数学卷·2018届福建省福州市格致中学鼓山校区高二上学期期末数学模拟试卷（理科）（解析版） 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学模拟试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知数列{an}满足，则a6+a7+a8+a9=（　　）‎ A．729 B．367 C．604 D．854‎ ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．‎ ‎3．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 ‎4．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎5．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（　　）‎ A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0‎ ‎6．实半轴长等于，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（　　）‎ A．或 B．‎ C．‎ D．‎ ‎7．已知动点P（x，y）满足 ‎，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段 ‎8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4‎ ‎10．下列命题正确的是（　　）‎ A．到x轴距离为5的点的轨迹是y=5‎ B．方程表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线 C．方程（x﹣y）2+（xy﹣1）2=0表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D．2x2﹣3y2﹣2x+m=0通过原点的充要条件是m=0‎ ‎11．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0‎ ‎12．若直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（　　）‎ A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1±‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为　　．‎ ‎14．以等腰直角△ABC的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为　　．‎ ‎15．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　　．‎ ‎16．椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．请用函数求导法则求出下列函数的导数．‎ ‎（1）y=esinx ‎（2）y=‎ ‎（3）y=ln（2x+3）‎ ‎（4）y=（x2+2）（2x﹣1）‎ ‎（5）．‎ ‎18．（文科）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，‎ 求证：平面AMN∥平面EFDB．‎ ‎19．已知函数f（x）=x3+x﹣16．‎ ‎（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；‎ ‎（2）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；‎ ‎（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．‎ ‎20．已知动圆P与圆相切，且与圆相内切，记圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．‎ ‎21．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，‎ ‎（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．‎ ‎（2）求以M（1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．‎ ‎（3）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于A，B，求弦AB的中点P的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学模拟试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知数列{an}满足，则a6+a7+a8+a9=（　　）‎ A．729 B．367 C．604 D．854‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】利用a6+a7+a8+a9=S9﹣S5即可得出．‎ ‎【解答】解：∵=Sn，‎ 则a6+a7+a8+a9=S9﹣S5=93﹣53=604．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，‎ ‎∴====1，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．动点P到点M（1，0）与点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．‎ ‎【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，‎ 点P的轨迹为一条射线 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】根据题意，易得k+，2﹣的坐标，结合向量垂直的性质，可得3（k﹣1）+2k﹣2×2=0，解可得k的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2）．‎ ‎∵两向量垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣2×2=0．‎ ‎∴k=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为（　　）‎ A．4x﹣y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x﹣y+3=0 D．x+4y+3=0‎ ‎【考点】导数的几何意义；两条直线垂直的判定．‎ ‎【分析】切线l与直线x+‎ ‎4y﹣8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处的导数，利用点斜式求出切线方程．‎ ‎【解答】解：设切点P（x0，y0），‎ ‎∵直线x+4y﹣8=0与直线l垂直，且直线x+4y﹣8=0的斜率为﹣，‎ ‎∴直线l的斜率为4，‎ 即y=x4在点P（x0，y0）处的导数为4，‎ 令y′=4x03=4，得到x0=1，进而得到y0=1，‎ 利用点斜式，得到切线方程为4x﹣y﹣3=0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．实半轴长等于，并且经过点B（5，﹣2）的双曲线的标准方程是（　　）‎ A．或 B．‎ C．‎ D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，分别把B（5，﹣2）代入，能求出结果．‎ ‎【解答】解：由题设，a=2，a2=20．‎ 若实轴在x轴上，可设其方程为=1，b＞0，‎ 把B（5，﹣2）代入，得b2=16；‎ 若实轴在y轴上，可设其方程为=1，b＞0，‎ 把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），‎ 故所求的双曲线标准方程为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．已知动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段 ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义直接求解．‎ ‎【解答】解：∵动点P（x，y）满足，‎ ‎∴动点P的轨迹是以（﹣3，0），（3，0）为焦点，实轴长为5的椭圆．