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- 2021-06-21 发布
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2019-2020学年河北省张家口市第一中学高二上学期期中数学试题
一、单选题
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:集合,集合,所以,故选D.
【考点】1、一元二次不等式;2、集合的运算.
2.下列有关命题的说法错误的是( )
A.若“”为假命题,则p,q均为假命题
B.“ ”是“”的充分不必要条件
C.“”的必要不充分条件是“”
D.若命题p:,,则命题:,
【答案】C
【解析】根据复合命题的之间判定的真值表,可判定A;根据充要条件的定义,可判定B、C,根据存在性命题的否定,可得判定D,得到答案.
【详解】
由题意,对于A中,若“”为假命题,根据复合命题的真值表,可得p,q均为假命题,所以A是正确的;
对于B中,“”是“”是成立的,但当“”时,“”不一定是成立的,所以“”是“”是的充分不必要条件,所以B是正确的;
对于C中, “”时,“”不一定成立,而“”时,“”是成立的,所以“”的充分不必要条件是“”是错误的;
对于D中,根据存在性命题的否定可知,命题p:,,则命题:
,正确的,所以D是正确的;
综上可知,错误的为C,故选C.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用,复合命题的真假判定,充要条件以及含由量词的否定等知识点的应用,其中解答中熟记简易逻辑的相关知识点,合理应用是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
3.函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵2x>0,
故0≤4-2x<4,
∴函数值域为[0,2).
4.函数的部分图像如图所示,则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】试题分析:由题图知,,最小正周期,所以,所以.因为图象过点,所以,所以,所以,令,得,所以,故选A.
【考点】 三角函数的图像与性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是:先根据函数图像的最高点、最低点确定A,h的值,由函数的周期确定ω的值,再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值.
5.函数在点处的切线斜率为,则的最小值是( )
A.10 B.9 C.8 D.
【答案】B
【解析】对函数求导可得,根据导数的几何意义,,即
==()·)=+5≥2+5=4+5=9,当且仅当即时,取等号.所以的最小值是9.
故选B.
点睛:本题主要考查导数的几何意义,求分式的最值结合了重要不等式,“1”的巧用,注意取等条件
6.设等比数列的前n项和为,且满足,则
A.4 B.5 C.8 D.9
【答案】D
【解析】由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。
【详解】
由题意可得,,选D.
【点睛】
本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。
7.已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】试题分析:,,所以.
【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.
8.已知函数,则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】利用特殊值,对函数图象进行排除,由此得出正确选项.
【详解】
由于,排除B选项.
由于,,函数单调递减,排除C选项.
由于,排除D选项.故选A.
【点睛】
本小题主要考查已知具体函数的解析式,判断函数的图象,属于基础题.
9.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且若,则的形状是()
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】直接利用余弦定理的应用求出A的值,进一步利用正弦定理得到:b=c,最后判断出三角形的形状.
【详解】
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,
且b2+c2=a2+bc.
则:,
由于:0<A<π,
故:A.
由于:sinBsinC=sin2A,
利用正弦定理得:bc=a2,
所以:b2+c2﹣2bc=0,
故:b=c,
所以:△ABC为等边三角形.
故选:C.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
10.一直三棱柱的每条棱长都是,且每个顶点都在球的表面上,则球的半径为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析:球的半径满足
【考点】外接球
11.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为
A.相交
B.平行
C.异面而且垂直
D.异面但不垂直
【答案】D
【解析】解:利用展开图可知,线段AB与CD是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D
12.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截
得的弦长为2,则的离心率为 ( )
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】由几何关系可得,双曲线的渐近线方程为,圆心到渐近线距离为,则点到直线的距离为,
即,整理可得,双曲线的离心率.故选A.
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得
e(e的取值范围).
二、填空题
13.设复数,则复数的共轭复数为______.
【答案】
【解析】直接利用复数的四则混合运算化简求解即可.
【详解】
复数,则复数
.
复数的共轭复数为:
故答案为.
【点睛】
本题考查复数的四则混合运算,是基础题,分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.
14.已知抛物线的一条弦恰好以为中点,则弦所在直线方程是__________.
【答案】
【解析】设,,弦所在直线方程为,则,
∵,在抛物线上
∴
∴
∴,即
∴弦所在直线方程为
故答案为
点睛:弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦所在直线方程的斜率,方法一利用点差法,列出有关弦
的中点及弦斜率之间关系求解;方法二是直接设出斜率,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
15.函数的最小值是______.
