数学理卷·2018届湖南省师大附中高三月考试卷（六）（2018 13页

湖南师大附中 2018 届高三月考试卷(六) 数　学(理科) 命题人：吴锦坤　张汝波　审题人：黄祖军 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 10 页．时量 120 分钟．满分 150 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)已知集合 A＝{x|x2＋x－2≤0，x∈Z}，B＝{a，1}，A∩B＝B，则实数 a 等于(D) (A)－2 (B)－1 (C)－1 或 0 (D)－2 或－1 或 0 (2)设 p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实 数 a 的取值范围是(A) (A)[0， 1 2 ] (B)(0， 1 2 ) (C)(－∞，0]∪[1 2，＋∞) (D)(－∞，0)∪(1 2，＋∞) 【解析】由 p 得： 1 2 0)的图像向左平移 π 3ω个单 位，得到函数 y＝g(x )的图像，若 y＝g(x )在[0， π 4 ]上为增函数，则 ω 的最大值为(B) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】由题意，f(x )＝2sin(ωx－π 3 )(ω > 0)，先利用图像变换求出 g (x )的解析 式：g(x )＝f(x＋ π 3ω)＝2sin[ω(x＋ π 3ω)－π 3 ]，即 g(x )＝2sin ωx，其图像可视为 y＝sin x 仅仅通过放缩而得到的图像．若 ω 最大，则要求周期 T 取最小，由[0， π 4 ]为增函数可得：x ＝ π 4 应恰好为 g (x )的第一个正的最大值点， ∴ π 4 ω＝ π 2 ω＝2. (7)已知 x，y 满足约束条件{x－2y－2 ≤ 0， 2x－y＋2 ≥ 0， x＋y－2 ≤ 0， 若 ax＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实 数 a 的值为(C) (A)1 2或－1 (B)2 或1 2 (C)－2 或 1 (D)2 或－1 【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示： 令 z＝ax＋y，化为 y＝－ax＋z，即直线 y＝－ax＋z 的纵截距取得最大值时的最优解不 唯一． 当－a>2 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 A(－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个， 故不符合题意； 当－a＝2 时，直线 y＝－ax＋z 与 y＝2x＋2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故 符合题意； 当－1<－a<2 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 B(0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个， 故不符合题意； 当－a＝－1 时，直线 y＝－ax＋z 与 y＝－x＋2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一， 故符合题意； 当－a<－1 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 C(2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个， 故不符合题意． 综上，当 a＝－2 或 a＝1 时最优解不唯一，符合题意．故本题正确答案为 C. (8)若直线 ax＋by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆 x2＋y2－2x－2y＝2 的周长，则1 2a＋1 b的最 小值为(D) (A)3－2 2 4 (B)3－2 2 2 (C)3＋2 2 2 (D)3＋2 2 4 【解析】直线平分圆周，则直线过圆心 f(1，1)，所以有 a＋b＝2，1 2a＋1 b＝1 2(a＋b)( 1 2a＋1 b)＝ 1 2(3 2＋ b 2a＋a b)≥1 2(3 2＋2 b 2a·a b)＝3＋2 2 4 (当且仅当 b＝ 2a 时取“＝”)，故选 D. (9)把 7 个字符 a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b” 也不相邻，则这样的排法共有(B) (A)144 种 (B)96 种 (C)30 种 (D)12 种 【解析】先排列 b，b，α，β，若 α，β不相邻，有 A22C 23种，若 α，β相邻，有 A 33种， 共有 6＋6＝12 种，从所形成的 5 个空中选 3 个插入 a，a，a，共有 12C35＝120 种，若 b，b 相邻时，从所形成的 4 个空中选 3 个插入 a，a，a，共有 6C34＝24，故三个“a”两两不相邻， 且两个“b”也不相邻，这样的排法共有 120－24＝96 种． (10)设椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对称， 且满足FA → ·FB → ＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围是(A) (A)[ 2 2 ， 5 3 ] (B)[ 5 3 ，1) (C)[ 2 2 ， 3－1] (D)[ 3－1，1) 【解析】作出椭圆左焦点 F′，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF′为平行四边形，又 FA → ·FB → ＝0，即 FA⊥FB，故平行四边形 AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c. 