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1B和平面A1B1CD所成的角．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，‎ 则A1（1，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，0），‎ ‎=（0，1，﹣1），=（1，0，1），=（0，1，0），‎ 设平面A1B1CD的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，则=（1，0，﹣1），‎ 设直线A1B和平面A1B1CD所成的角为θ，‎ sinθ===，‎ ‎∴θ=，‎ ‎∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先求导，然后表示出f′（1）与f′（﹣1），易得f′（﹣1）=﹣f′（1），结合已知，即可求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，‎ ‎∴f′（x）=4ax3+2bx，‎ ‎∴f′（1）=4a+2b=2，‎ ‎∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．下列命题正确的是（　　）‎ A．到x轴距离为5的点的轨迹是y=5‎ B．方程表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线 C．方程（x﹣y）2+（xy﹣1）2=0表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D．2x2﹣3y2﹣2x+m=0通过原点的充要条件是m=0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A．∵到x轴距离为5的所有点的纵坐标都是5或者﹣5，横坐标为任意值，∴到x轴距离为5的所有点组成的图形是两条与x轴平行的直线，故不正确；‎ B．方程表示的曲线是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线，除去原点，故不正确；‎ C．方程（x﹣y）2+（xy﹣1）2=0，即x﹣y=0且xy﹣1=0，即点（1，1）与（﹣1，﹣1），不正确；‎ D.2x2﹣3y2﹣2x+m=0通过原点，则m=0；m=0时，2x2﹣3y2﹣2x=0通过原点，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为（　　）‎ A．x﹣y﹣2=0 B．x+y﹣2=0 C．x+4y﹣5=0 D．x﹣4y﹣5=0‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：y=的对数为y′==﹣，‎ ‎ 可得在点（1，1）处的切线斜率为﹣1，‎ 则所求切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 即为x+y﹣2=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．若直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k=（　　）‎ A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．1±‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】联立直线y=kx﹣2与抛物线y2‎ ‎=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．‎ ‎【解答】解：联立直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x，‎ 消去y，可得k2x2﹣（4k+8）x+4=0，（k≠0），‎ 判别式（4k+8）2﹣16k2＞0，解得k＞﹣1．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则x1+x2=，‎ 由AB中点的横坐标为2，‎ 即有=4，‎ 解得k=2或﹣1（舍去），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则a，b的值分别为　1，1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由已知切线方程，可得切线的斜率和切点，进而得到a，b的值．‎ ‎【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y′=2x+a，‎ 即曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线斜率为a，‎ 由于在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，‎ 则a=1，b=1，‎ 故答案为：1，1．‎ ‎　‎ ‎14．以等腰直角△ABC的两个底角顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】不妨设B（﹣c，0），C（c，0），A（0，b）．则b=c，a2=b2+c2，化简解出即可得出．‎ ‎【解答】解：不妨设B（﹣c，0），C（c，0），A（0，b）．‎ 则b=c，a2=b2+c2，‎ ‎∴c，‎ ‎∴=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知f（x）=x2+3xf′（2），则f′（2）=　﹣2　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f′（2）可求．‎ ‎【解答】解：由f（x）=x2+3xf′（2），‎ 得：f′（x）=2x+3f′（2），‎ 所以，f′（2）=2×2+3f′（2），‎ 所以，f′（2）=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎　‎ ‎16．椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为　9　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆，可得a=5，b=3，c=．设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，m2+n2=（2c）2，联立解出即可得出．‎ ‎【解答】解：∵椭圆，‎ ‎∴a=5，b=3，c==4．‎ 设|PF1|=m，|PF2|=n，‎ 则m+n=2a=10，m2+n2=（2c）2=64，‎ ‎∴mn=18．‎ ‎∴△PF1F2的面积=mn=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．请用函数求导法则求出下列函数的导数．‎ ‎（1）y=esinx ‎（2）y=‎ ‎（3）y=ln（2x+3）‎ ‎（4）y=（x2+2）（2x﹣1）‎ ‎（5）．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据导数的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）y′=esinxcosx；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）y'=（x2+2）′（2x﹣1）+（x2+2）（2x﹣1）′=2x（2x﹣1）+2（x2+2）=6x2﹣2x+4；‎ ‎（5）．‎ ‎　‎ ‎18．（文科）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，‎ 求证：平面AMN∥平面EFDB．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定．‎ ‎【分析】连接B1D1，NE，分别在△A1B1D1中和△B1C1D1中利用中位线定理，得到MN∥B1D1，EF∥B1D1，从而MN∥EF，然后用直线与平面平行的判定定理得到MN∥面BDEF．接下来利用正方形的性质和平行线的传递性，得到四边形ABEN是平行四边形，得到AN∥BE，直线与平面平行的判定定理得到AN∥面BDEF，最后可用平面与平面平行的判定定理，得到平面AMN∥平面EFDB，问题得到解决．