数学卷·2018届北京市海淀区高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版） 15页

北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期中考试 数学试题（文科）‎ ‎1. 若集合，集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，由交集的定义得到： ‎ 故答案选择C.‎ ‎2. 命题“”的否定是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】命题“”的否定是:;根据换量词否结论，不变条件的原则得到结论即可。‎ 故答案为D。‎ ‎3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A：是偶函数，在上是减函数。故不正确。‎ B：是非奇非偶函数，在上是减函数。故不正确。‎ C：函数是偶函数，在上是增函数，故正确。‎ D：是奇函数，在R上是增函数。故不正确。‎ 故答案为C。‎ ‎4. 已知数列满足，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件得到：可设，‎ ‎ ，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0，故D是正确的。A，B，C，都是不正确的。‎ 故答案为D。‎ ‎5. 在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则点的横坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点C的坐标为 ，点A的坐标为 ，则 ，由 ，以及，得到 故得到 ‎ 故答案选A。‎ ‎6. 已知向量是两个单位向量，则“”是 ‎“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由条件得到，即两边平方得到： ‎ 得到 即两个向量的夹角是0，又因为长度相等，故；反之也能推得结论。‎ 故答案为C。‎ ‎7. 已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是 ，故，故 ‎，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据，得到 故答案为B。‎ 点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。‎ ‎8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时， ，故函数在 上单调递减，在 上单调递增，且过原点，最小值为；当时，若a<0，则原函数开口向下，值域小到负无穷，故一定有a>0,此时图像是开口向上的二次函数图像，最小值在对称轴处取得，故最小值为 ‎ 故答案为：D。‎ 点睛：这是分段函数的值域问题，先确定没有未知量的一支的图像和单调性，从而得到函 数的值域，再解决含参数的一支的值域问题。分段函数的值域一般是两段的值域的并集；二次函数的值域问题和函数的对称轴有密切关系，研究轴处的函数值，就是函数的最值。‎ ‎9. 已知等差数列满足，则公差=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由等差数列的通项公式得到：‎ 化为基本量a和公差d。‎ 故答案为2 。‎ ‎10. 已知向量 ， ，若与平行，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ ， ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ 与平行 ‎∴ ‎ ‎∴ ，故填.‎ ‎11. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时,，则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数，根据奇函数的定义得到 全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ ‎ 故结果为-2 。‎ ‎12. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】化简可得h=sint+cost ‎=2（sint+cost）‎ ‎=2sin（t+），‎ 令t=0可得h=，‎ 由振幅为2，可得小球振动时最高时离平衡位置为2 ，最低离平衡位置向下为2，故最大的高度差为4‎ 故答案为：；4‎ 点睛：这个题目是实际应用题目。根据题干条件得到高度的函数表达式，转化为求函数的最值即可；而接下来就是振幅的概念了；实际应用题目首先要弄清楚数学模型，比如这个题中的函数模型，再根据条件转化为数学中的知识。‎ ‎ ‎ ‎13. 能够说明 “设是实数.若，则”是假命题的一个实数的值 为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，故当 时函数值等于3.此时不满足题干。‎ 故答案为2 。‎ 点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。‎ ‎14. 已知非空集合满足以下两个条件： ‎ ‎（ⅰ）；‎ ‎（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.‎ 那么用列举法表示集合为_______ .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据题意可以分情况讨论，当集合A中有一个元素时，若 ，则，不符合集合的元素个数不是中的元素，这一条件；若A 符合条件。，此时不符合条件。当集合A中有两个元素时，2这个数字不能属于A集合，也不能属于B集合。不满足条件。当集合A中有3个元素时， 符合条件。‎ 故结果为集合为：或。‎ ‎ ‎ ‎15. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）把角代入解析式，化简即可；（2）利用辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性写出增区间即可求解.‎ 试题解析：（I） ‎ ‎（II） .‎ 令 ‎ 得 ‎ 所以函数的单调递增区间为.‎ ‎16. 已知等比数列满足，.‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式及前项和；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（N+），；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等比数列的概念和通项的性质得到，，进而得到通项公式；（2）由第一问得到，，故，再根据裂项求和的方法求得数列的和即可。‎ ‎（1）设等比数列的公比为.因为，且 ‎ 所以，得，又因为，所以 ，得，. ‎ 所以（N+），所以 ‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 所以. 所以数列的前项和 ‎ ‎ ‎. ‎ ‎17. 如图，△为正三角形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求，的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质得到)，再根据两角和差公式得到 = ，代入已知角的三角函数值即可；（2）由三角形中正弦定理得到，进而得到，再根据余弦定理得到的长为。‎ ‎（1）因为△为正三角形，，所以在△中，，所以.所以 = ‎ 因为在△中，， ‎ 所以. ‎ 所以 .‎ ‎（2）在△中，，由正弦定理得：，‎ 所以 又在正△中，， ，‎ 所以在△中，， ‎ 由余弦定理得：‎ 所以的长为. ‎ ‎ ‎ ‎18. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值；‎ ‎（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）6;（Ⅲ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求切线斜率，写出切线方程；（Ⅱ ‎）写出函数在区间上导数的变化情况，列表求最值即可；（Ⅲ）构造函数=，只需证明函数有唯一零点即可.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，得 , ‎ 所以，又 ‎ 所以曲线在点处的切线方程为：，即：.‎ ‎（Ⅱ）令，得.‎ 与在区间的情况如下：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 因为 所以函数在区间上的最大值为6. ‎ ‎（Ⅲ）证明：设=，‎ 则， ‎ 令，得.‎ 与随x的变化情况如下：‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 则的增区间为，，减区间为. ‎ 又，，所以函数在没有零点，又 ‎，‎ 所以函数在上有唯一零点. ‎ 综上，在上存在唯一的，使得.‎ ‎19. 已知数列满足，，（N*）.‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）;（Ⅲ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据递推关系式写出前六项即可；（Ⅱ）利用等差数列定义证明是等差数列，并写出其通项公式；（Ⅲ）根据等差数列的性质写出，再证出是等比数列，写出通项公式，可知当时项是非正的，从而得其最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ），； ‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.‎ ‎（Ⅲ）解法1：，，‎ 所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以数列的前n个奇数项之和为，由（Ⅱ）可知，，‎ 所以数列的前n个偶数项之和为.‎ 所以，所以.‎ 因为，且 所以数列是以为首项，为公差的等差数列.‎ 由可得，‎ 所以当或时，数列的前项和的最小值为. ‎ 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，‎ 一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：1是函数的极值点;‎ ‎（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数的导数，分析导数在1两侧的符号，判定1是极值点；（Ⅱ）求出的导数，找到，列表求出函数的最小值即可证明.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：‎ 证法1：的定义域为 由得 ‎， . ‎ 当时，，，故在上单调递增；‎ 当时，，，故在上单调递减；‎ 所以1是函数的极值点.‎ 证法2：（根据极值的定义直接证明）‎ 的定义域为 ‎ ‎，‎ 当时，，即；‎ 当时，，即； ‎ 根据极值的定义，1是的极值点. ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，‎ 证法1：，‎ 令，‎ ‎，故在上单调递增. 又，又在上连续，‎ 使得，即，‎ ‎ .（*）‎ 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎………………10分 ‎ . ‎ 由（*）式得，代入上式得 ‎. ‎ 令，‎ ‎，故在上单调递减. ‎ ‎，又，.‎ 即 . ‎ 证法2：，‎ 令，‎ ‎ 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎，即，当且仅当时取到等号.‎ ‎ ，令得. ‎ 随x的变化情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎，即，当且仅当时取到等号. .即. ‎ 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎ ‎ ‎