设 AF′＝n，AF＝m，则在直角三角形 ABF 中 m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2　①，得 mn＝2b2　 ②， ①÷②得m n＋n m＝2c2 b2 ，令m n＝t，得 t＋1 t＝2c2 b2 . 又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得m n＝t∈[1，2]，∴t＋1 t＝2c2 b2 ∈[2， 5 2 ]，故离心率的取值范围是 [ 2 2 ， 5 3 ]. (11)在△ABC 中，AB＝2 m，AC＝2 n，BC＝2 10，AB＋AC＝8，E，F，G 分别为 AB，BC，AC 三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF 分别沿 EF、EG、GF 向上折起，使 A、 B、C 重合，记为 S，则三棱锥 S－EFG 的外接球面积最小为(D) (A)29 2 π (B)2 33π (C)14π (D)9π 【解析】根据题意，三棱锥 S－EFG 的对棱分别相等，将三棱锥 S－EFG 补充成长方体， 则对角线长分别为 m，n，10， 设长方体的长宽高分别为 x，y，z, 则 x2＋y2＝m，y2＋z2＝10，x2＋z2＝n，∴x2＋y2＋z2＝5＋m＋n 2 ， ∴三棱锥 S－EFG 的外接球直径的平方为 5＋m＋n 2 ， 而 m＋ n＝4，m＋n 2 ≥( m＋ n 2 )2 ＝4，∴5＋m＋n 2 ≥9， ∴三棱锥 S－EFG 的外接球面积最小为 4π·9 4＝9π，所以 D 选项是正确的． (12)已知函数 f(x)＝{－3 2x＋1，x ≥ 0， e－x－1，x < 0， 若 x10，g(x2)递增；当1 3 0 )，PN → ＝μ( PM → |PM → | ＋ PF2→ |PF2→ |)，PN → ·F2N→ ＝0.若|PF2→ |＝3， 则以 O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为__49π__． 【解析】由PN → ＝μ ( PM → |PM → | ＋ PF2→ |PF2→ |)知 PN 是∠MPF2 的角平分线，又PN → ·F2N→ ＝0，故延长 F2N 交 PM 于 K，则 PN 是△PF2K 的角平分线又是高线，故△PF2K 是等腰三角形，|PK|＝|PF2| ＝3，因为|PF2→ |＝3，故|PF1→ |＝11，故|F1K→ |＝14，注意到 N 还是 F2K 的中点，所以 ON 是△F1F2K 的中位线，|ON → |＝1 2|F1K→ |＝7，所以以 O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为 49π. (16)如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，sin∠ABE＝ 3 3 ，AB＝2，点 D 在线段 AC 上， 且AD → ＝2DC → ，BD＝4 3 3 ，则 BE＝__4 5 6__． 【解析】由条件得 cos∠ABC＝1 3，sin∠ABC＝2 2 3 . 在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b，则 9b2＝a2＋4－4 3a　①. 因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB， 4b2＋16 3 －4 16 3 3 b ＝－ b2＋16 3 －a2 8 3 3 b ， 所以 3b2－a2＝－6　②，联立①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3. S△ABC＝1 2·AC·ABsin A＝ 1 2×3×2×2 2 3 ＝2 2， S△ABE＝1 2·BE·BAsin∠EBA＝ 1 2×2×BE× 3 3 ＝ 3 3 BE. S△BCE＝1 2·BE·BCsin∠EBC＝ 1 2×3×BE× 3 3 ＝ 3 2 BE. 由 S△ABC＝S△ABE＋S△BCE，得 2 2＝ 3 3 BE＋ 3 2 BE，∴BE＝4 5 6. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分 12 分) 设数列{an}满足 a2n＝an＋1an－1＋λ(a2－a1)2，其中 n≥2，且 n∈N，λ为常数． (Ⅰ)若{an}是等差数列，且公差 d≠0，求 λ 的值； (Ⅱ)若 a1＝1，a2＝2，a3＝4，且数列{bn}满足 an·bn＝n－7 对任意的 n∈N*都成立． ①求数列{bn }的前 n 项之和 Sn； ②若 m·an≥n－7 对任意的 n∈N*都成立，求 m 的最小值． 【解析】(Ⅰ)由题意，可得 a2n＝(an＋d)(an－d)＋λd2，(2 分) 化简得(λ－1)d2＝0，又 d≠0，所以 λ＝1.(3 分) (Ⅱ)①将 a1＝1，a2＝2，a3＝4 代入条件，可得 4＝1×4＋λ，解得 λ＝0，(4 分) 所以 a2n＝an＋1an－1，则数列{an }是首项为 1，公比 q＝2 的等比数列， 所以 an＝2n－1，从而 bn＝n－7 2n－1，(6 分) 所以 Sn＝ －6 20 ＋ －5 21 ＋ －4 22 ＋…＋n－7 2n－1， 1 2Sn＝ －6 21 ＋ －5 22 ＋ －4 23 ＋…＋n－7 2n ， 两式相减得：1 2Sn＝ －6 20 ＋ 1 21＋ 1 22＋…＋ 1 2n－1－n－7 2n ＝－5＋5－n 2n ； 所以 Sn＝－10＋5－n 2n－1.