数学·贵州省铜仁一中2017届高三上学期入学数学试卷 Word版含解析 25页

‎2016-2017学年贵州省铜仁一中高三（上）入学数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（　　）‎ A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．∅‎ ‎2．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2+i D．﹣2+i ‎3．已知loga＜logb，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1‎ ‎4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎5．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（　　）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎8．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．1+‎ ‎10．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是　　．‎ ‎14．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有　　种（用排列组合表示）．‎ ‎15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数，‎ 正方形数N（n，4）=n2，‎ 五边形数，‎ 六边形数N（n，6）=2n2﹣n，‎ ‎…‎ 可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=　　．‎ ‎16．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：‎ ‎①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；‎ ‎②函数f（x）=x是“似周期函数”；‎ ‎③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；‎ ‎④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．‎ 其中是真命题的序号是　　．（写出所有满足条件的命题序号）‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：‎ ‎（1）bcosC+ccosB=a ‎（2）=．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且DN=λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．‎ ‎19．在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：的离心率e=，且过抛物线的焦点F．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ+μ为定值．‎ ‎（Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，+1=0，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x 有相同极值点．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）求实数a的值；‎ ‎（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分..‎ ‎22．如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC=2，CD=2．‎ ‎（1）求圆O的半径；‎ ‎（2）若点E为AB中点，求证O，E，D三点共线．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求实数a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数n使得f（n）≤t﹣f（﹣n）成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省铜仁一中高三（上）入学数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B等于（　　）‎ A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．∅‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，‎ ‎∴A∩B={2}．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（　　）‎ A．2i B．﹣2i C．2+i D．﹣2+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵复数z1=1﹣i，z2=1+i，‎ 则====﹣2i．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知loga＜logb，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A． B． C．ln（a﹣b）＞0 D．3a﹣b＜1‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】根据题意得出a＞b＞0；利用指数函数y=与幂函数y=xb的单调性判断A正确，‎ 利用作差法判断B错误，利用分类讨论法判断C错误，根据指数函数的性质判断D错误．‎ ‎【解答】解：∵y=x是定义域上的减函数，且，‎ ‎∴a＞b＞0；‎ 又∵y=是定义域R上的减函数，‎ ‎∴＜；‎ 又∵y=xb在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∴＜；‎ ‎∴＜，A正确；‎ ‎∵﹣=＜0，∴＜，B错误；‎ 当1＞a﹣b＞0时，ln（a﹣b）＞0，‎ 当a﹣b≥1时，ln（a﹣b）≤0，∴C错误；‎ ‎∵a﹣b＞0，∴3a﹣b＞1，D错误．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．‎ ‎【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，‎ ‎∴a2﹣a1==﹣2，‎ 又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，‎ ‎∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，‎ 又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，‎ ‎∴==‎ 故选：B ‎　‎ ‎5．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，‎ 当m≤0时，函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，‎ 若y=logmx在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，‎ 故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=logmx在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（　　）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得×=﹣=，∴ω=2．‎ 再由五点法作图可得 2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．‎ 故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（　　）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．‎ ‎【解答】解：当输入的值为n=5时，‎ n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，‎ n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，‎ n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，‎ n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，‎ n满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n满足第二判断框中的条件，‎ 退出循环，‎ 即输出的结果为k=5，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （　　）‎ A． B．2 C．﹣1 D．1+‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=c．再利用双曲线的定义，得到2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，即可算出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：连结AF1，‎ ‎∵F1F2是圆O的直径，‎ ‎∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，‎ 又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，‎ ‎∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，‎ 因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，‎ ‎|F2A|=|F1F2|=c．