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- 2021-06-21 发布
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高二年级数学试卷
考试时间120分钟 试卷总分150分
一、选择题(本大题共12小题,共60分)
1.若,则 ( )
A. 1
B.
C.
D.
2. 是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 方程的根所在的区间是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在
这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A.
B.
C.
D.
5.空间中点关于平面的对称点与的距离为( )
A. B. C. D.
6. 三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积( )
A.
B.
C.
D.
7.以下茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩
(单位:分).已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,
则、的值分别为( )
A.、
B. 、
C. 、
D. 、
8. 函数的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
9. 数列中,,以后各项由公式给出,则等于( )
A. B. C. D.
10. 已知圆O的方程为,向量,,点P是圆O上任意一点,那么的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11.椭圆 的左、右焦点分别为 ,弦过点,若的内切圆周长为 ,两点的坐标分别为 和 ,则 的值是 ( )
A. B. C. D.
12. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心和垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线。已知△ABC的顶点,,若其欧拉线的方程为,则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D. 或
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.若关于的不等式的解集为,则 .
14.已知是正实数,且,则的最小值为________.
15.从长度为的四条线段中随机地选取三条线段,则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是_____.
16.已知双曲线: (, )的一条渐近线为,圆: 与交于两点,若是等腰直角三角形,且(其中
为坐标原点),则双曲线的离心率为________.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题10分)已知函数
(1)求的单调递增区间和对称中心;
(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围.
18.(本题12分)已知圆的圆心在直线上,且圆经过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)直线过点且与圆相交,所得弦长为4,求直线的方程.
19.(本题12分)设数列是等差数列,数列是各项都为正数的等比数列,且满足
,,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,,,求.
20.(本题12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的a值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;
(3)估计居民月均用水量的中位数.
21.(本题12分)如图1, 在直角梯形中,,,,为线段的中点. 将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
22.(本题12分)设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于不同的两点,,线段中点的横坐标为,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点,且斜率为的直线被抛物线截得的弦为,若点在以为直径的圆内,求的取值范围.
数学试题答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
A
B
C
D
D
D
A
C
D
D
A
13.
1
14.
9
15.
16.
10. 解:因为点P是圆上任意一点,所以设点P的坐标为,
,所以的取值范围是 .
12.
17.解:(1)…………2分
的单调递增区间为…………4分
对称中心为,…………6分
(2)由恒成立,可得恒成立,
又,, …………8分
的取值范围是…………10分
18.解:(1);(2)或.
(1)设圆心为,则应在的中垂线上,其方程为,
由,即圆心坐标为
又半径,故圆的方程为.………………6分
(2)点在圆上,且弦长为,故应有两条直线.
圆心到直线距离.
①当直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时圆心到直线距离为1,符合题意.………………8分
②当直线的斜率存在时,设为,直线方程为
整理为,则圆心到直线距离为,
解得,直线方程为,
综上①②,所求直线方程为或.………………12分
19.(1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q.
∵a1=1,b1=3,a2+b3=30,a3+b2=14,
∴,化为2q2﹣q﹣15=0,
解得:q=3,d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3n.................6分
(2) cn=(an+1)•bn=2n•3n,
∴Tn=2(3+2×32+…+n•3n),
3Tn=2[32+2×33+…+(n﹣1)×3n+n•3n+1],
∴﹣2Tn=2(3+32+…+3n﹣n×3n+1)=2(1﹣2n)×3n+1﹣3,
∴Tn.
......................12分
20.解:(1)由题意,根据频率分布直方图的性质,可得
(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,
整理得2=1.4+2a,解得a=0.3.………………4分
(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,
理由如下:
由已知中的频率分布直方图,可得月均用水量不低于3吨的频率为
(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,………………6分
又由样本容量为30万,所以样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.
...........8分
(3)根据频率分布直方图,得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48<0.5,
0.48+0.5×0.50=0.73>0.5,∴中位数应在[2,2.5)组内.
设出未知数x,令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.50×x=0.5,
解得x=0.04,所以中位数是2+0.04=2.04.………………12分
21.解法一:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,
故……………………………………………-3分
∵面面,面面,面,
从而平面……………………………………………6分
(Ⅱ)取的中点,的中点,连结,
∵是的中点是的中位线,是的中
位线,∴,
又(Ⅰ)可知平面
∴平面
∵平面∴
又∴
连结,∵∴平面
又平面, ∴
∴是二面角的平面角……………………………………………9分
在中,,,∴
∴
∴二面角的余弦值为.……………………………………………12分
解法二: (Ⅰ)在图1中,可得,从而,
故……………………………………………2分
取中点连结,则,又面面,
面面,面,从而平面,…………………………4分
∴
又,,
∴平面……………………………………………6分
(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,……8分
设为面的法向量,
则即,解得
令,可得……………………………10分
又为面的一个法向量
∴
∴二面角的余弦值为.…………………12分
22.解:(1)由题意,设点,,
则线段中点的横坐标为,所以,
又,得,
所以抛物线的标准方程为.………………4分
(2)设,过点,且斜率为的直线方程为,
联立 ,消去得:
,………………8分
易知抛物线的,由已知可得:,
解得:,………………10分
符合.综上:的范围是.………………12分