数学文卷·2018届宁夏石嘴山三中高三上学期期中考试（2017 10页

石嘴山市第三中学2018届高三年级第一学期期中考试试题 数学（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．在复平面内，复数的对应点为（1，-1），则=（ ）‎ A.     B.      C.    D.‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行，则m的值为(    ) ‎ A.2     B.-3      C.2或-3     D.-2或-3‎ ‎5．记为等差数列的前项和．若， ，则的公差为 A. 1 B. ‎2 ‎ C. 4 D. 8‎ ‎6．在中， ， 分别为边， 上的点，且， ，若， ， ，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．函数，（其中， ， ）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星”，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋 ‎11．已知实数满足若的最大值为10，则（ ）‎ A. 4 B. ‎3 C. 2 D. 1‎ ‎12．已知函数的图象上存在点.函数的图象上存在点，且关于原点对称，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分共20分.)‎ ‎13．若，则=____________.‎ ‎14．已知实数，，则的取值范围是__________．‎ ‎15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.‎ ‎16．在研究函数的性质时，某同学受两点间距离公式启发将变形为，，并给出关于函数以下五个描述：‎ ‎①函数的图像是中心对称图形；②函数的图像是轴对称图形；‎ ‎③函数在[0,6]上是增函数；④函数没有最大值也没有最小值；‎ ‎⑤无论m为何实数，关于x的方程都有实数根.‎ 其中描述正确的是__________.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．设数列的前项和为，点均在函数的图象上.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎18．在中， ， ‎ ‎（1）若，求的长 ‎（2）若点在边上，，，‎ ‎ 为垂足，，求角的值.‎ ‎19．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/‎ 万件.‎ ‎（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；‎ ‎（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.‎ ‎20．在三棱锥中， 和是边长为的等边三角形， ， 分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证: 平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎21．已知函数 .‎ ‎(1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.‎ ‎(2）记函数，若的最小值是，求函数的解析式.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．是上的动点，点满足点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与曲线的异于极点的交点为，与曲线的异于极点的交点为，求．‎ 石嘴山市第三中学2018届高三年级第一学期期中考试试题 数学（文科）参考答案 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C C B A B A A C A 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分共20分.)‎ ‎13． 14． 15. 16．①③④‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(1)见解析;（2） .‎ ‎【解析】试题分析：(1)先求出,然后利用时， 代入求解,最后验证首项即可; (2)将进行裂项,即,然后进行求和,消去一些项即可求出数列的前n项和.‎ 试题解析：(1)依题意， ，即，‎ 时， ‎ 当时， 符合上式，‎ 所以.‎ 又 ∵，‎ ‎∴是一个以1为首项，6为公差的等差数列. ‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 故 .‎ ‎18．（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析: ‎ 先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得： 结合∠BDC=2∠A，即可得结论．‎ 解：（1）设，则由余弦定理有： ‎ 即 解得： ‎ 所以 ‎（2）因为，所以.‎ 在中，由正弦定理可得： ，‎ 因为，所以.‎ 所以，所以.‎ ‎19．（1）y=25－（+x），（）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣‎ x=3t+10－x，又销售量t万件满足t=5－，整理化简可得y=25－（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28－（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，利润y=t(5+）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x 由销售量t万件满足t=5－（）．‎ 代入化简可得：y=25－（+x），（）‎ ‎（2）由（1）知y =28－（+x+3），‎ 当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号．‎ 综上所述，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大。‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20．（1）见解析（2）见解析（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA⊂平面PAC，OD⊄平面PAC，满足定理条件； （2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC； ‎ ‎（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．又因为D为PB中点，所以高是PO的一半. ‎ 试题解析：（1）∵分别为的中点，‎ ‎∴.‎ 又平面, 平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接,∵为中点， ,‎ ‎∴.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 同理， .‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（3）由（2）可知平面，‎ ‎∴为三棱锥的高，且.‎ ‎∴.‎ ‎21．（1） ；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由 ，知 在 上恒成立，构造函数 ‎，利用导数性质，能求出实数的取值范围． （2）由 ，知 ，由 时， 恒成立知 ，由此能求出函数 的解析式．‎ 试题解析：‎ ‎⑴ ∴在上恒成立 令∵恒成立 ‎ ‎ ∴ ‎ ‎(2) ∵‎ 易知时, 恒成立∴无最小值,不合题意 ‎ ‎ ∴ 令,则(舍负) ，由此可得,‎ 在 (上单调递减，在上单调递增，则是函数的极小值点， 解得 ‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数是增函数时实数的取值范围的求法，考查函数的解析式的求法，解题时认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用是解题的关键．‎ ‎22．（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先设出点的坐标，然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线的方程；（2）根据（1）将求出曲线的极坐标方程，分别求出射线与的交点的极径为，以及射线与的交点的极径为，最后根据求出所求．‎ 试题解析：（1）：设，则由条件知．由于点在上，‎ 所以即，‎ 从而的参数方程为（为参数），即；‎ ‎（2）将曲线的方程化为极坐标方程为： ①‎ 将曲线的方程化为极坐标方程为： ②‎ 把代入①得：， 把代入②得：,．‎ 考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）轨迹方程．‎ ‎【一题多解】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．第一问还可采用：曲线的普通方程为：，设，由得：，即．由点是上的动点得：，即曲线的方程为：．‎