‎ 根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，‎ 解得c=（+1）a，‎ ‎∴双曲线的离心率为e==+1．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h厘米，已知当x=0时，h=13．如果瓶内的药液恰好156分钟滴完．则函数h=f（x）的图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】每分钟滴下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系．‎ ‎【解答】解：由题意知，每分钟滴下πcm3药液，‎ 当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即h=13﹣，此时0≤x≤144；‎ 当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．‎ ‎∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，‎ 则P到圆心的距离最小即可，‎ 由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，‎ 设∠APB=α，则sin=， =‎ 此时cosα=， •==．‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[2，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．‎ ‎【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，‎ ‎∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，‎ ‎∴函数g（x）为奇函数．‎ ‎∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，‎ 故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，‎ 由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，‎ ‎∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，‎ ‎∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.‎ ‎13．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是　2　．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的，利用两平行线间的距离公式进行运算．‎ ‎【解答】解：直线3x+4y﹣3=0 即 6x+8y﹣6=0，它直线6x+my+14=0平行，∴m=8，则它们之间的距离是 d===2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有　　种（用排列组合表示）．‎ ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法．‎ ‎【解答】解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法；‎ 根据乘法原理，可得不同的排法共有种．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为．记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数，‎ 正方形数N（n，4）=n2，‎ 五边形数，‎ 六边形数N（n，6）=2n2﹣n，‎ ‎…‎ 可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=　1000　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得，把n=10，k=24代入可得答案．‎ ‎【解答】解：原已知式子可化为：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 由归纳推理可得，‎ 故=1100﹣100=1000‎ 故答案为：1000‎ ‎　‎ ‎16．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：‎ ‎①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；‎ ‎②函数f（x）=x是“似周期函数”；‎ ‎③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；‎ ‎④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．‎ 其中是真命题的序号是　①③④　．（写出所有满足条件的命题序号）‎ ‎【考点】抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．‎ ‎【解答】解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，‎ 则f（x﹣1）=﹣f（x），即 f（x﹣1）=﹣f（x）=﹣（﹣f（x+1））=f（x+1）；‎ 故它是周期为2的周期函数；故正确；‎ ‎②若函数f（x）=x是“似周期函数”，‎ 则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），‎ 即x+T=Tx；故（1﹣T）x+T=0恒成立；‎ 故不存在T．故假设不成立，故不正确；‎ ‎③若函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”，‎ 则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），‎ 即2﹣x﹣T=T•2﹣x，‎ 即（T﹣2﹣T）•2﹣x=0；‎ 而令y=x﹣2﹣x，作图象如下，‎ 故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正确；‎ ‎④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，‎ 则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），‎ 即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；‎ 故T=1或T=﹣1；‎ 故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；‎ 故答案为：①③④．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：‎ ‎（1）bcosC+ccosB=a ‎（2）=．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】根据正弦定理和余弦定理分别进行证明即可．‎ ‎【解答】证明：（1）由正弦定理得：‎ bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin（B+C）=2RsinA=a成立．‎ ‎（2）由（1）知，bcosC+ccosB=a，acosC+ccosA=b，‎ ‎∴bcosC+ccosB+acosC+ccosA=a+b，‎ 即c（cosB+cosA）=（a+b）（1﹣cosC）=（a+b），‎ ‎∴=，成立．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）设点N是线段CD上一动点，且DN=λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，再求出平面平面PCD的一个法向量，即可证明AM∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）利用空间向量求出使直线MN与平面PAB所成的角最大时N的位置即可，得出λ的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），‎ ‎∴=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（﹣1，﹣2，0）‎ 设平面PCD的法向量是=（x，y，z），则 令z=1，则x=2，y=﹣1，于是 ‎∵，∴，‎ ‎∴AM∥平面PCD …‎ ‎（Ⅱ）解：由点N是线段CD上的一点，可设 又面PAB的法向量为=（1，0，0）‎ 设MN与平面PAB所成的角为θ 则===‎ ‎∴时，即时，sinθ最大，‎ ‎∴MN与平面PAB所成的角最大时 …‎ ‎　‎ ‎19．在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）分别求出从甲、乙两名学生中的平均成绩和方差，得到甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．‎ ‎（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）学生甲的平均成绩==82，‎ 学生乙的平均成绩==82，‎ 又S2甲= [（68﹣82）2+（76﹣82）2+（79﹣82）2+（86﹣82）2+（88﹣82）2+（95﹣82）2]=77，‎ S2乙= [（71﹣82）2+（75﹣82）2+（82﹣82）2+（84﹣82）2+（86﹣82）2+（94﹣82）2]=，‎ 则=，S2甲＞S2乙，‎ 说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛．‎ ‎（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，‎ 则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以数学期望Eξ==．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；椭圆C2：的离心率e=，且过抛物线的焦点F．