【推荐】专题06 数列（第01期）-2016-2017学年高三数学（文）期末优质试卷 33页

www.ks5u.com 一．基础题组 ‎1. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，7】设数列满足，（），若数列是常数列，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为数列是常数列，所以，即，解得，故选A.‎ 考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系.‎ ‎2. 【河北唐山2017届高三上期期末，7】已知是等比数列，且 ，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A 考点：等比数列的通项公式．‎ ‎【一题多解】因为，所以，所以，解得，所以，所以，故选A．‎ ‎3. .【广东汕头2017届高三上学期期末，4】设是数列的前项和，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：数列的通项公式．‎ ‎4. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，5】设分别是等差数列的前项和，若，则(　) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：选C.‎ 考点：等差数列性质 ‎【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎5. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，5】已知是数列的前项和，且，则（ ）．‎ A．72 B．88 C．92 D．98‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：为等差数列，公差为3，所以由得，选C.‎ 考点：等差数列定义 ‎6. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，6】已知等差数列的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】A ‎7. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，6】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等比数列的首项为，则有，，‎ ‎，所以此人第天和第天共走了里，故选C.‎ 考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.‎ ‎8. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，3】在等差数列中，若，那么等于（ ）‎ A．4 B．5 C．9 D．18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据等差数列的性质可知，所以故选C.‎ 考点：等差中项．‎ ‎9. 【山西运城2017届高三上学期期中，14】设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎10. 【湖南五市十校教研教改共同体2017届高三上学期12月联考，13】数列的前项和为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ‎ 考点：分组求和 ‎11. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，10】设是等比数列的前项和，若，则的值为 . ‎ ‎【答案】‎ 考点：等比数列求和 ‎12. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，11】已知等比数列中，，则其前项之和为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，所以．‎ 考点：等比数列的通项公式及前项和公式 二．能力题组 ‎1. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，11】已知在正项等比数列中，存在两项满足，且，则的最小值是（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设数列的公比为，则由得，解之得 或（舍去），因为存在两项满足，所以，解之得，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是,故选A.‎ 考点：1.等比数列的性质；2.基本不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列的性质与基本不等式，属中档题；对于解决数列与不等式的综合问题的常用方法有：数列与不等式的恒成立问题，通常通过构造函数，利用函数的单调性、极值等解决；数列与有关的最值问题，通常通过适当的变形构造基本不等或函数求解；与数列有关的不等式证明问题，要灵活应用不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.‎ ‎2. 【山西运城2017届高三上学期期中，9】已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前9项和为（ ）‎ A．9 B．27 C．54 D．72‎ ‎【答案】B 考点：等比数列.‎ ‎3. 【云南大理2017届高三上学期第一次统测，16】若数列的首项，且；令，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由可知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以 ‎，因此 考点：等比数列的通项公式与等差数列求和．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式构造数列是以为首项，为公比的等比数列.据此得到数列的通项公式，根据对数运算得到是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前项和公式求解.‎ ‎4. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，16】已知数列的通项公式分别是，，若，对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：不等式恒成立 ‎【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎5. 【河北唐山2017届高三上期期末，16】已知数列的前项和，则数列 的前项和等于 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．‎ ‎6. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，16】数列满足，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，解得，，，同理，即数列是一个周期数列，周期是为，且，所以.‎ 考点：1.数列的递推关系；2.数列的性质.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列的递推关系、数列的性质，属中档题.数列是特殊的函数，函数的周期性可在数列中应用，本题就是利用了数列的周期性求解的，数列周期的判断方法一般是通过求出数列的前若干项，通过观察规律得到的.‎ ‎7. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，15】设数列是首项为1公比为2的等比数列前项和，若，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎8. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，16】已知函数，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，令 ，则，所以.‎ 考点：1.函数的对称性；2.倒序相加法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查.函数的对称性与倒序相加法求数列的和，属中档题；数列是特殊的函数，将数列与函数综合是情理之中，倒序相加法是等差数列求和的重要思想，利用函数的对称性特点考查倒序相加法，是本题的亮点.‎ 三、拔高题组 ‎1. 【广东湛江市2017届高三上学期期中，17】（本小题满分12分）‎ 已知数列是递增的等比数列，且.‎ ‎（Ⅰ）若，证明：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ 考点：1.等差数列、等比数列的通项公式及性质；2.裂项相消法求和.‎ ‎2. 【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，17】（本小题满分12分）‎ 已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 又，（当且仅当时取等号），‎ 所以.‎ 即实数的取值范围是.………………12分 考点：1.等差数列的定义与性质；2.裂项相消法求数列的和；3.基本不等式；4.数列与不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、裂项相消法求数列的和、基本不等式、数列与不等式相关知识，属中档题；解决数列性质与求和问题，基本量法是最通用的方法，本题在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．‎ ‎3. 