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- 2021-06-21 发布
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文科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共150分,考试时间120分钟。
第I卷(60分)
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。)
1.“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0<b<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3,则到另一焦点距离为( )
A.2 B.7 C.5 D.3
3.已知f(x)=x2(1nx﹣a)+a,则下列结论中错误的是( )
A.∃a>0,∀x>0,f(x)≥0
B.∃a>0,∃x>0,f(x)≤0
C.∀a>0,∀x>0,f(x)≥0
D.∀a>0,∃x>0,f(x)≤0
4.设m是常数,若是双曲线的一个焦点,则m的值为( )
A.16 B.34 C.16或34 D.4
5.设直线l的斜率为2且过抛物线的焦点F,又与y轴交于点A,O为坐标原点,若的面积为4,则抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知命题p,∀x∈R都有2x<3x , 命题q:∃x0∈R,使得 ,则下列复合命题正确的是( )
A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.(¬p)∧(¬q)
7.已知椭圆和双曲线有共同焦点 , 是它们的一个交点,且 ,记椭圆和双曲线的离心率分别为 ,则 的最大值为( )
A. B. C.2 D.3
8.已知命题关于的函数在上是增函数,命题函数
为减函数,若“且”为假命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)相交于A、B两点,双曲线的一条渐近线方程是y= x,点F是抛物线的焦点,且△FAB是等边三角形,则该双曲线的标准方程是( )
A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1
10.过椭圆的左焦点作直线l交椭圆于A,B两点,是椭圆右焦点,则的周长为( )
A.8 B. C.4 D.
11.已知抛物线的焦点F与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且 , 则△AFK的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
12.已知椭圆 的焦点在 轴上,且离心率 ,则 ( )
A.9 B.5 C.25 D.-9
第II卷(90分)
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知命题“若 ,则 ” ,其逆命题为 .
14.已知命题 ,命题 ,若 是 的必要不充分条件,则实数 的取值范围是 .
15.设 , 分别是双曲线 ( , )的左、右焦点,过 的直线与双曲线分别交于 , ,且 在第一象限,若 为等边三角形,则双曲线的实轴长为 .
16.过双曲线 的下焦点 作 轴的垂线,交双曲线于 两点,若以 为直径的圆恰好过其上焦点 ,则双曲线的离心率为 .
三、解答题(共7小题,,共70分)
17.(10分)已知集合A是函数y=lg(6+5x﹣x2)的定义域,集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0(a>0)的解集.p:x∈A,q:x∈B.
(1)若A∩B=∅,求a的取值范围;
(2)若¬p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.
18. (12分)已知命题 :方程 表示焦点在 轴上的椭圆,命题 :双曲线 的离心率 ,若命题 , 中有且只有一个为真命题,求实数 的取值范围.
19. (12分)已知 , , .
(1)若 是 的充分不必要条件,求实数 的取值范围;
(2)若 ,“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数 的取值范围.
20. (12分)已知椭圆 经过点 ,离心率为 ,左、右焦点分别为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线 与椭圆交于A,B两点,与以 为直径的圆交于C,D两点,求 的值.
21. (12分)已知抛物线 的焦点为 , 是抛物线上横坐标为4,且位于 轴上方的点, 到抛物线准线的距离等于5,过 作 垂直于 轴,垂足为 , 的中点为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过 作 ,垂足为 ,求点 的坐标.
22. (12分)点O为坐标原点,直线l经过抛物线C:y2=4x的焦点F.
(Ⅰ)若点O到直线l的距离为 , 求直线l的方程;
(Ⅱ)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点.试判断直线AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.A 9.D 10.B 11.D 12.C
13. 14. 15. 16.
17.(1)解:由条件得:A={x|﹣1<x<6},B={x|x≥1+a或x≤1﹣a},
若A∩B=φ,则必须满足 ,
所以,a的取值范围的取值范围为:a≥5
(2)解:易得:¬p:x≥6或x≤﹣1,
∵¬p是q的充分不必要条件,
∴{x|x≥6或x≤﹣1}是B={x|x≥1+a或x≤1﹣a}的真子集,
则 ,
∴a的取值范围的取值范围为:0<a≤2
18.解:若命题 :方程
表示焦点在 轴上的椭圆为真命题,
则 ,
解得 ,
则命题 为假命题时,
或 .
若命题 :
双曲线 的离心率
为真命题,
则 ,即 ,
则命题 为假命题时, 或 ,
因为命题 , 中有且只有一个为真命题,
当 真 假时, ;当 假 真时, ,
综上所述,实数 的取值范围是 或 .
19.(1)解:记命题p的解集为A=[-2,4],
命题q的解集为B=[2-m,2+m],
∵ p是q的充分不必要条件,∴ AB ,
∴ ,解得: .
(2)解:∵“ ”为真命题,“ ”为假命题,
∴命题p与q一真一假,
①若p真q假,则 ,无解,
②若p假q真,则 ,解得: .
综上得: .
20.(1)由题设知
解得
∴椭圆的方程为 + =1.
(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1,
∴圆心到直线l的距离d= ,
∴|CD|=2 = .
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由 得4x2-4x+8=0.
由根与系数的关系可得x1+x2=1,x1x2=-2.
∴|AB|= ,则 = .故答案为:.
21.(1)解:抛物线 的准线为 ,于是 ,所以 ,所以抛物线方程为
(2)解:由(1)知点 的坐标是 ,由题意得 , .
又因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 的方程为 ,①
的方程为 ②
由①②联立得 , ,
所以 的坐标为 2) .
22.解法一:(Ⅰ)抛物线的焦点F(1,0),
当直线l的斜率不存在时,即x=1不符合题意.
当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为:y=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k=0.
所以,,解得:.
故直线l的方程为:y=(x-1),即
(Ⅱ)直线AB与抛物线相切,证明如下:
(法一):设A(x0 , y0),则.
因为|BF|=|AF|=x0+1,所以B(﹣x0 , 0).
所以直线AB的方程为:y=
,
整理得:x=…(1)
把方程(1)代入y2=4x得:,
,
所以直线AB与抛物线相切.