数学卷·2017届上海市松江区高三4月期中教学质量监控（二模）（2017 10页

松江区2016-2017学年度第二学期期中质量监控试卷 高三数学 ‎（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.4‎ 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1．已知，则 ▲ ．‎ ‎2．已知集合则 ▲ ． ‎ ‎3．若复数（是虚数单位），且为纯虚数,则实数= ▲ ． ‎ ‎4．直线（为参数）对应的普通方程是 ▲ ． ‎ ‎5．若，且，则的值为 ▲ ．‎ ‎6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 ▲ ．‎ ‎7．若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎8．在约束条件下，目标函数的最大值为 ▲ ．‎ ‎9．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ ．‎ 俯视图 ‎10．已知椭圆的左、右焦点分别为，记．若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎11．如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点在大圆上，与小圆相切于点，为小圆上的点，则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎12．已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和 ▲ ．‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎13．设分别是两条异面直线的方向向量，向量夹角的取值范围为，所成角的取值范围为，则“”是“”的 ‎ ‎(A) 充要条件 ‎(B) 充分不必要条件 ‎(C) 必要不充分条件 ‎(D) 既不充分也不必要条件 ‎14． 将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则 ‎ ‎(A) ，的最小值为 (B) ，的最小值为 ‎ ‎(C) ，的最小值为 (D) ，的最小值为 ‎ ‎15．某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ‎ ‎(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）‎ ‎(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）‎ ‎(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）‎ ‎(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）‎ ‎16．设函数的定义域是，对于以下四个命题：‎ ‎(1) 若是奇函数，则也是奇函数；‎ ‎(2) 若是周期函数，则也是周期函数；‎ ‎(3) 若是单调递减函数，则也是单调递减函数；‎ ‎(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．‎ 其中正确的命题共有 ‎ ‎(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分） ‎ 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．‎ ‎(1) 若，求的值；‎ ‎(2) 若，求直线与平面所成的角． ‎ ‎18．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）‎ 设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．‎ ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎19．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）‎ 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．‎ ‎(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？‎ ‎(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？‎ ‎20．（本题满分16分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）‎ 设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆 相切于点，且为线段中点．‎ ‎(1) 若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；‎ ‎(2) 若，求直线的方程；‎ ‎(3) 试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．‎ ‎21．（本题满分18分；第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）‎ 对于数列，定义，．‎ ‎(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；‎ ‎(2) 若，，求数列的通项公式；‎ ‎ (3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．‎ 松江区二模考试数学试卷题（印刷稿）‎ ‎（参考答案）2017.4‎ 一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分 ‎1． 2． 3． 4． 5． 6．‎ ‎7． 8． 9． 10． 11 ． 12．‎ 二、选择题 （每小题5分，共20分）‎ ‎13． C 14．A 15. B 16．B ‎ 三．解答题（共78分）‎ ‎17．（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则,，， ……………………2分 ‎， ……………………4分 由得，即 解得． ……………………6分 ‎(2) 解法一：此时 ‎……………8分 设平面的一个法向量为 由得 ‎ 所以 ……………………10分 设直线与平面所成的角为 则 ……………12分 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 解法二：联结，则，‎ ‎，平面 …………………8分 ‎ 平面 所以是直线与平面所成的角； ……………………10分 在中， ‎ 所以 ……………………12分 所以 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 ‎18．（1）由得 ……………………2分 所以（舍）或， ……………………4分 所以 ……………………6分 ‎（2）由得 ……………………8分 ‎ ……………………10分 而，当且仅当时取等号…12分 所以，所以．………………………………14分 ‎19．（1）设长为米，长为米，依题意得，‎ 即， ………………………………2分 ‎ …………………………4分 ‎=‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米……6分 ‎（2）在(1)的条件下，因为．‎ 由 …………………………8分 得 ‎ …………………………10分 ‎ ‎ ‎， …………………………12分 ‎ 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 解法二：在中， ‎ ‎ ………8分 ‎ 在中，‎ ‎ …………………………10分 在中，‎ ‎= …………12分 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，‎ ‎,即，设 ………8分 由，求得， 所以 …………10分 所以，……………………12分 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 ‎20． (1)设的边长为，则的坐标为………2分 所以所以 此三角形的边长为． ……………………………4分 ‎(2)设直线 当时，符合题意 ……………………………6分 当时， …………………8分 ‎，舍去 综上所述，直线的方程为： ……………………………10分 ‎(3)时，共2条；……………………………12分 时，共4条； ……………………………14分 时，共1条． ……………………………16分 ‎21．：（1）由，可知数列为递增数列，……………………………2分 ‎ 计算得，，‎ ‎ 所以不存在，使得； ………………………4分 ‎（2）由，可以得到当时，‎ ‎， ……………………6分 又因为，‎ ‎ 所以， 进而得到，‎ ‎ 两式相除得，‎ 所以数列，均为公比为6的等比数列， ……………………8分 由，得，‎ 所以； ………… …………10分 ‎ （3）证明：由题意，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 因此，对任意，都有． …………12分 ‎ 必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，‎ ‎ 显然，‎ ‎ 由于=，‎ ‎ 所以对于，为常数，‎ ‎ 故为等差数列； …………14分 充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为 ‎ 当时，有成立。…………15分 假设时为等差数列，‎ 即 …………16分 当时，由为等差数列，得，‎ ‎ 即：，‎ ‎ 所以 …………17分 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 因此，‎ ‎ 综上所述：数列为等差数列． …………18分