(8 分) ②m·2n－1≥n－7，所以 m≥n－7 2n－1对任意 n∈N*都成立． 由 bn＝n－7 2n－1，则 bn＋1－bn＝n－6 2n －n－7 2n－1＝8－n 2n ， 所以当 n>8 时，bn＋1bn. 所以 bn 的最大值为 b9＝b8＝ 1 128，所以 m 的最小值为 1 128.(12 分) (18)(本小题满分 12 分) 阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工 智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发．其主要工作原理是“深度学习”.2017 年 5 月， 在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以 3 比 0 的总比分获 胜．围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平． 为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能” 软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生，并把他们的比赛成绩按五个等 级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩(分) 5 4 3 2 1 人数(名) 4 6 10 7 3 (Ⅰ)根据上面的统计数据，试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级 为“A 或 B”的概率； (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选 3 人，记 X 表 示抽到成绩等级为“A 或 B”的学生人数，求 X 的分布列及其数学期望 EX； (Ⅲ)从这 30 名学生中，随机选取 2 人，求“这两个人的成绩之差大于 1 分”的概率． 【解析】(Ⅰ)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的 30 名中学生中任意抽取一人， 其成绩等级为“A 或 B”的概率为： 4 30＋ 6 30＝1 3，(2 分) 即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或 B”的概率为1 3.(3 分) (Ⅱ)由题意知随机变量 X 可取 0，1，2，3，则 X～B(3， 1 3 ). P(x＝k)＝Ck3(1 3 )k (2 3 )3－k (k＝0，1，2，3)，(5 分) 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 (6 分) 则 E(x)＝3×1 3＝1，所求期望值为 1.(7 分) (Ⅲ)设事件 M：从这 30 名学生中，随机选取 2 人，这两个人的成绩之差大于 1 分． 设从这 30 名学生中，随机选取 2 人，记两个人的成绩分别为 m，n， 则基本事件的总数为 C 230，不妨设 m>n， 当 m＝5 时，n＝3，2，1，基本事件的个数为 C14(C 110＋C17＋C13)； 当 m＝4 时，n＝2，1，基本事件的个数为 C16(C17＋C13)； 当 m＝3 时，m＝1，基本事件的个数为 C 110C13； P(M)＝34 87.(12 分) (19)(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 A－EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥ BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O 为 EF 的中点． (Ⅰ)求二面角 F－AE－B 的余弦值； (Ⅱ)若点 M 为线段 AC 上异于点 A 的一点，BE⊥OM，求 a 的值． 【解析】(Ⅰ)因为△AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以 AO⊥EF， 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB，平面 AEF∩平面 EFCB＝EF， AO平面 AEF，所以 AO⊥平面 EFCB， 取 BC 的中点 G，连结 OG， 由题设知四边形 EFCB 是等腰梯形，所以 OG⊥EF， 由 AO⊥平面 EFCB，又 GO平面 EFCB，所以 AO⊥GO， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 E(a，0，0)，A(0，0， 3a)，B(2， 3(2－a )，0)，EA → ＝(－a，0， 3a)， BE → ＝(a－2， 3(a－2 )，0)， 设平面 AEB 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则{n·EA → ＝0， n·BE → ＝0， 即{－ax＋ 3az＝0， (a－2 )x＋ 3(a－2 )y＝0. 令 z＝1，则 x＝ 3，y＝－1，于是 n＝( 3，－1，1)， 又平面 AEF 的一个法向量为 p＝(0，1，0)，设二面角 F－AE－B 为 θ， 所以 cos θ＝cos〈n，p〉＝ n·p |n||p|＝－ 5 5 .