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  • 2021-06-21 发布

高考数学专题复习:计数原理 习题课(四)

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第一章 计数原理 习题课(四)‎ 一、选择题 ‎1、如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于(  )‎ A.144 B.146‎ C.164 D.461‎ ‎2、化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1的结果是(  )‎ A.x4 B.(x-1)4‎ C.(x-2)4 D.(1-x)4‎ ‎3、1-‎90C+‎902C-‎903C+…+‎9010C除以88的余数是(  )‎ A.-1 B.‎1 ‎ C.-87 D.87‎ ‎4、若对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2等于(  )‎ A.3 B.‎6 ‎ C.9 D.12‎ ‎5、设二项式(+)n的展开式中第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是(  )‎ A.第9项 B.第8项 C.第9项和第10项 D.第8项和第9项 二、填空题 ‎6、今天是星期一,如果今天算第一天,那么第810天是星期______.‎ ‎7、(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+(x+1)5的展开式中x2的系数为________.‎ ‎8、已知(3x+1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则展开式的二项式系数的和为________,a0+a1+a2+…+a7=______.‎ 三、解答题 ‎9、已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2‎ 项的系数的最小值.‎ ‎10、求(1+x+)10的展开式中的常数项.‎ ‎11、已知(3-2x)8=a0+a1x+…+a8x8,求:‎ ‎(1)a0,a1,a2,…,a8这9个系数中绝对值最大的系数;‎ ‎(2)a0,a1,a2,…,a8这9个系数中最大的系数.‎ ‎12、设(3x+x)n的二项展开式中各项系数之和为t,其二项式系数之和为h.若h+t=272,求其二项展开式中x2项的系数.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C [由图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是 C.‎ ‎∴S16=C+C+C+C+…+C+C=(C+C+…+C)+(C+C+…+C)=(C+C+C+…+C-C)+(C+C+…+C)=C+C-1=164.]‎ ‎2、A [(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C(x-1)4+C(x-1)3×1+C(x-1)2×12+C(x-1)×13+C×14=(x-1+1)4=x4.]‎ ‎3、B [1-‎90C+‎902C-‎903C+…+‎9010C ‎=(1-90)10=(88+1)10,‎ ‎(88+1)10=8810+C889+C888+…+C88+1,‎ 所以(88+1)10除以88的余数是1.]‎ ‎4、B [由题意,把等式右边展开得,‎ 解得]‎ ‎5、A [因展开式的第5项为T5=Cx-4,所以有-4=0,解得n=16.所以展开式中系数最大的项是第9项.]‎ 二、填空题 ‎6、一 解析 810=(7+1)10=C710+C79+…+C7+C=‎7M+1(M∈Z),故810除以7余1,所以第810天是星期一.‎ ‎7、20‎ 解析 各个组成项的x2的系数分别为C,C,C,C,则展开式中x2的系数为20.‎ ‎8、128 16 384‎ 解析 (3x+1)7展开式中二项式系数的和为27=128;令x=1,则47=a0+a1+a2+…+a7=16 384.‎ 三、解答题 ‎9、解 (1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为C·2x+C·4x=(‎2C+‎4C)x,所以‎2C+‎4C=36,即m+2n=18.‎ ‎(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为t=C22+C42=‎2m2‎-‎2m+8n2-8n.因为m+2n=18,所以m=18-2n,所以t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16(n2-n+),所以当n=时,t取最小值,但n∈N*,所以n=5时,t最小即含x2项的系数最小,最小值为272,此时n=5,m=8.‎ ‎10、解 (1+x+)10=[1+(x+)]10,通项为Tr+1=C(x+)r (r=0,1,2,…,10),而(x+)r展开的通项公式为Tk+1=Cxr-k·()k=Cxr-3k (k=0,1,2,…,r),‎ 当r-3k=0时,Tr+1是常数项.‎ 由r=3k,0≤r≤10,0≤k≤r,且r,k∈N*,‎ 得r=0,3,6,9,k=0,1,2,3,‎ 所以由系数为C·C可得常数项为C+CC+CC+CC=4 351.‎ ‎11、解 设k∈N,且k≤8,则有ak=C·38-k·(-2)k.‎ 显然,|ak|=C·38-k·2k,‎ 由 得 解得所以k=3.‎ 即9个系数中,绝对值最大的系数为|a3|=C·35·23=108 864.‎ ‎(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.‎ 又从通项公式ak=C·38-k·(-2)k可以看出,a0,a2,a4,a6,a8均大于0;a1,a3,a5,a7均小于0,因而只需比较a2,a4的大小.‎ 因为a2=C·36·(-2)2=81 648,‎ a4=C·34·(-2)4=90 720.‎ 所以,9个系数中,最大的系数为a4=90 720.‎ ‎12、解 由题意,h=2n,令x=1,得t=4n,又h+t=272,‎ 所以4n+2n=272,解得2n=16,所以n=4.‎ 所以Tk+1=C(3x)4-k(x)k=C34-kx+,则+=2,得k=4,所以二项展开式中x2项的系数为1.‎

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