专题15 二项式定理及数学归纳法（专题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 11页

专题 15 二项式定理及数学归纳法 【2017 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1) 二项式定理的简单应用，B 级要求； (2)数学归纳法的简单应用，B 级要求 【重点、难点剖析】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0 nan＋C1 nan－1b＋…＋Cr nan－rbr＋…＋Cn nbn，上式中右边的多项式叫做(a ＋b)n 的二项展开式，其中 Cr n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第 r＋1 项叫做展开式的 通项，用 Tr＋1 表示，即 Tr＋1＝Cr nan－rbr； (2)(a＋b)n 展开式中二项式系数 Cr n(r＝1,2,3，…，n)的性质： ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 Cr n＝Cn－r n ； ②C0 n＋C1 n＋C2 n＋…＋Cn n＝2n；C0 n＋C2 n＋…＝C1 n＋C3 n＋…＝2n－1. 2．二项式定理的应用 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”． (2)二项式展开式的通项公式 Tr＋1＝Cr nan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项． 3．数学归纳法 运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当 n 取第一个值 n0(n0 ∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明 当 n＝k＋1 时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从 n0 开始的所有的正整数都成 立，两步缺一不可． 4．数学归纳法的应用 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后 利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论． (2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方 法． (3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 成立时，过去讲的证明 不等式的方法在此都可利用． (4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把 n＝k＋1 时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的 形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式． 【题型示例】 题型一 二项式定理的应用 【例 1】(2016·四川，2，易)设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4 的项为( ) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 【答案】A 【解析】∵Tr＋1＝Cr6xr(i)6－r，∴含 x4 的项为 T5＝C46x4i2＝－15x4. 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 解析 Tk＋1＝Ck5(x2＋x)5－kyk，∴k＝2. ∴C25(x2＋x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得 r＝1，∴x5y2 的系数为 C25C13＝ 30. 答案 C 【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)若 x＋2 x2 n 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 展开式的常数项是( ) A．360 B．180 C．90 D．45 (2)(2014·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数为 f(m，n)，则 f(3,0)＋f(2,1) ＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ) A．45 B．60 C．120 D．210 【命题意图】 (1)本题主要考查二项展开式的通项、系数问题，对思维能力有一定要求． (2)本题主要考查二项展开式的系数问题，需要考生结合二项式定理进行求解． 【答案】(1)B (2)C 【感悟提升】二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理(两个 多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值，这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问 题迎刃而解． 另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数， 在运用公式时要注意以下几点： (1)Cr nan－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)运用通项公式 Tr＋1＝Cr nan－rbr 解题，一般都需先转化为方程(组)求出 n，r，然后代入通项公 式求解； (3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出 r，再求出所需的某项；有时需先求 n，计 算时要注意 n 和 r 的取值范围及它们之间的大小关系． 【举一反三】1.(2015·北京，9)在(2＋x)5 的展开式中，x3 的系数为________(用数字作答)． 解析 展开式通项为：Tr＋1＝Cr525－rxr，∴当 r＝3 时，系数为 C35·25－3＝40. 答案 40 2.(2015·天津，12)在 x－ 1 4x 6 的展开式中，x2 的系数为________． 