(6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AO⊥平面 EFCB，又 BE平面 EFCB，所以 AO⊥BE， 又 OM⊥BE，AO∩OM＝O， 所以 BE⊥平面 AOC，所以 BE⊥OC，即BE → ·OC → ＝0， 因为BE → ＝(a－2， 3(a－2 )，0)，OC → ＝(－2， 3(2－a )，0)， 所以BE → ·OC → ＝－2(a－2 )－3(a－2 ) 2 ， 由BE → ·OC → ＝0 及 0b>0)的一个焦点为( 3，0)，A 为椭圆 C 的右顶点，以 A 为圆 心的圆与直线 y＝b ax 相交于 P，Q 两点，且AP → ·AQ → ＝0，OP → ＝3OQ → . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程； (Ⅱ)不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，设直线 OM，直线 l，直线 ON 的斜 率分别为 k1，k，k2，且 k1，k，k2 成等比数列． ①求 k 的值； ②是否存在直线 l 使得满足OD → ＝λOM → ＋μON → (λ2＋μ2＝1，λ·μ≠0)的点 D 在椭圆 C 上？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】(Ⅰ)如图，设 T 为线段 PQ 的中点，连接 AT， 则 AT⊥PQ，∵AP → ·AQ → ＝0， 即 AP⊥AQ， 则|AT|＝1 2|PQ|， 又OP → ＝3OQ → ，则|OT|＝|PQ|， ∴|AT| |OT|＝1 2，即b a＝1 2， 由已知 c＝ 3，则 a2＝4，b2＝1， 故椭圆 C 的方程为x2 4＋y2＝1；(2 分) 又|AT|2＋|OT|2＝4，则|AT|2＋4|AT|2＝4|AT|＝2 5 5 ，r＝|AP|＝2 10 5 ， 故圆 A 的方程为(x－2)2＋y2＝8 5.(4 分) (Ⅱ)①设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由{x2 4＋y2＝1 y＝kx＋m (1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，(5 分) 则 x1＋x2＝－ 8km 1＋4k2，x1x2＝4（m2－1） 1＋4k2 ，(6 分) 由已知 k2＝k1k2＝y1y2 x1x2＝ （kx1＋m）（kx2＋m） x1x2 ＝k2＋km（x1＋x2）＋m2 x1x2 ，(7 分) 则 km(x1＋x2)＋m2＝0，即－ 8k2m2 1＋4k2＋m2＝0k2＝1 4k＝±1 2.(8 分) ②假设存在直线 l 满足题设条件，且设 D(x0，y0)， 由OD → ＝λOM → ＋μON → ，得 x0＝λx1＋μx2，y0＝λy1＋μy2， 代入椭圆方程得： （λx1＋μx2）2 4 ＋(λy1＋μy2)2＝1， 即：λ2(x 4＋y )＋μ2(x 4＋y )＋λμx1x2 2 ＋2λμy1y2＝1， 则 x1x2＋4y1y2＝0，即 x1x2＋4(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 则(1＋4k2)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0， 所以(1＋4k2)·4（m2－1） 1＋4k2 －32k2m2 1＋4k2＋4m2＝0， 化简得：2m2＝1＋4k2，而 k2＝1 4，则 m＝±1，(11 分) 此时，点 M，N 中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与 k1，k，k2 成等比数列相矛盾， 故这样的直线不存在．(12 分) (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)． (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性； (Ⅱ)若存在 x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e 为自然对数的底数)，求 a 的取 值范围． 【解析】(Ⅰ)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a，(1 分) 当 a>1 时，ln a>0， x∈(0，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(－∞，0)，f′(x)<0，f(x)单调递减；(2 分) 当 00，f(x)单调递增， x∈(－∞，0)，f′(x)<0，f(x)单调递减．(3 分) 综上：x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减．(4 分) (Ⅱ)不等式等价于：|f(x1)－f(x2)|max≥e－1， 即 f(x)max－f(x)min≥e－1，(5 分) 由(Ⅰ)知，函数的最小值为 f(0)＝1，f(x)max＝max{f（－1），f（1）}， 而 f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－(1 a＋1＋ln a)＝a－1 a－2ln a， 设 g(a)＝a－1 a－2ln a，则 g′(a)＝1＋ 1 a2－2 a＝(1－1 a )2 >0， 所以 g(a)＝a－1 a－2ln a 在(0，＋∞)单调递增，而 g(1)＝0， 故 a>1 时，g(a)>0，即 f(1)>f(－1)；(7 分) 01 时，原不等式即为：f(1)－f(0)≥e－1a－ln a≥e－1， 设 h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－1 a＝a－1 a >0，故函数 h(a)单调递增， 又 h(e)＝e－1，则 a≥e；(10 分) 当 0