- 446.40 KB
- 2021-06-21 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
【高考地位】
三角函数学习中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换,是常用的解题工具. 但由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.
【方法点评】
方法一 运用转化与化归思想
使用情景:含不同角的三角函数式类型
解题模板:第一步 利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式;
第二步 运用有关公式进行变形,主要是角的拆变;
第三步 得出结论.
例1 已知,则的值为__________.
【答案】
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换,属于基础试题,本题的解答中注意角的整体性和配凑.
【变式演练1】(1)化简:.
(2)若、为锐角,且,,求的值.
【答案】(1);(2).
考点:1诱导公式;2同角三角函数基本关系式;3两角和差公式.
【变式演练2】已知 均为锐角,且,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2)
考点:1. 同角三角函数基本关系;2. 两角差的余弦公式
方法二 运用函数方程思想
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 将把某个三角函数式看作未知数,利用已知条件或公式列出关于未知数的方程;
第二步 求解方程组;
第三步 得出结论.
例2 已知,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得:
故选:B
【点评】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换.因此,有时在三角恒等变换中,可
以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解.
例3若,,,且,,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【变式演练3】设是方程的两根,则的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】A.
【解析】
试题分析:,根据.
考点:1.韦达定理;2.两角和的正切公式.
名师点睛:此题考查两角和的正切公式的整体思想,是方程的两个根,但不要求方程的两根分别是多少,而用韦达定理,整体求两根之和,两根之积,然后代入.
【变式演练4】方程两根,且,则 ;
【答案】
考点:两角和差公式以及正切函数的性质.
方法三 运用换元思想
使用情景:一般三角函数类型
解题模板:第一步 运用换元法将未知向已知转化;
第二步 利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换;
第三步 得出结论.
例5 若求的取值范围.
【答案】.
【点评】本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子看作一个整体,通过
代数、三角变换等手段求出取值范围.
【变式演练4】若 是三角形的最小内角,则函数的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:由,令而,得;又,得,得,则,所以函数的最小值为.故选A.
考点:正弦、余弦函数的图象与性质,两角和与差的三角函数及三角恒等变换.
【高考再现】
1.【2017全国III文,4】已知,则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 .
所以选A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
2.【2016高考新课标2理数】若,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是 .
【答案】8.
考点:三角恒等变换,切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形中恒有,这类同于正余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识
4.【2015高考重庆,理9】若,则( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C
【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换.
【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算即可.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子,利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.
5.【2015高考重庆,文6】若,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】,故选A.
【考点定位】正切差角公式及角的变换.
【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式,采用先将未知角用已知角和表示出来,再用正切的差角公式求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.
6.【2015高考四川,理12】 .
【答案】.
【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.
有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.
【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角,然后再化为一个三角函数一般地,有.第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.
7.【2015高考四川,文13】已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是______________.
【答案】-1
【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识,考查综合处理问题的能力.
【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是:结合sin2α+cos2α=1,解出sinα与cosα的值,然后代入计算,但这种方法往往比较麻烦,而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想,先求出tanα的值,对所求式除以sin2α+cos2α(=1)是此类题的常见变换技巧,通常称为“齐次式方法”,转化为tanα的一元表达式,可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.
【反馈练习】
1.【广西贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考数学(理)试题】若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,∴,∴.选B。
2.【安徽省马鞍山含山2017-2018学年度高三联考 数学(联考)试题】已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
3.【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学文试题】设为锐角,若,则的值为
A. B. C. D.
【答案】B
4.【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研数学(理)试题】已知锐角满足
,则的值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】, ,则 ,
由 得:
.选C
【点睛】本题考查有关三角函数求值问题,借助诱导公式、同角三角函数关系、和角、差角、二倍角三角函数公式进行求值.利用同角函数关系特别是平方关系求值时,要注意角的范围,开方时取的正负号,三角函数求值问题注意两个问题,一是角的关系,二是名的关系,本题抓住了二倍角的关系,利用二倍角的正弦公式,达到了求值的目的.
5.【齐鲁名校教科研协作体2018届高三第一次调研联考(理)数学试题】已知均为锐角, ,则=
A. B. C. D.
【答案】A
6.【广东省广州2017届高三下学期第一次模拟(文)数学试题】已知,且,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.选C.
7.【四川省成都市双流中学2018届高三11月月考数学(文)试题】若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,则,可得,则,故选C.
8.【福建省三明市第一中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题】若,则为( )
A. B. C. D.
【答案】C
为——配凑角:即将要求的式子通过配凑,得到与已知角的等量关系,进而用两角和差的公式展开求值即可.在求解过程中注意结合角的范围来确定正余弦的正负!
9.【广东省广州市海珠区2018届高三综合测试(一)数学文试题】已知函数,当时,有最大值,则=__________.
【答案】-5/12
【解析】
当时,有最大值,
=tan
10.【吉林省松原市实验高级中学等三校2016届高三下学期联合模拟考试文数试题】
已知, ,那么 .
【答案】
考点:同角三角函数基本关系和辅助角公式.