专题11-3抽象函数及其应用第三季-2019年领军高考数学（理）压轴题必刷题 6页

专题11-3抽象函数及其应用第三季 ‎1．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则（5）的值为　　‎ A．0 B．1 C．2 D．5‎ ‎【解答】解：根据题意，由得，当且时，，‎ 令，则是周期为2的函数，所以（5）（1）（1），‎ 令，由得（1），‎ 又因为是偶函数，所以（1），所以（1），‎ 所以，所以（5）．‎ 故选：．‎ ‎2．对任意实数都有（2），若的图象关于成中心对称，（1），则　　‎ A．0 B．3 C．6 D．‎ ‎【解答】解：对任意实数都有（2），‎ 可得（2）（2），‎ 即（2），‎ 若的图象关于成中心对称，‎ 可得的图象关于原点对称，‎ 即，‎ 即有（2），‎ 则（2），‎ 可得，‎ ‎，‎ 即有为周期为8的奇函数，‎ 由（1），‎ 则 ‎（1）（2），‎ 故选：．‎ ‎3．定义在上的偶函数满足，且在，上是减函数，若，是锐角三角形的两个内角，则　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4．若定义在上的偶函数满足，且当，时，，则函数的零点个数是　　‎ A．3 B．5 C．8 D．10‎ ‎【解答】解：定义在上的偶函数满足，且当，时，，‎ 可得，‎ 即为周期为2的偶函数，且当，时，，‎ 函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，‎ 分别作出函数和的图象，‎ 可得它们的交点个数为3个，‎ 故选：．‎ ‎5．已知函数是定义在上的增函数，当时，．若，其中，则（1）　　‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎6．定义在上的函数，满足，当时，，且当时，有，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解定义在上的函数满足，，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎（1），‎ ‎（1）；‎ ‎，；‎ ‎（1），‎ ‎；‎ ‎，且当时，有，‎ ‎，‎ 又．‎ ‎（1）．‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎7．已知函数是上的偶函数，对于任意都有（3）成立，当，，，且时，都有．给出以下三个命题：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②函数在区间，上为增函数；‎ ‎③函数在区间，上有五个零点．‎ 问：以上命题中正确的个数有　　‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【解答】解：根据题意，对于任意，都有 （3）成立，‎ 令，则（3），‎ 又因为是上的偶函数，所以（3），则有 ，所以的周期为6；‎ 据此分析三个命题：‎ 对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为轴，又由函数的周期为6，‎ 则直线是函数图象的一条对称轴，①正确；‎ 对于②，当，，，且时，都有，‎ 则函数在，上为增函数，‎ 因为是上的偶函数，所以函数在，上为减函数，‎ 而的周期为6，所以函数在，上为减函数；②错误；‎ 对于③，（3），的周期为6，‎ 所以（3）（9），‎ 函数在，上有四个零点；③错误；‎ 三个命题中只有①是正确的；‎ 故选：．‎ ‎8．已知满足，则以下四个选项一定正确的是　　‎ A．是偶函数 B．是奇函数 ‎ C．是偶函数 D．是奇函数 ‎9．已知函数满足：且（1），那么　　‎ A．1009 B．2018 C．3027 D．4036‎ ‎【解答】解：由意题，且（1），可得令，，‎ 可得，可得（1）（2）（3），‎ 那么： ‎ ‎（1）（2）（2）（4）（6）‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎10．若定义在上的偶函数满足且，时，，则方程的零点个数是　　‎ A．2个 B．3个 C． 4个 D．6个 ‎【解答】解：方程的零点个数 即函数与函数的交点的个数，‎ 作函数与函数的图象如下，‎ 则由图象可知，有四个不同的交点，‎ 故选：． ‎