3=0,所以m=.‎

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