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  • 2021-06-21 发布

专题18 三角恒等变换-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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‎【高考地位】‎ 三角函数学习中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换,是常用的解题工具. 但由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 运用转化与化归思想 使用情景:含不同角的三角函数式类型 解题模板:第一步 利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式;‎ 第二步 运用有关公式进行变形,主要是角的拆变;‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 已知,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换,属于基础试题,本题的解答中注意角的整体性和配凑.‎ ‎【变式演练1】(1)化简:.‎ ‎(2)若、为锐角,且,,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 考点:1诱导公式;2同角三角函数基本关系式;3两角和差公式.‎ ‎【变式演练2】已知 均为锐角,且,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ 考点:1. 同角三角函数基本关系;2. 两角差的余弦公式 方法二 运用函数方程思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 将把某个三角函数式看作未知数,利用已知条件或公式列出关于未知数的方程;‎ 第二步 求解方程组;‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 已知,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可得: ‎ 故选:B ‎【点评】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换.因此,有时在三角恒等变换中,可 以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. ‎ 例3若,,,且,,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【变式演练3】设是方程的两根,则的值为( )‎ A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,根据.‎ 考点:1.韦达定理;2.两角和的正切公式.‎ 名师点睛:此题考查两角和的正切公式的整体思想,是方程的两个根,但不要求方程的两根分别是多少,而用韦达定理,整体求两根之和,两根之积,然后代入.‎ ‎【变式演练4】方程两根,且,则 ;‎ ‎【答案】‎ 考点:两角和差公式以及正切函数的性质.‎ 方法三 运用换元思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 运用换元法将未知向已知转化;‎ 第二步 利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换;‎ 第三步 得出结论.‎ 例5 若求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【点评】本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子看作一个整体,通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.‎ ‎【变式演练4】若 是三角形的最小内角,则函数的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由,令而,得;又,得,得,则,所以函数的最小值为.故选A. ‎ 考点:正弦、余弦函数的图象与性质,两角和与差的三角函数及三角恒等变换.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国III文,4】已知,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】 .‎ 所以选A. ‎ ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ 考点:三角恒等变换,切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形中恒有,这类同于正余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识 ‎ ‎4.【2015高考重庆,理9】若,则(  )‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.‎ ‎【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.‎ ‎5.【2015高考重庆,文6】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式,采用先将未知角用已知角和表示出来,再用正切的差角公式求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.‎ ‎6.【2015高考四川,理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.‎ 有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角,然后再化为一个三角函数一般地,有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.‎ ‎7.【2015高考四川,文13】已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是______________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识,考查综合处理问题的能力.‎ ‎【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是:结合sin2α+cos2α=1,解出sinα与cosα的值,然后代入计算,但这种方法往往比较麻烦,而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想,先求出tanα的值,对所求式除以sin2α+cos2α(=1)是此类题的常见变换技巧,通常称为“齐次式方法”,转化为tanα的一元表达式,可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学(理)试题】若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,∴,∴.选B。‎ ‎2.【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考 数学(联考)试题】已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 3.【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学文试题】设为锐角,若,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 4.【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研数学(理)试题】已知锐角满足 ‎,则的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】, ,则 ,‎ 由 得: ‎ ‎ ‎ ‎.选C ‎【点睛】本题考查有关三角函数求值问题,借助诱导公式、同角三角函数关系、和角、差角、二倍角三角函数公式进行求值.利用同角函数关系特别是平方关系求值时,要注意角的范围,开方时取的正负号,三角函数求值问题注意两个问题,一是角的关系,二是名的关系,本题抓住了二倍角的关系,利用二倍角的正弦公式,达到了求值的目的.‎ ‎5.【齐鲁名校教科研协作体2018届高三第一次调研联考(理)数学试题】已知均为锐角, ,则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 6.【广东省广州2017届高三下学期第一次模拟(文)数学试题】已知,且,则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎.选C.‎ ‎7.【四川省成都市双流中学2018届高三11月月考数学(文)试题】若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,则,可得,则,故选C.‎ ‎8.【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题】若,则为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 为——配凑角:即将要求的式子通过配凑,得到与已知角的等量关系,进而用两角和差的公式展开求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负!‎ ‎9.【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试(一)数学文试题】已知函数,当时,有最大值,则=__________.‎ ‎【答案】-5/12‎ ‎【解析】‎ 当时,有最大值,‎ ‎=tan ‎10.【吉林省松原市实验高级中学等三校2016届高三下学期联合模拟考试文数试题】‎ 已知, ,那么 .‎ ‎【答案】‎ 考点:同角三角函数基本关系和辅助角公式.‎