2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12号的学生，则在第八组中抽得号码为______的学生.‎ A．36 B．37 C．41 D．42‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设知第八组的号码数比第三组的号码数大(8-3)5,由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：由这50名学生随机编号1~50号,并分组,第一组1~5号,第二组6~10号,...,第十组46~50号,在第三组中抽得号码为12的学生,则在第八组中抽得号码为12+(8-3)5=37.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的方法，牢记系统抽样的定义及性质是解题的关键.‎ ‎2．命题“，”的否定是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．不存在，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：命题“，”的否定是“，”.‎ 故选: A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的否定，牢记特称命题的否定是全称命题是解题的关键.‎ ‎3．抛物线的焦点到准线的距离为( )‎ A． B． C．8 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据抛物线性质, 由抛物线方程y=4x, 可知焦点为 (1, 0), 准线为x=-1;再求出点 (1, 0) 到直线x=-1的距离, 即可解答.‎ ‎【详解】‎ 解：由题可知抛物线的焦点为 (1, 0), 准线为 x=-1,‎ 所以焦点到准线的距离为2.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道求抛物线焦点到准线距离的题目,解题关键在于掌握抛物线的性质求解.‎ ‎4．已知命题,命题,则下列判断正确的是( )‎ A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由基本不等式可得，当且仅当x=2取得等号，所以命题p正确，‎ 又只有当时，，但，所以命题q错误，所以正确，所以是真命题，‎ 故选C ‎【考点】本题考查判断命题的真假 点评：解决本题的关键是利用基本不等式判断命题p的真假以及指数运算判断q的真假 ‎5．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，‎ ‎ 所以设双曲线的方程为，‎ ‎ 把点代入，得，‎ ‎ 所以双曲线的方程为，故选D．‎ ‎6．已知为三条不同直线,为三个不同平面,则下列判断正确的是( )‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 ‎【答案】C ‎【解析】根据直线与直线平行与垂直的判定定理一一进行判断可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解： A项,若,则,则与可能平行,可能相交,也可能异面,故A项错误；‎ B项,若 ，则直线可能在平面内,也可能,则直线和直线可能异面、相交或 平行,故B项错误:‎ C项,若.则直线平行于两平面的交线,即,故C项正确；‎ D项，, 则可能平行于,此时若,不能说明,故D项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中直线与平面间的位置关系及直线与直线平行与垂直的判定，牢记各定理并灵活运用是解题的关键.‎ ‎7．设，则“”是“”的( )‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎，‎ 则，‎ 可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角.则四面体的外接球的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得球的直径恰好是正方形对角线, 从而可求球的体积=.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意不妨设球的球心为0,可得OA=OB=OC=OD=AC,‎ 球的直径恰好是正方形对角线, 所以球的半径R=1,‎ 所以球的体积=，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查球的内接多面体及球的体积与表面积的计算，得出球的直径恰好是正方形对角线是解题的关键.‎ ‎9．已知,若,使得,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使命题成立需满足≥, 利用函数的单调性, 可求最值,可得到实数m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：要使命题成立需满足≥，‎ 函数在[0,3]上是增函数,所以=f(0)=0,‎ 在[1,2]上是减函数,所以=g(2)=，‎ ‎ ，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数、对数函数的性质及全称命题、特称命题，本题易出现两个易错点:一是不能正确对含有量词的命题进行转化, 转化为函数最值;二是函数最值求解错误.纠错方法是从本质上理解全称命题、特称命题与函数最大值、最小值之间的关系,同时熟练掌握求函数值域的常用方法.‎ ‎10．已知是双曲线的左、右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由为等腰三角形, 且，可得==2c，P点坐标(2c，)，由点在过点且斜率为的直线上，可得，可得e的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得双曲线焦点在x轴上,设=2c.‎ ‎ 为等腰三角形, 且， ==2c，‎ ‎ ，可得P点的坐标为（c+2ccos，2csin），即P(2c，)，‎ 点在过点且斜率为的直线上， ，可得，即e=2，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质及应用，得出P点坐标(2c，)后得是解题的关键.‎ ‎11．已知椭圆的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则＝( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由, 得,设B点到直线的距离设为, 利用椭圆方程中的a,b求得c, 可求得, 然后根据椭圆的第二定义求得的长, 可得的长.‎ ‎【详解】‎ 解：由椭圆，可得a=，b=1，c=1，‎ 椭圆的右焦点为F，可得F(1,0),则l：是椭圆的右准线，‎ ‎ ， ,‎ 设B点到直线l的距离为，则，‎ ‎ =，根据椭圆的定义，‎ ‎,得=，‎ ‎ = =‎ 故答案为: C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单性质，注意需灵活运用其性质解题.‎ ‎12．如下图,在棱长为3的正方体中,是的中点,为底面所在平面内一动点,设与底面所成的角分别为(均不为0),若,则点到直线的距离的最大值是( )‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设P点坐标（x，y，0），由，可得 tan=tan，可得,即:，可得，可得点到直线的距离的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设P点坐标（x，y，0）， ，tan=tan，‎ ‎ ,即:，‎ 整理可得：，可得，‎ 可得当x=4时，y可取最大值2，‎ 即: 点到直线的距离的最大值为2，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中动点轨迹的相关问题，正确求出P点轨迹方程是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．双曲线的实轴端点为，不同于的点在此双曲线上，那么的斜率之积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据双曲线M、N的坐标，设P点的坐标为（x，y），可得的斜率，两者相乘整理可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由双曲线的实轴端点为，可得M（-2，0），N(2，0)，‎ 设P点的坐标为（x，y），可得，，‎ 可得==，将代入可得 ‎=，‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的性质及直线的斜率，掌握双曲线的性质并灵活运用是解题的关键.‎ ‎14．若直线与抛物线相交于不同的两点，且中点纵坐标为，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由直线与抛物线相交于不同的两点，可得k≠0，同时联立，得，由，由中点纵坐标为，可得k的值，检验可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：直线与抛物线相交于不同的两点，k≠0，‎ 由，可得，‎ ‎ ，由中点纵坐标为，‎ ‎ =4，解得：k=-1或者k=2，‎ 检验，当k=-1时，方程只有一个解，即A、B两点重合，‎ k≠-1，k=2.