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- 2021-06-21 发布
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唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则集合中元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设复数满足,则( )
A. B. C. D.
3.命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
4.从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字,则这两个数字之积小于5的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的渐进线方程为,则( )
A. B. C. D.
6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知,均为锐角,且,则( )
A. B. C. D.
8.函数,的最小值为0,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的结果为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10.已知函数()的图象关于轴对称,则在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
11.已知平面平面,平面平面,平面平面,则下列命题:
①若,则,;②若,则;③若,,则.
其中正确的命题是( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
12.已知是定义在上的可导函数,且满足,则( )
A. B. C.为减函数 D.为增函数
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.函数的定义域为 .
14.平行四边形中,,则 .
15.在中,,,,则边上的高是 .
16.已知椭圆:的右焦点为,上、下顶点分别为,,直线交于另一点,若直线交轴于点,则的离心率是 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知是等差数列,是各项均为正数的等比数列,,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和.
18.共享单车的出现方便了人们的出行,深受我市居民的喜爱.为调查某校大学生对共享单车的使用情况,从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100位同学进行调查,得到这100名同学每周使用共享单车的时间(单位:小时)如表:
使用时间
人数
10
40
25
20
5
(Ⅰ)已知该校大一学生由2400人,求抽取的100名学生中大一学生人数;
(Ⅱ)作出这些数据的频率分布直方图;
(Ⅲ)估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
19.在四棱锥中,平面,,,,,为的中点,为棱上一点.
(Ⅰ)当为何值时,有平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求点到平面的距离.
20.已知的顶点,点在轴上移动,,且的中点在轴上.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知过的直线交轨迹于不同两点,,求证:与,两点连线,的斜率之积为定值.
21.已知函数的图象与轴相切.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求证:.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线与曲线相交于,两点,点,求.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数,为不等式的解集.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)证明:当,时,.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12:
二、填空题
13. 14.1 15. 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)设数列的公差为,的公比为(),则
解得或(舍),
所以,.
(Ⅱ).
18.解:(Ⅰ)设抽取的100名学生中大一学生有人,则,解得,
所以抽取的100名学生中大一学生有30人.
(Ⅱ)频率分布直方图如图所示.
(Ⅲ),
所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时.
19.解:(Ⅰ)当时,有平面.
取中点,连接,,
∵,分别为,的中点,
∴,且.
又∵梯形中,,且,
∴,且,
∴四边形为平行四边形,
∴,
又∵平面,平面,∴平面,
即当时,平面.
(Ⅱ)∵为的中点,
∴点到平面的距离等于点到平面的距离,设点到平面的距离为,
由已知可得,,,
∴,,
由,得,
∴,
所以点到平面的距离为.
20.解:(Ⅰ)设(),因为在轴上且中点在轴上,所以,由,得,
化简得,所以点的轨迹的方程为().
(Ⅱ)直线的斜率显然存在且不为0,
设直线的方程为,,,
由得,
所以,,
,同理,
,
所以与,两点连线的斜率之积为定值4.
21.解:(Ⅰ),
设的图象与轴相切于点,
则即解得,
所以,
等价于.
设,则,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以,
即,(*)
所以.
(Ⅱ)设,,
由,得.
由(*)式可得,当时,,即;
以代换可得,有,即.
所以当时,有.
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
又因为,所以,
即.
22.解:(Ⅰ)曲线的普通方程为,
曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)将直线的参数方程代入的直角坐标方程整理得:,
,
由的几何意义可知:.
23.解:(Ⅰ)
由的单调性及得,或.
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,所以,,
,
所以,
从而有.