数学卷·2018届福建省福州市格致中学鼓山校区高二上学期期末数学模拟试卷（文科）（解析版） 17页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学模拟试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=2n D．an=2n+1‎ ‎3．抛物线y=﹣x2的准线方程是（　　）‎ A． B．y=2 C． D．y=﹣2‎ ‎4．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）‎ ‎5．双曲线﹣=1的焦距为（　　）‎ A．3 B．4 C．3 D．4‎ ‎6．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎7．若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（　　）‎ A． B．（y≠0）‎ C．（y≠0） D．（y≠0）‎ ‎8．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎9．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2‎ ‎11．抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎12．函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣∞，0） C． D．（﹣∞，1）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．椭圆的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为　　．‎ ‎14．双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是　　．‎ ‎15．命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”则实数m的取值范围为　　．‎ ‎16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．给定两命题：已知p：﹣2≤x≤10；q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣），求它的标准方程．‎ ‎19．已知椭圆+=1两焦点为F1和F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．‎ ‎20．已知函数f（x）=x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f′（2）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎21．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎22．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学模拟试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，则该数列的公比等于（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知得，由此能求出该数列的公比．‎ ‎【解答】解：∵在等比数列{an}中，a1+a3=10，a4+a6=，‎ ‎∴，‎ ‎∴10q3=，解得q=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（　　）‎ A．an=2n﹣1 B．an=2n﹣1 C．an=2n D．an=2n+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】观察此数列是首项是1，且是公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式求出此数列 的一个通项公式．‎ ‎【解答】解：由于数列1，2，4，8，16，32，…的第一项是1，且是公比为2的等比数列，‎ 故通项公式是 an=1×qn﹣1=2n﹣1，故此数列的一个通项公式an=2n﹣1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．抛物线y=﹣x2的准线方程是（　　）‎ A． B．y=2 C． D．y=﹣2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y，然后再求其准线方程．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴x2=﹣8y，‎ ‎∴其准线方程是y=2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．椭圆+=1的焦点坐标是（　　）‎ A．（±5，0） B．（0，±5） C．（0，±12） D．（±12，0）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由a，b，c的关系即可得出焦点坐标．‎ ‎【解答】解：椭圆的方程+=1中a2=169，b2=25，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=144，又该椭圆焦点在y轴，‎ ‎∴焦点坐标为：（0，±12）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线﹣=1的焦距为（　　）‎ A．3 B．4 C．3 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】本题比较简明，需要注意的是容易将双曲线中三个量a，b，c的关系与椭圆混淆，而错选B ‎【解答】解析：由双曲线方程得a2=10，b2=2，‎ ‎∴c2=12，‎ 于是，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（　　）‎ A．e2 B．e C． D．ln2‎ ‎【考点】导数的乘法与除法法则．‎ ‎【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xlnx ‎∴‎ ‎∵f′（x0）=2‎ ‎∴lnx0+1=2‎ ‎∴x0=e，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（　　）‎ A． B．（y≠0）‎ C．（y≠0） D．（y≠0）‎ ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10＞8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，‎ 又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．‎ ‎∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，‎ 则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，‎ ‎∴顶点C的轨迹方程为．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论．‎ ‎【解答】解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2﹣b2=4，‎ ‎∴到椭圆的右焦点为（2，0），‎ ‎∴抛物线y2=2px的焦点（2，0），‎ ‎∴p=4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．‎ ‎【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，‎ ‎∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ‎∴|AB|=x1+x2+2，‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+2=8‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（　　）‎ A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵y=，‎ ‎∴y′=，‎ 所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；‎ 所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：‎ y+1=2×（x+1），即y=2x+1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．抛物线y2=2px上一点Q（6，y0），且知Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是（　　）‎ A．4 B．8 C．12 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由于Q点到焦点的距离为10，利用弦长公式可得，解得p．即为焦点到准线的距离．‎ ‎【解答】解：∵Q点到焦点的距离为10，‎ ‎∴，解得p=8．‎ ‎∴焦点到准线的距离=p=8．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=x3+x，x∈R，当时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣∞，0） C． D．（﹣∞，1）‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）为奇函数，增函数，得出msinθ＞m﹣1，根据sinθ∈[0，1]，即可求解．‎ ‎【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）为奇函数，增函数，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，‎ 即f（msinθ）＞f（m﹣1），‎ ‎∴msinθ＞m﹣1，当时，sinθ∈[0，1]，‎ ‎∴，解得m＜1，‎ 故实数m的取值范围是（﹣∞，1），‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．