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- 2021-06-21 发布
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第一章 计数原理 习题课(四)
一、选择题
1、如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于( )
A.144 B.146
C.164 D.461
2、化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1的结果是( )
A.x4 B.(x-1)4
C.(x-2)4 D.(1-x)4
3、1-90C+902C-903C+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1 B.1 C.-87 D.87
4、若对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2等于( )
A.3 B.6 C.9 D.12
5、设二项式(+)n的展开式中第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是( )
A.第9项 B.第8项
C.第9项和第10项 D.第8项和第9项
二、填空题
6、今天是星期一,如果今天算第一天,那么第810天是星期______.
7、(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+(x+1)4+(x+1)5的展开式中x2的系数为________.
8、已知(3x+1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则展开式的二项式系数的和为________,a0+a1+a2+…+a7=______.
三、解答题
9、已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2
项的系数的最小值.
10、求(1+x+)10的展开式中的常数项.
11、已知(3-2x)8=a0+a1x+…+a8x8,求:
(1)a0,a1,a2,…,a8这9个系数中绝对值最大的系数;
(2)a0,a1,a2,…,a8这9个系数中最大的系数.
12、设(3x+x)n的二项展开式中各项系数之和为t,其二项式系数之和为h.若h+t=272,求其二项展开式中x2项的系数.
以下是答案
一、选择题
1、C [由图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是
C.
∴S16=C+C+C+C+…+C+C=(C+C+…+C)+(C+C+…+C)=(C+C+C+…+C-C)+(C+C+…+C)=C+C-1=164.]
2、A [(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C(x-1)4+C(x-1)3×1+C(x-1)2×12+C(x-1)×13+C×14=(x-1+1)4=x4.]
3、B [1-90C+902C-903C+…+9010C
=(1-90)10=(88+1)10,
(88+1)10=8810+C889+C888+…+C88+1,
所以(88+1)10除以88的余数是1.]
4、B [由题意,把等式右边展开得,
解得]
5、A [因展开式的第5项为T5=Cx-4,所以有-4=0,解得n=16.所以展开式中系数最大的项是第9项.]
二、填空题
6、一
解析 810=(7+1)10=C710+C79+…+C7+C=7M+1(M∈Z),故810除以7余1,所以第810天是星期一.
7、20
解析 各个组成项的x2的系数分别为C,C,C,C,则展开式中x2的系数为20.
8、128 16 384
解析 (3x+1)7展开式中二项式系数的和为27=128;令x=1,则47=a0+a1+a2+…+a7=16 384.
三、解答题
9、解 (1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为C·2x+C·4x=(2C+4C)x,所以2C+4C=36,即m+2n=18.
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为t=C22+C42=2m2-2m+8n2-8n.因为m+2n=18,所以m=18-2n,所以t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n=16n2-148n+612=16(n2-n+),所以当n=时,t取最小值,但n∈N*,所以n=5时,t最小即含x2项的系数最小,最小值为272,此时n=5,m=8.
10、解 (1+x+)10=[1+(x+)]10,通项为Tr+1=C(x+)r (r=0,1,2,…,10),而(x+)r展开的通项公式为Tk+1=Cxr-k·()k=Cxr-3k (k=0,1,2,…,r),
当r-3k=0时,Tr+1是常数项.
由r=3k,0≤r≤10,0≤k≤r,且r,k∈N*,
得r=0,3,6,9,k=0,1,2,3,
所以由系数为C·C可得常数项为C+CC+CC+CC=4 351.
11、解 设k∈N,且k≤8,则有ak=C·38-k·(-2)k.
显然,|ak|=C·38-k·2k,
由
得
解得所以k=3.
即9个系数中,绝对值最大的系数为|a3|=C·35·23=108 864.
(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.
又从通项公式ak=C·38-k·(-2)k可以看出,a0,a2,a4,a6,a8均大于0;a1,a3,a5,a7均小于0,因而只需比较a2,a4的大小.
因为a2=C·36·(-2)2=81 648,
a4=C·34·(-2)4=90 720.
所以,9个系数中,最大的系数为a4=90 720.
12、解 由题意,h=2n,令x=1,得t=4n,又h+t=272,
所以4n+2n=272,解得2n=16,所以n=4.
所以Tk+1=C(3x)4-k(x)k=C34-kx+,则+=2,得k=4,所以二项展开式中x2项的系数为1.