【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，18】（本小题满分12分）‎ 在等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前项的和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎ ②…………………………………………………………（8分）‎ ‎①②，得：‎ ‎………………………………………（9分）‎ 故：…………………………………………………………………………（10分）‎ 即．……………………………………………………………………………（12分）‎ 考点：1.等差数列的定义与性质；2.错位相减法求和.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的定义与性质、错位相减法求和，属中档题；数列前项和常用的方法有六种：(1)公式法；（2）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；‎ ‎（3）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（4）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（5）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．（6）倒序相加法.‎ ‎4. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，17】（1）等差数列的各项均为正数，，前项和为，，求；‎ ‎（2）已知函数，，求的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）∵，，‎ 又，从而，‎ ‎∴时，；时，，‎ 故函数的值域为．‎ 考点：1.等差数列的性质及前项和公式；2.三角恒等变换；3.三角函数的图象与性质.‎ ‎5. 【河北衡水中学2017届高三上学期五调，18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前三项为，记前项和为.‎ ‎（1）设，求和的值；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎.∴.‎ ‎【考点】等差数列的性质与前项和公式.‎ ‎6. 【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），17】（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ 考点：1、数列的通项公式；2、裂项法求数列的和．‎ ‎7. 【广东汕头2017届高三上学期期末，17】（本小题满分12分）已知是等差数列，满足，数列满足，且为等比数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ 考点：1、等差数列与等比数列的通项公式；2、等差数列及等比数列的前项和公式．‎ ‎【方法点睛】分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形．‎ ‎8. 【山东枣庄2017届高三上学期期末，17】（本小题满分12分）已知数列的前项和,.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2)1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)首先求得的值，然后利用与的关系推出数列的通项公式；(2)首先结合（1）求得的表达式，然后用裂项法求得，再根据数列的单调性求得 的最大值．‎ 试题解析：(1)当时，由；‎ 当时，，‎ 又符合时的形式， ‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由 ，可得 ‎.‎ 因为，所以，所以数列是递增数列，‎ 所以，所以实数的最大值是.‎ 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、裂项法求数列的和；3、数列的单调性．‎ ‎【方法点睛】使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．‎ ‎9. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，20】（本题14分） 设等差数列的前项和为，且．‎ 数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求数列,的通项公式；‎ ‎（2）设， 求的前项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎（Ⅱ） ． ‎ 当为偶数时，‎ ‎ =． ……10分 当为奇数时，‎ ‎（法一）为偶数，‎ ‎ ……12分 ‎（法二）‎ ‎ ． ……………12分 ‎ ……………14分 考点：等差数列通项公式，由和项求数列通项，分组求和 ‎【方法点睛】分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.‎ ‎10. 【天津六校2017届高三上学期期中联考，18】（本题13分）单调递增的等比数列满足，且是的等差中项．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，其前项和为，若对于恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 考点：等比数列通项公式，错位相减法求和，利用数列单调性求函数最值 ‎【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题 ‎ ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； ‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； ‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. ‎ ‎11. 【贵州遵义2017届高三上学期期中联考，17】（本小题满分12分）‎ 在公差不为零的等差数列中，已知，且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，记，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 考点：等差数列通项，裂项相消法求和 ‎【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎12. 【四川2016年普通高考适应性测试，18】（本小题满分12分）‎ 设数列各项为正数，且，.‎ ‎（Ⅰ）证明：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求使成立时的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）10.‎ 由，得，‎ 所以.‎ 于是成立时的最小值为10.…………………………12分 考点：等比数列的概念、等比数列通项公式与前项和 ‎【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ 等比数列的判定方法 ‎(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列；‎ ‎(2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列；‎ ‎(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；‎ ‎(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.‎ ‎13. 【安徽“皖南八校”2017届高三第二次联考，17】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，，且，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ），.（Ⅱ）详见解析 ‎14. 【广东2017届高三上学期阶段性测评，18】（本小题满分12分）‎ 设等差数列的公差为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求等差数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列方程组求首项及公差：，解得，最后代入通项公式即可（Ⅱ）因为，所以利用错位相减法求和，利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 ‎ ‎15. 【广西柳州2017届高三上学期10月模拟，17】已知等差数列的前三项分别为，，，前项和为，且．‎ ‎（1）求及的值；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据等差数列性质得，解得，从而可求出等差数列的首项，公差，因此，解方程得（Ⅱ ‎）因为16. 【中原名校豫南九校2017届上学期第四次质量考评，17】（本小题满分10分）‎ 设等差数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 考点：等差数列通项公式，基本不等式，数列单调性 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎17. 【山东潍坊2017届高三上学期期中联考，19】（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，且点（其中且）在直线上；数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 以上两式相减得，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 考点：1、等差数列、等比数列的通项公式；2、等比数列的求和公式及错位相减法的应用.‎ ‎18. 【山西运城2017届高三上学期期中，18】已知各项均为正数的数列，满足，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 考点：递推数列求通项，错位相减法.‎ ‎ ‎