【答案】
【解析】把式子进行配方,再把两个根式写成两点间距离公式的形式,根据式子
的几何意义可以求出函数的最小值.
【详解】
,
问题就可以转化为在直角坐标系中,在横轴上找到一点,使得该点到
两点的距离最小,如下图所示:
根据平面内,两点间线段最短,显然直线与横轴的交点就是到两点的距离最小的点,即.
故答案为:
【点睛】
本题考查了求函数的最小值问题,利用函数解析式的几何意义是解题的关键.
16.若数列满足,,则______ .
【答案】
【解析】利用递推公式再递推一步,得到一个新的等式,两个等式相减,再利用累乘法可求出数列的通项公式,利用所求的通项公式可以求出的值.
【详解】
得, ,
所以有,因此.
故答案为:
【点睛】
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累乘法,考查了数学运算能力.
三、解答题
17.已知命题p:方程有两个不相等的实数根;命题q:.
若p为真命题,求实数m的取值范围;
若为真命题,为假命题,求实数m的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)若为真命题,则应有,解得实数的取值范围;(2)若为真命题,为假命题,则,应一真一假,进而实数的取值范围.
【详解】
(1)若为真命题,则应有,解得;
(2)若为真命题,则有,即,
因为为真命题,为假命题,
则,应一真一假.
①当真假时,有,得;
②当假真时,有,无解,综上,的取值范围是.
18.等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求的值.
【答案】(1);(2)
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为.
由已知得,
解得.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得.
所以
.
【考点】1、等差数列通项公式;2、分组求和法.
19.某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
【答案】(1);(2),;(3).
【解析】试题分析:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得;(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5可得;(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数
试题解析:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1得:
x=0.0075,所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是=230. ------------- 5分
因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,
设中位数为a,
由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5
得:a=224,所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.0125×20×100=25户,
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15户,
月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100=10户,
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100=5户, -------------10分
抽取比例==,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户.-- 12分
【考点】频率分布直方图及分层抽样
20.如图:在三棱锥中,,是直角三角形,,
,点分别为的中点.
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的大小;
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】试题分析:以分别为轴建立空间直角坐标系,写出各点的坐标.(1)计算,可得两直线垂直;(2)计算直线的方向向量和平面的法向量,可求得线面角的余弦值,用反三角函数表示出这个角的大小;(3)分别求出平面,平面的法向量,利用法向量求两个平面所成角的余弦值,然后转化为正切值.
试题解析:
解法一(1)连接。在中,.
,点为的中点,
∴.
又,即为在平面内的射影,∴.
分别为的中点,
∴,
∴.
(2),∴.
连结交于点,,∴,
∴为直线与平面所成的角,.
,∴,又,
∴.,∴,
∴在中,,∴,
即直线与平面所成角的大小为.
(3)过点作于点,连结,,
∴,即为在平面内的射影,
,∴为二面角的平面角.
∴中,,
∴,即二面角的正切值为.
解法二 建立空间直角坐标系,如图
则.
(1)∴,
∴,
∴.
(2)由已知可得,为平面的法向量,,
∴,
∴直线与面所成角的正弦值为.
∴直线与面所成角的为.
(3)设平面的一个法向量为,
∴,
∴,令,
∴.
由已知可得,向量为平面的一个法向量,
∴,
∴.
∴二面角的正切值为.
【考点】空间线面关系的证明,求面面角.
21.已知椭圆 的左焦点为,且椭圆上的点到点的距离最小值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知经过点的直线与椭圆交于不同的两点、,且,求直线的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由左焦点为,得,在根据椭圆上的点到点的距离最小值为,得,即可求解的值,得到椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,代入椭圆的方程,根据根与系数的关系及弦长公式,得出方程,即可求解的值.
试题解析:(1);
(2).
【考点】椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用.
22.已知函数.
(I)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求的定义域,再求,,,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为(Ⅱ)构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.
试题解析:(I)的定义域为.当时,
,
曲线在处的切线方程为
(II)当时,等价于
设,则
,
(i)当,时,,故在上单调递增,因此;
(ii)当时,令得
.
由和得,故当时,,在单调递减,因此.
综上,的取值范围是
【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法:
(1)确定函数y=f(x)的定义域;
(2)求导数y′=f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.