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- 2021-06-21 发布
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淮南二中 2019 届高二上期中数学(理)
命题人:数学命题组
一、选择题(每题 5 分,共 12 题)
1.椭圆 的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线 ,平面 ,且 , ,则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在直角坐标系中,方程 的曲线是( )
A B C D
4.将图 1 所示正方体截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )
A. B. C. D.
5.椭圆 和 有( )
A.相等的焦距 B.等长的长轴 C.相等的离心率 D.等长的短轴
6.有关下列命题,其中说法错误的是( )
2 2
125 169
x y+ =
( 5,0)± (0, 5)± (0, 12)± ( 12,0)±
,a b ,α β a α⊥ b β⊂ a b⊥ / /α β
| | 1x y⋅ =
2 2
1 : 116 9
x yC + =
2 2
2 : 1(0 9)9 16
x yC kk k
+ = < <− −
A.命题“若 ,则 ”的否命题为“若 ,则 ”
B.“ ”是“ ”的必要不充分条件
C.若 是假命题,则 , 都是假命题
D.命题“若 且 ,则 ”的等价命题是“若 ,则 或
”
7.已知直线 过椭圆 短轴的一个顶点,则离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图,在正方体 中, , 分别是 , 的中点,
则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.中心为 ,一个焦点为 的椭圆,截直线 所得弦中点的横坐标为 ,
则该椭圆方程是( )
A. B. C. D.
10.在体积为 的三棱锥 中, , , ,且平面
平面 ,若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积是( )
A. B. C. D.
11.设 分别为椭圆 的左右顶点,若在椭圆上存在点 ,使
得 ,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.如图,正方体 的棱长为 1, 为 的中点,则下列五个命题:
2 3 4 0x x− − = 4x = 2 3 4 0x x− − ≠ 4x ≠
0x > 5x >
p q∧ p q
1x > 3y < − 4x y− > 4x y− ≤ 1x ≤
3y ≥ −
y x c= +
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
3
3
2
2
1
2
2
4
1 1 1 1ABCD A B C D− E F 1 1C D 1CC
AE BF
2 5
5
5
5
6
5
5 6
18
(0,0) (0,5 2)F 3 2y x= − 1
2
2 22 2 175 25
x y+ =
2 2
175 25
x y+ =
2 2
125 75
x y+ =
2 22 2 125 75
x y+ =
4
3 S ABC− 2AB BC= = 90ABC∠ = ° SA SC=
SAC ⊥ ABC
8 2
3
π 9
2
π 27
2
π 12π
1 2,A A
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > P
1 2
1
2PA PAk k > −
1(0, )2
2(0, )2
1( ,1)2
2( ,1)2
1 1 1 1ABCD A B C D− E 1 1A B
①点 到平面 的距离为 ;
②在空间与 , , 都相交的直线有无数条;
③空间四边形 在正方体六个面内的射影围成的图形中,面
积最小的值为 ;
④过 的中点与直线 所成角为 并且与平面 所成角为 的直线有 3 条。
其中真命题个数( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每题 5 分,共 4 题)
13.命题 ,使得 ,写出命题 的否定.
14.焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ,则 的值为.
15.如图,已知在一个二面角的棱上有两个点 , ,线段 ,
分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于交线 , ,
, , ,则这个二面角的度数为.
16.已知 , .若对于所有的 ,均
有 ,则 的取值范围是.
三、解答题(17 题 10 分,18-22 题 12 分)
17.已知命题 :方程 表示焦点在 轴上的椭圆;命题 :点 在椭
圆 的外部.若 为真,求 的取值范围.
18.已知中心在坐标原点的椭圆,经过点 ,且过点 为其右焦点.
E 1 1ABC D 1
2
1DD AC 1 1B C
1ABCD
1
2
1CC 1BC 40° 1 1BB D 50°
0:p x R∃ ∈ 2
0 0 1 0x x+ + < p
y
2 2
12
x y
m
+ = 1
2 m
A B AC BD
AB 4AB =
6AC = 8BD = 2 17CD =
2 2{( , ) | 2 3}M x y x y= + = {( , ) | }N x y y mx b= = + m R∈
M N∩ ≠ ∅ b
p
2 2
13 2 3
x y
a a
+ =− + y q ( ,1)P a
2 2
12 3
x y+ = ( )p q∧ ¬ a
(2,3)A (2,0)F
(1)求椭圆的标准方程;(2) 是(1)中所求椭圆上的动点,求 中点 的轨迹方程.
19.如图组合体中,三棱柱 的侧面 是圆柱的轴截面(过圆柱的轴,截
圆柱所得的截面), 是圆柱底面圆周上不与 , 重合的一个点.
(1)求证:无论点 如何运动,平面 平面 ;
(2)当点 是弧 的中点时,求四棱锥 与圆柱的
体积比.
20.设 分别是椭圆 : 的左、右焦点,过点 的直线交椭圆
于 , 两点,
(1)若 的周长为 16,求 ;
(2)若 ,求椭圆 的离心率.
21. 已知多面体 如图所示,其中 为矩形, 为
等腰直角三角形, ,四边形 为梯形,且 ,
, .