‎ 故答案：2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要注意韦达定理和中点公式的合理运用.‎ ‎15．已知，，则内切圆的圆心到直线的距离为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由三角形三个顶点得出△ABC为等边三角形，再求出内切圆的圆心，再由点到直线的距离公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知得：，，,可得,,‎ ‎ 为等边三角形，可得内切圆的圆心即为三角形的中心，‎ ‎ 的内心的横坐标为=，纵坐标为，内心的坐标为（，1），‎ 点（，1）到直线的距离为：d==1，‎ 故答案：1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等边三角形的内心计算及点到直线的距离公式，判断出为等边三角形并计算出内心坐标是解题的关键.‎ ‎16．已知两定点，点在椭圆上，且满足，则=_______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】设P(x，y)，可得P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得，可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：设P(x，y)，由，，可得点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，b=，‎ P的轨迹方程为：（x≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：，‎ 可得，‎ ‎ ===9,‎ 故答案：9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列和等比数列满足．‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)求和：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）由，=6，可得d的值，等差数列可得的通项公式；‎ ‎(2) 由（1）中结论，可得=16，可得=4，可得是以1为首项，以=4为公比的等比数列，可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知:，=1+d+1+3d=6,解得：d=1，‎ 所以的通项公式：=.‎ ‎(2)由（1）中结论，可得=16，‎ ‎ ==16， =4，‎ ‎ 是以1为首项，以=4为公比的等比数列，通项公式为：=，‎ ‎ ==.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列、等比数列及数列的求和，灵活运用数列的性质是解题的关键.‎ ‎18．已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线.‎ ‎(Ⅰ)若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 先由命题解得；命题得，‎ ‎（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则 ‎ ‎，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ 命题：由题得，又，解得；‎ 命题：，解得．‎ ‎（1）若，命题为真时，，‎ 当为真，则真且真，‎ ‎∴解得的取值范围是．‎ ‎（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，‎ 设，，则 ；‎ ‎∴∴实数的取值范围是．‎ ‎19．已知的面积为，且.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)若，，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）由已知和三角形面积公式可得，进而得到，由二倍角的正切公式可得答案;‎ ‎(2)由（1）式中的，可得由两角和的正弦公式可得，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）设的角所对应的边分别为，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴∴. ‎ ‎（Ⅱ），即， ‎ ‎ ∵，，∴，.‎ ‎∴，‎ 由正弦定理知：， ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.‎ ‎20．已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为,为坐标原点．‎ ‎(Ⅰ)求的轨迹方程；‎ ‎(Ⅱ)当时，求的方程及的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）(或) ， ‎ ‎【解析】(1)由圆C的方程求出其圆心坐标与半径，设，由可得M的轨迹方程；‎ ‎（2）由于，可得在线段的垂直平分线上，，可得的方程与的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）圆C的方程可化为，∴圆心为，半径为4，设，∴由题设知 ，即.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.设其圆心为N，则N(1,3),由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.‎ ‎∵的斜率为3 ‎ ‎∴的方程为.(或). ‎ 点O到直线的距离d==，又=,‎ 故=‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程、直线的方程、平面向量的数量积以及直线的交点坐标与距离公式，解决此类与圆有关的问题时，可以恰当利用圆的几何性质可以有效的化简运算.‎ ‎21．设抛物线，点，过点的直线与交于(在轴上方)两点.‎ ‎(Ⅰ)当时，求直线的方程；‎ ‎(Ⅱ)在轴上是否存在点，使得,若存在，求点出坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（或）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】(1) 设直线，由，可得，联立直线与抛物线可得k的值，可得直线的方程；‎ ‎(2) 若存在，由，可得，，结合（1）中联立的方程组可得t的值，可得的坐标.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）设, 直线 ‎，.‎ ‎∵‎ ‎ ∴‎ ‎∴直线的方程为（或）‎ ‎（Ⅱ）若存在，.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴存在坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的问题，注意联立直线与抛物线求解并注意计算准确.‎ ‎22．已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ)点是曲线与轴正半轴的交点，点、在曲线上，若直线、的斜率分别是、，满足，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分析条件可得圆心满足条件>，从而可得曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去x整理得到关于y的方程，进一步可得 ‎，由可求得，从而，从而 可得 ，从而可得三角形面积的最大值。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得圆的圆心为，半径为，‎ 点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切，所以动圆与圆内切。‎ 设动圆半径为，则 .‎ 因为动圆经过点，所以, >,‎ 所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆. ‎ 设椭圆的方程为 则，‎ ‎∴,‎ ‎∴曲线的方程为． ‎ ‎（2）当直线的斜率为0时，不合题意；‎ 设直线的方程为，‎ 由消去x整理得，‎ 设， ‎ 则，‎ 由条件得点A坐标为（1,0），‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎ =.且，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 故直线BC过定点（2，0），‎ 由，解得， ‎ ‎∴ ，当且仅当时取等号。‎ 综上面积的最大值为.‎ 点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时为了避免对斜率存在与否的讨论，也可设直线的方程为。 ‎