【数学】广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考（理） 11页

广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考（理）‎ 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数 A． B． C． D．‎ ‎3．已知，，且，则向量与夹角的大小为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若，则cos2α=（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至县区的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的，分别是（ ）‎ A．12，23 B．23，‎12 C．13，22 D．22，13‎ ‎8．如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（ ）‎ A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定 C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定 ‎9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在等比数列中，，且，，则等于（ ）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎11．若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．设变量满足约束条件,则的最大值是_________.‎ ‎14．求曲线在点处的切线方程是________.‎ ‎15．的展开式中的系数为__________．‎ ‎16．已知函数是定义在R上的偶函数，满足，若时，，‎ 则函数的零点个数为___________．‎ 三、解答题 ‎17．已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求这个数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：‎ ‎（1）求高一、高二两个年级各有多少人？‎ ‎（2）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生为“运动达人”.‎ ‎①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；‎ ‎②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.‎ ‎19．已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20．已知椭圆经过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.‎ ‎21．已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）求的值，并讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，，求证：.‎ 参考答案 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C C C A B B D A B C B 二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.）‎ ‎（13） 18 （ 14） （15） 9 （16）2‎ 三、解答题（本大题共6个小题,共70分）‎ ‎17. 解：（1）当且时，…①‎ 当时，，也满足①式数列的通项公式为：‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎18. 解：（1）设高一年级有人，高二年级有人.‎ 采用分层抽样，有.所以高一年级有人，高二年级有人. ‎ ‎（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.‎ 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.‎ ‎（3）的所有可能取值为. ‎ ‎,,.‎ 所以的分布列为 故的期望.‎ ‎19. 解：（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，‎ 因为且平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为平面， 平面，且平面平面，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知且，因为，且为的中点，‎ 所以，所以平面，所以与平面所成的角为，‎ 所以，所以，因为，所以． ‎ 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则 ‎，‎ 所以．‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以，‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以， ‎ 记二面角的大小为，则．‎ 所以二面角的余弦值为 ． ‎ ‎20. 解：（1）由题意，得，结合，得，，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 代入椭圆方程，整理得，‎ 由得，‎ 设，，则，，‎ 因为，所以，所以，‎ 即，‎ 其中，‎ ‎，‎ 代入整理得，即，‎ 当时，直线过点，不合题意；‎ 所以，此时满足，‎ 则直线的方程为，直线过定点，‎ 所以当时，点到直线的最大距离；‎ 当直线的斜率不存在时，设其方程为，由，，‎ 代入可得，‎ 结合可得或（舍去）， 当时，点到直线的距离为，‎ 综上，点到直线的最大距离为.‎ ‎21. 解：（1）由题知，又，即，‎ ‎∴ ，令，得；令，得，‎ 所以函数在上单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）依题意知，当时，恒成立，即，‎ 令，只需即可，‎ 又，令，，‎ 所以在上递增，∴ ，∴ ，所以在上递增，‎ ‎∴ ，故.‎ ‎22．解：（1）.‎ 当时，由，解得，此时；当时，不成立；‎ 当时，由，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）要证，即证，‎ 因为，，所以，，，‎ ‎.‎ 所以，.故所证不等式成立.‎