椭圆的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆焦点的坐标可得其焦点位置以及c的值，又由其长轴的长可得a的值，进而由a、b、c的关系可得b2的值，将其代入椭圆的标准方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的两个焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），‎ 则其焦点在x轴上，且c=1，‎ 又由其长轴的长为10，即2a=10，则a=5；‎ 故b2=52﹣12=24，‎ 故要求椭圆的标准方程为：．‎ 故答案为 ‎　‎ ‎14．双曲线3x2﹣y2=3的渐近线方程是　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．‎ ‎【解答】解：双曲线3x2﹣y2=3的标准形式为，‎ 其渐近线方程是，‎ 整理得．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”则实数m的取值范围为　[0，12）　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】由命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”得到对任意x∈R不等式3mx2+mx+1＞0恒成立．然后分m=0和m≠0求解m的范围，当m≠0时得到关于m的不等式组，求解不等式组后与m=0取并集得答案．‎ ‎【解答】解：命题“3mx2+mx+1＞0恒成立”，‎ 即对任意x∈R不等式3mx2+mx+1＞0恒成立，‎ 当m=0时，原不等式显然成立；‎ 当m≠0时，需，‎ 解得：0＜m＜12，‎ 综上，实数m的取值范围是[0，12）．‎ 故答案为：[0，12）．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，＞0（x＞0），则不等式x2f（x）＞0的解集是　（﹣1，0）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先根据[]′=＞0判断函数的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系，再根据函数的奇偶性判断﹣1＜x＜0和x＜﹣1时f（x）与0的关系，最后取x的并集即可得到答案．‎ ‎【解答】解：[]′=＞0，即x＞0时是增函数，‎ 当x＞1时，＞f（1）=0，f（x）＞0．‎ ‎0＜x＜1时，＜f（1）=0，f（x）＜0，‎ 又f（x）是奇函数，所以﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）＞0，‎ x＜﹣1时f（x）=﹣f（﹣x）＜0，‎ 则不等式x2f（x）＞0即f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），‎ 故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．给定两命题：已知p：﹣2≤x≤10；q：1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】￢p是￢q的必要而不充分条件，等价于p是q的充分而不必要条件．再利用集合之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵￢p是￢q的必要而不充分条件，等价于p是q的充分而不必要条件．‎ 设p：A=[﹣2，10]；q：B=[1﹣m，1+m]，m＞0；‎ ‎∴A⊊B，它等价于，且等号不能同时成立，‎ 解得m≥9．‎ ‎∴实数m的取值范围是m≥9．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣），求它的标准方程．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由已知条件利用椭圆定义求解．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴设它的标准方程为，‎ 由椭圆的定义知：‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 又∵c=2，‎ ‎∴b2=a2﹣c2=6，‎ ‎∴椭圆的标准方程为． ‎ ‎　‎ ‎19．已知椭圆+=1两焦点为F1和F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a、b以c的值，即可得|F1F2|的值；进而在在△PF1F2中，由余弦定理可得关系式|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos 60°，代入数据变形可得4=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，结合椭圆的定义可得4=16﹣3|PF1||PF2|，即可得|PF1||PF2|=4，由正弦定理计算可得答案．‎ ‎【解答】解：由+=1可知，已知椭圆的焦点在x轴上，且，‎ ‎∴c==1，∴|F1F2|=2c=2，‎ 在△PF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos 60°‎ ‎=|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1|•|PF2|，即4=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|，‎ 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4，‎ ‎∴4=16﹣3|PF1||PF2|，‎ ‎∴|PF1||PF2|=4，‎ ‎∴=|PF1||PF2|•sin 60°=×4×=．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=x3﹣3x．‎ ‎（Ⅰ）求f′（2）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，将x=2代入导函数求出即可；‎ ‎（Ⅱ）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3，‎ 所以f′（2）=9；‎ ‎（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣3，‎ 令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，‎ 令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1．‎ ‎∴（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间；‎ ‎∴f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（﹣1）=2．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：OA⊥OB；‎ ‎（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．‎ ‎【分析】（1）证明OA⊥OB可有两种思路：①证kOA•kOB=﹣1；②取AB中点M，证|OM|=|AB|．‎ ‎（2）求k的值，关键是利用面积建立关于k的方程，求△AOB的面积也有两种思路：①利用S△OAB=|AB|•h（h为O到AB的距离）；②设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线和x轴交点为N，利用S△OAB=|ON|•|y1﹣y2|．‎ ‎【解答】解：（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）‎ 消去x后，整理得 ky2+y﹣k=0．‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1•y2=﹣1．‎ ‎∵A、B在抛物线y2=﹣x上，‎ ‎∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12•y22=x1x2．‎ ‎∵kOA•kOB=•===﹣1，‎ ‎∴OA⊥OB．‎ ‎（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，‎ ‎∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．‎ ‎∵S△OAB=S△OAN+S△OBN ‎=|ON||y1|+|ON||y2|‎ ‎=|ON|•|y1﹣y2|，‎ ‎∴S△OAB=•1•‎ ‎=．‎ ‎∵S△OAB=，‎ ‎∴=．解得k=±．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中得到切点的坐标，利用导数求出直线切线，即可求出切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的值，分0＜a≤2和a＞2两种情况讨论函数的增减性分别得到f（﹣）和f（）及f（﹣）和f（）都大于0，联立求出a的解集的并集即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，‎ ‎∴f（2）=3；‎ ‎∵f′（x）=3x2﹣3x，‎ ‎∴f′（2）=6．‎ 所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），‎ 即y=6x﹣9；‎ ‎（Ⅱ）解：f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1）．‎ 令f′（x）=0，‎ 解得x=0或x=．‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎（1）若0＜a≤2，则；‎ 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎（﹣，0）‎ ‎0‎ ‎ （0，）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ 增 极大值 减 当时，f（x）＞0，等价于即．‎ 解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；‎ ‎（2）若a＞2，则 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣，0）‎ ‎ 0‎ ‎ （0，）‎ ‎ （，）‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ 增 ‎ 极大值 减 ‎ 极小值 增 ‎ 当时，f（x）＞0等价于即 解不等式组得或．‎ 因此2＜a＜5．‎ 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．‎ ‎　‎ ‎2017年1月27日