‎ ‎【解答】证明：如图所示，连接B1D1，NE ‎∵M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点 ‎∴MN∥B1D1，EF∥B1D1‎ ‎∴MN∥EF 又∵MN⊄面BDEF，EF⊂面BDEF ‎∴MN∥面BDEF ‎∵在正方形A1B1C1D1中，M，E，分别是棱 A1B1，B1C1的中点 ‎∴NE∥A1B1且NE=A1B1‎ 又∵A1B1∥AB且A1B1=AB ‎∴NE∥AB且NE=AB ‎∴四边形ABEN是平行四边形 ‎∴AN∥BE 又∵AN⊄面BDEF，BE⊂面BDEF ‎∴AN∥面BDEF ‎∵AN⊂面AMN，MN⊂面AMN，且AN∩MN=N ‎∴平面AMN∥平面EFDB ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=x3+x﹣16．‎ ‎（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；‎ ‎（2）求曲线y=f（x）在点（2，﹣6）处的切线的方程；‎ ‎（3）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）设切点坐标为（x0，y0），求出导数，求得切线的斜率，解方程可得切点的坐标，进而得到切线的方程；‎ ‎（2）求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；‎ ‎（3）设出切点，可得切线的斜率，切线的方程，代入原点，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设切点坐标为（x0，y0），‎ 函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，‎ 由已知得f′（x0）=k切=4，即，解得x0=1或﹣1，‎ 切点为（1，﹣14）时，切线方程为：y+14=4（x﹣1），即4x﹣y﹣18=0；‎ 切点为（﹣1，﹣18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x﹣y﹣14=0；‎ ‎（2）由已知得：切点为（2，﹣6），k切=f'（2）=13，‎ 则切线方程为y+6=13（x﹣2），‎ 即13x﹣y﹣32=0；‎ ‎（3）设切点坐标为（x0，y0），‎ 由已知得f'（x0）=k切=，且，‎ 切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），‎ 即，‎ 将（0，0）代入得x0=﹣2，y0=﹣26，‎ 求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x﹣y=0．‎ ‎　‎ ‎20．已知动圆P与圆相切，且与圆相内切，记圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知：F1（﹣3，0），r1=9；F2（3，0），r2‎ ‎=1，设所求圆圆心P（x，y），半径为r．作图可得，|PF1|+|PF2|=8＞6=|F1F2|，‎ 利用椭圆的定义及其标准方程即可得出．‎ ‎【解答】解：由已知：F1（﹣3，0），r1=9；F2（3，0），r2=1，‎ 设所求圆圆心P（x，y），半径为r．‎ 作图可得，则有|PF1|+|PF2|=8＞6=|F1F2|，‎ 即点P在以F1（﹣3，0）、F2（3，0）为焦点，2a=8，2c=6的椭圆上b2=a2﹣c2=16﹣9=7，‎ 则P点轨迹方程为：．‎ ‎　‎ ‎21．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BD⊥AA1，BD⊥AC，从而得到BD⊥平面A1AC，由此能证明BD⊥A1C．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值．‎ ‎（Ⅲ）设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．利用向量法能求出当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，‎ ‎∴AA1⊥平面ABCD，且ABCD为正方形．…‎ ‎∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AA1，BD⊥AC．…‎ ‎∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC．…‎ ‎∵A1C⊂平面A1AC，‎ ‎∴BD⊥A1C．…‎ ‎（Ⅱ）解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．‎ 则D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），‎ C1（0，2，4），D1（0，0，4），…‎ ‎∵=（2，0，0），=（0，2，﹣4）．‎ 设平面A1D1C的法向量=（x1，y1，z1）．‎ ‎∴．即，…‎ 令z1=1，则y1=2．∴=（0，2，1）．‎ 由（Ⅰ）知平面AA1C的法向量为=（2，2，0）．…‎ ‎∴cos＜＞==．…‎ ‎∵二面角A﹣A1C﹣D1为钝二面角，‎ ‎∴二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值为﹣．…‎ ‎（Ⅲ）解：设P（x2，y2，z2）为线段CC1上一点，且=，0≤λ≤1．‎ ‎∵=（x2，y2﹣2，z2），=（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．‎ ‎∴（x2，y2﹣2，z2）=λ（﹣x2，2﹣y2，4﹣z2）．…‎ 即．‎ ‎∴P（0，2，）．…‎ 设平面PBD的法向量．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．即．…‎ 令y3=1，得=（﹣1，1，﹣）．…‎ 若平面A1CD1⊥平面PBD，则=0．‎ 即2﹣=0，解得．‎ 所以当=时，平面A1CD1⊥平面PBD．…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，‎ ‎（1）求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长．‎ ‎（2）求以M（1，1）为中点的椭圆的弦所在的直线方程．‎ ‎（3）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于A，B，求弦AB的中点P的轨迹方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】椭圆，右焦点为F（2，0）．‎ ‎（1）过点F（2，0）且斜率为1的直线为y=x﹣2，设l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式：|AB|=即可得出．‎ ‎（2）设l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．把点A，B的坐标代入椭圆方程，两式相减可得k，再利用点斜式即可得出．‎ ‎（3）设点P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），且，kAB=kFP，即，把点A，B的坐标代入椭圆方程，两式相减即可得出．‎ ‎【解答】解：椭圆，右焦点为F（2，0）．‎ ‎（1）过点F（2，0）且斜率为1的直线为y=x﹣2，设l与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，消去y得14x2﹣36x﹣9=0，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）设l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得，，．‎ 联立，‎ 两式相减得：5（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴5+9k=0，即．‎ ‎∴l方程为y﹣1=（x﹣1）即5x+9y﹣14=0．‎ ‎（3）设点P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），且，kAB=kFP，即 ‎，‎ ‎，两式相减得：5（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎，，‎ 整理得：5x2+9y2﹣10x=0，‎ AB中点的轨迹方程为5x2+9y2﹣10x=0．‎ ‎　‎ ‎2017年1月25日