(1)若 为线段 的中点,求证: 平面 ;
(2)线段 上是否存在一点 ,使得直线 与平面 所成角的
P PF Q
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A
C A B
C 1A BC ⊥ 1A AC
C AB 1 1 1A BCC B−
1 2,F F E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F E
A B 1 1| | 3| |AF BF=
2| | 4,AB ABF= ∆ 2| |AF
2
3cos 5AF B∠ = E
ABCDEF ABCD DAE∆
DA AE⊥ AEFB / /AE BF
90ABF∠ = ° 2 2AB BF AE= = =
G DF / /EG ABCD
DF N BN FCD
余弦值等于 ?若存在,请指出点 的位置;若不存在,请说明理由.
22.如图,已知离心率为 的椭圆 : 过点 , 为坐标原
点,平行于 的直线 交椭圆 与不同的两点 , .
(1)求椭圆 的方程.
(2)证明:直线 斜率之和为定值.
21
5 N
3
2 C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (2,1)M O
OM l C A B
C
,MA MB
答案
选择题:
1-5 CBCBA 6-10 CBACA 11-12 DC
填空题
13.
14.
15.
16.
解答题
17.
18.(1) 依题意,可设椭圆 的方程为 ,
且 可 知 左 焦 点 为 , 从 而 有 , 解 得 , 又
,所以 ,故椭圆 的方程为 .
(2)设
∵ 为 的中点
∴
由 是 上的动点
∴ ,
2, 1 0x R x x∀ ∈ + + ≥
3
2
60°
6 6[ , ]2 2
−
2 30 3a< ≤
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
( )2,0F′ − 2
2 3 5 8
c
a AF AF
=
′= + = + =
2
4
c
a
=
=
2 2 2a b c= + 2 12b = C
2 2
116 12
x y+ =
0 0( , ), ( , )P x y Q x y
Q PF
0
0
00
2
2 22
2
2
xx x x
y yyy
+ = = − ⇒ = =
P
2 2
116 12
x y+ =
2 2(2 2) 4 116 12
x y− + =
即 点的轨迹方程是
19.(1)由条件, 为底面圆的直径, 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点,
所以 ,又圆柱母线 平面 ,则 , 点,
所以 平面 ,从而平面 平面 ;
(2)设圆柱的母线长为 ,底面半径为 ,则圆柱的体积为 ,
当点 是弧 的中点时, 为等腰直角三角形,面积为 ,
三棱锥 的体积为 ,
三棱柱 的体积为 ,
则四棱锥 的体积为 ,
四棱锥 与圆柱的体积比为 .
20.(本小题满分 13 分)
解:(1)由 , 得: ,
∵ 的周长为 16,∴由椭圆定义可得 , .
故 .
(2)设 ,则 且 ,
由椭圆定义可得 .
在 中,由余弦定理可得 ,
即 ,
化简可得 ,而 ,故 .
于是由 , ,
因此 ,可得 ,
故 为等腰直角三角形.
C A B
1A BC ⊥ 1A AC
Q
2 2( 1) 14 3
x y− + =
AB
AC BC⊥ 1AA ⊥ ABC 1AA BC⊥ 1A A AC A=
BC ⊥ 1AAC
h r 2r hπ
C AB ABC∆ 2r
1A ABC− 2 21 1
3 3r h r h× × =
1 1 1A B C ABC− 2r h
1 1 1A BCC B− 2 2 21 2
3 3r h r h r h− =
1 1 1A BCC B− 2
3π
1 1| | 3| |AF F B= | | 4AB = 1| | 3AF = 1| | 1F B =
2ABF∆ 4 16a = 1 2| | | | 2 8AF AF a+ = =
2 1| | 2 | | 8 3 5AF a AF= − = − =
1| |F B k= 0k > 1| | 3 ,| | 4AF k AB k= =
2 2| | 2 3 ,| | 2AF a k BF a k= − = −
2ABF∆ 2 2 2
2 2 2 2 2| | | | | | 2 | | | | cosAB AF BF AF BF AF B= + − ⋅ ∠
2 2 2 6(4 ) (2 3 ) (2 ) (2 3 ) (2 )5k a k a k a k a k= − + − − − ⋅ −
( )( 3 ) 0a k a k+ − = 0a k+ > 3a k=
2 1| | 3 | |AF k AF= = 2| | 5BF k=
2 2 2
2 2| | | | | |BF AF AB= + 1 2F A F A⊥
1 2AF F∆
从而 ,∴椭圆 的离心率 .
21.(2) 与 重合
22.(Ⅰ)解:设椭圆 的方程为: ,
由题意得:
,
解得 , ,
∴椭圆方程为 .
(Ⅱ)证明:由直线 ,设 : ,
将式子代入椭圆 得: ,
设 ,则 , ,
设直线 、 的斜率分别为 ,
则 ,
∵ ,
.
2
2c a= E 2
2
ce a
= =
N D
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 2
3
2
4 1 1
c
a
a b
a b c
=
+ =
= +
2 8a = 2 2b =
2 2
18 2
x y+ =
/ /l OM l
1
2y x π= +
C 2 22 2 4 0x mx m+ + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 2x x m+ = − 2
1 2 2 4x x m= −
MA MB 1 2,k k
1
1
1
2
2
yk x
−= −
2
2
2
1
2
yk x
−= −
1 2
1 2
1 2
1 11 12 2
2 2
x m x m
k k x x
+ − + −
+ = +− −
1 2
1 2 1 2
41 2( ) 4
x xm x x x x
+ −= + ⋅ − + +
2
2 41 02 4 2( 2 ) 4
mm m m
− −= + ⋅ =− − − +