【数学】山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟（一）试卷 13页

山东省潍坊市临朐县实验中学2020届高三模拟（一）‎ 数学试卷 一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，集合B＝{x|2x-2＞0}，则集合子集个数是（ ）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎2．己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则 （ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎3. 设是正实数，,则 （ ） ‎ A. 是的充分条件但不是必要条件 B. 是的必要条件但不是充分条件 C. 是的充要条件 D. 既不是的充分条件，也不是必要条件 ‎4. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形的较短的直角 边为勾，另一直角边为股、斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1 -15‎ 这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知是两个相互垂直的单位向量，且，，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 在的展开式中，含项的系数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的 离心率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有 成立，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B. ‎ C． D. ‎ 二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9．某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11‎ 月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据折线图，下列结论错误的是 （ ）‎ A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 ‎10. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则 （ ）‎ A.在上的最小值为 B.在上的最小值为 C.在上的最大值为 D.在上的最大值1 ‎ ‎11.实数满足，则下列关于的判断正确的是 （ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为 ‎ C. 的最大值为 D. 的最小值为 ‎12. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，‎ 则下列说法正确的是 （ ）‎ A．当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为 B．无论点在上怎么移动，都有 C．当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且 D．无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知，则=________. ‎ ‎14．已知定义在上的奇函数满足，且时，，则 ‎_______. ‎ ‎15．已知点在抛物线上，则____________；点到抛物 线的焦点的距离是____________. ‎ ‎16．若三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是 边长为的正三角形，则点到平面的距离为____________. ‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（10分）‎ 在①②③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ 已知数列为等比数列，数列的首项其前项和为 ‎， ，是否存在，使得对任意恒成立？‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎18．（12分）‎ 在中，角，，所对的边分别为，，，且 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且的面积，求的值.‎ ‎19.（12分）‎ 已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝，‎ D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．‎ ‎(1)求证：A1D⊥平面BCED；‎ ‎(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎20.（12分）‎ ‎“过元宵节，吃元宵”是我国过元宵节的一大习俗.2019年过元宵节前夕，北方一城市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的元宵，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：‎ ‎(1)求所抽取的100包元宵该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)①由直方图可以认为，元宵的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45]内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和均值．‎ 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；‎ 若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.‎ ‎21.（12分）‎ 已知椭圆：过点，且离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．‎ ‎22.（12分）‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、 单项选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1-5：BCDDA 6-8: BCA 二、多项选择题:‎ ‎ 本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9. ABC 10. AD 11.CD 12.BD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 15. 2 , 2 （本题第一空2分，第二空3分.） 16. ‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ 17. 解：设等比数列的公比为,因为，所以 故 ……….........…………3分 ‎①两式相减整理得 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以………….........…………6分 所以 ………….........…………8分 由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，‎ 所以不存在，使得对任意恒成立. …………........……10分 ‎②知数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以 ………….........…………6分 所以 ………….........…………8分 因为 所以存在，使得对任意恒成立. …………........……10分 ‎③‎ ‎ ………….........…………6分 ‎ ………….........…………7分 ‎ ………….........…………9分 所以存在，使得对任意恒成立. …………........……10分 ‎18.解：（1）因为，‎ 所以， …………………………2分 则，， …………4分 因此，. …………………………6分 ‎（2）因为，所以，即，……………………9分 因为，‎ 所以，故，解得. …………………………12分 ‎19.（12分）(1)证明：由图(1)可得：AE＝2，AD＝1，A＝60°.‎ 从而DE＝＝ …………………………2分 故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.‎ ‎∴A1D⊥DE，BD⊥DE， ‎ ‎∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角， ………………………4分 又二面角A1－DE－B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，‎ ‎∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，‎ ‎∴A1D⊥平面BCED. …………………6分 ‎ ‎(2)解：存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.‎ 以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，‎ 过P作PH∥DE交BD于点H，‎ 设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，‎ 易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，所以＝(a－2，－a，1)．‎ 因为ED⊥平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．………8分 因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin 60°＝＝＝，解得a＝. ……………………………………10分 ‎∴PB＝2a＝，满足0≤2a≤3，符合题意．‎ 所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.12分 ‎20. 解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5. .....................2分 ‎(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，‎ ‎∴P(14.55