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点F的直线l1交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知，求证：λ+μ为定值．‎ ‎（Ⅲ）直线l2交椭圆C2于P，Q两不同点，P，Q在x轴的射影分别为P′，Q′，+1=0，若点S满足：，证明：点S在椭圆C2上．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用抛物线上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程．‎ ‎（Ⅱ）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x﹣1），N（0，﹣k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．‎ ‎（Ⅲ）设P（xp，yp），Q（xQ，yQ），可得S（xp+xQ，yp+yQ），通过转化证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；‎ 抛物线的准线为 抛物线上点M（3，y0）到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d 所以，所以p=2‎ 抛物线C1的方程为y2=4x 椭圆的离心率，且过抛物线的焦点F（1，0）‎ 所以b=1，，解得a2=2‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎（Ⅱ）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则直线l的方程为y=k（x﹣1），N（0，﹣k）‎ 联立方程组：所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎△=16k2+16＞0，所以（*） ‎ 由得：λ（1﹣x1）=x1，λ（1﹣x2）=x2得：‎ 所以 将（*）代入上式，得 ‎（Ⅲ）设P（xp，yp），Q（xQ，yQ）所以S（xp+xQ，yp+yQ），则 由，得2xPxQ+yPyQ=﹣1…（1），‎ ‎…（2）‎ ‎…（3）‎ ‎（1）+（2）+（3）得：‎ 即S（xp+xQ，yp+yQ）满足椭圆的方程，命题得证 ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=﹣x2+2lnx，函数f（x）与g（x）=x 有相同极值点．‎ ‎（1）求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）求实数a的值；‎ ‎（3）若∀x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；‎ ‎（3）先求出x1∈[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解　（1）f′（x）=﹣2x+=﹣2×（x＞0），‎ 由f′（x）＞0得0＜x＜1；由f′（x）＜0得x＞1．‎ ‎∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．‎ ‎∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1．‎ ‎（2）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．‎ 由（1）知，x=1是函数f（x）的极值点．又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，‎ ‎∴x=1是函数g（x）的极值点．∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．‎ 经检验，当a=1时，函数g（x）取到极小值，符合题意 ‎（3）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，‎ ‎∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），‎ ‎∴∀x1∈（，3），f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1．‎ 由①知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．‎ 故g（x）在[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0．故g（x）在[，e）上为减函数，在（1，3]上为增函数．‎ ‎∵g（）=e+，g（1）=2，g（3）=3+=，而2＜e+＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）．‎ ‎∴∀x2∈[，e]，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=．‎ 当k﹣1＞0，即k＞1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立 ‎⇔k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max⇔k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1．‎ ‎∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．‎ 当k﹣1＜0，即k＜1时，对于∀x1，x2∈[，e]，不等式≤1恒成立 ‎⇔k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min⇔k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1．‎ ‎∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣9+2ln3﹣=﹣+2ln3，‎ ‎∴k≤﹣+2ln3．又∵k＜1，∴k≤﹣+2ln3．‎ 综上，所求的实数k的取值范围为（﹣∞，﹣+2ln3））∪（1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分..‎ ‎22．如图AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AD，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC=2，CD=2．‎ ‎（1）求圆O的半径；‎ ‎（2）若点E为AB中点，求证O，E，D三点共线．‎ ‎【考点】圆的切线的性质定理的证明．‎ ‎【分析】（1）取BD中点为F，连结OF，求出BC，可得BF，利用勾股定理求圆O的半径；‎ ‎（2）证明四边形OADB为平行四边形，利用E为AB的中点，即可证明O，E，D三点共线．‎ ‎【解答】（1）解：取BD中点为F，连结OF，由题意知，OF∥AC，OF=AC．‎ ‎∵AC为圆O的切线，BC为割线，‎ ‎∴CA2=CD•CB，‎ 由，∴BC=6，‎ ‎∴BD=4，BF=2‎ 在Rt△OBF中，由勾股定理得，．‎ ‎（2）证明：由（1）知，OA∥BD，OA=BD ‎∴四边形OADB为平行四边形，‎ 又∵E为AB的中点，‎ ‎∴OD与AB交于点E，‎ ‎∴O，E，D三点共线．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离，并求出此时点P的坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，利用cos22α+sin22α=1即可得出．‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，利用即可得出．‎ ‎（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，利用△=0，解得t．利用平行线之间的距离公式可得最小距离，进而得出点P．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α是参数），x=2cos2α=1+cos2α，∴（x﹣1）2+y2=1．‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ=，化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，∴y﹣x=1，即x﹣y+1=0．‎ ‎（2）设与曲线C2平行且与曲线C1的直线方程为y=x+t，代入圆的方程可得：2x2+2（t﹣1）x+t2=0，∵△=4（t﹣1）2﹣8t2=0，化为t2+2t﹣1=0，解得．‎ 取t=﹣1，直线y=x+1与切线的距离d==﹣1，即为曲线C1上的任意一点P到曲线C2的最小距离．‎ 此时2x2+2（t﹣1）x+t2=0，化为=0，解得x==，y=，∴P．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）若不等式f（x）≤4的解集为{x|﹣1≤x≤2}，求实数a的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若存在实数n使得f（n）≤t﹣f（﹣n）成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．‎ ‎【分析】（1）由绝对值不等式的解法可得a﹣2≤x≤2，由a﹣2=﹣1，可得a的值；‎ ‎（2）由题意可得f（n）+f（﹣n）的最小值不小于t，运用去绝对值方法，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）由|2x﹣a|+a≤4，‎ 得|2x﹣a|≤4﹣a，‎ ‎∴a﹣4≤2x﹣a≤4﹣a，‎ 即a﹣2≤x≤2，‎ ‎∴a﹣2=﹣1，∴a=1．‎ ‎（2）由（1）知f（x）=|2x﹣1|+1．‎ 令φ（n）=f（n）+f（﹣n），‎ 则φ（n）=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，‎ 当n≤﹣时，φ（n）≥2﹣（﹣2）=4；‎ 当n＞时，φ（n）＞4．‎ ‎∴φ（n）的最小值为4，‎ 故实数t的取值范围是[4，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2016年11月27日