解析 x－ 1 4x 6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr6x6－r － 1 4x r ＝Cr6 －1 4 r x6－2r； 当 6－2r＝2 时，r＝2，所以 x2 的系数为 C26 －1 4 2 ＝15 16 . 答案 15 16 【变式探究】已知 an＝(1＋ 2)n(n∈N*) (1)若 an＝a＋b 2(a，b∈Z)，求证：a 是奇数； (2)求证：对于任意 n∈N*都存在正整数 k，使得 an＝ k－1＋ k. 【规律方法】二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同，本题的第 r＋1 项的二项式系数 是 Cr 8，而展开式系数却是 2rCr 8，解题时要分清． 【变式探究】已知数列{an}的首项为 1，p(x)＝a1C0 n(1－x)n＋a2C1 nx(1－x)n－1＋a3C2 nx2(1－x)n－2＋… ＋anCn－1 n xn－1(1－x)＋an＋1Cn nxn (1)若数列{an}是公比为 2 的等比数列，求 p(－1)的值； (2)若数列{an}是公比为 2 的等差数列，求证：p(x)是关于 x 的一次多项式． 【解析】(1)解 法一 由题设知，an＝2n－1. p(－1)＝1·C0 n(－1)0·2n＋2·C1 n(－1)1·2n－1＋22·C2 n(－1)2·2n－2＋…＋2n·Cn n(－1)n·20＝ C0 n(－2)0·2n＋C1 n(－2)1·2n－1＋C2 n(－2)2·2n－2＋…＋Cn n(－2)n·20＝(－2＋2)n＝0. 法二 若数列{an}是公比为 2 的等比数列，则 an＝2n－1，故 p(x)＝C0 n(1－x)n＋C1 n(2x)(1－x)n－1 ＋C2 n(2x)2(1－x)n－2＋…＋Cn－1 n (2x)n－1(1－x)＋Cn n(2x)n＝(1－x)＋2x]n＝(1＋x)n. 所以 p(－1)＝0. (2)证明 若数列{an}是公差为 2 的等差数列，则 an＝2n－1. p(x)＝a1C0 n(1－x)n＋a2C1 nx(1－x)n－1＋…＋anCn－1 n xn－1·(1－x)＋an＋1Cn nxn ＝C0 n(1－x)n＋(1＋2)C1 nx(1－x)n－1＋(1＋4)C2 nx2(1－x)n－2＋…＋(1＋2n)Cn nxn ＝C0 n(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋C2 nx2(1－x)n－2＋…＋Cn nxn]＋2C1 nx(1－x)n－1＋2C2 nx2(1－x)n－2＋…＋ Cn nxn]． 由二项式定理知， C0 n(1－x)n＋C1 nx(1－x)n－1＋C2 nx2(1－x)n－2＋…＋Cn nxn＝(1－x)＋x]n＝1. 因为 kCk n＝k· n！ k！ n－k ！ ＝n· n－1 ！ k－1 ！ n－k ！ ＝nCk－1 n－1， 所以 C1 nx(1－x)n－1＋2C2 nx2(1－x)n－2＋…＋nCn nxn ＝nC0 n－1x(1－x)n－1＋nC1 n－1x2(1－x)n－2＋…＋nCn－1 n－1xn ＝nxC0 n－1(1－x)n－1＋C1 n－1x(1－x)n－2＋…＋Cn－1 n－1xn－1] ＝nx(1－x)＋x]n－1＝nx， 所以 p(x)＝1＋2nx. 即 p(x)是关于 x 的一次多项式． 题型二 二项展开式中的常数项 例 2．(2016·北京，10，易)在(1－2x)6 的展开式中，x2 的系数为________．(用数字作答) 【解析】 由已知得，Tr＋1＝Cr6·(－2x)6－r＝Cr6·(－2)6－r·x6－r.令 6－r＝2，得 r＝4，所以 T5＝ C46(－2)2x2＝60x2，故 x2 的系数为 60. 【答案】 60 【举一反三】(2016·课标Ⅰ，14，易)(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是________．(用数字填 写答案) 【解析】 (2x＋ x)5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·( x)r＝25－r·Cr5x5－r 2 . 令 5－r 2 ＝3，解得 r＝4. ∴x3 的系数为 25－4C45＝2×5＝10. 【答案】 10 【变式探究】(2015·湖南，6)已知 x－ a x 5 的展开式中含 x 3 2 的项的系数为 30，则 a＝( ) A. 3 B．－ 3 C．6 D．－6 【变式探究】使得 3x＋ 1 x x n (n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的 n 为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析 展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ckn(3x)n－k 1 x x k＝Ckn3n－kxn－5k 2 .由 n－5k 2 ＝0 得 n＝5k 2 ，所以当 k＝2 时，n 有最小值 5，选 B. 答案 B 【举一反三】设函数 f(x)＝ x－1 x 6 ，x<0， － x，x≥0. 则当 x>0 时，ff(x)]表达式的展开式中常数项为( ) A．－20 B．20 C．－15 D．15 解析 当 x>0 时，ff(x)]＝ － x＋ 1 x 6 ＝ 1 x － x 6 的展开式中，常数项为 C36 1 x 3(－ x)3＝－20. 所以选 A. 答案 A 题型三 二项式定理的综合应用 例 3．(2016·山东，12，易)若 ax2＋ 1 x 5 的展开式中 x5 的系数是－80，则实数 a＝________． 【解析】 ax2＋ 1 x 5 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr5(ax2)5－rx－r 2 ＝Cr5a5－rx20－5r 2 ，令20－5r 2 ＝5，解得 r＝2.所以 C25a3＝－80，解得 a＝－2. 【答案】 －2 【举一反三】(2016·天津，10，易) x2－1 x 8 的展开式中 x7 的系数为________．(用数字作答) 【答案】 －56 【变式探究】(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中 x2 的系数为 15，则 n＝( ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析 由题意易得：Cn－2n ＝15，Cn－2n ＝C2n＝15，即n（n－1） 2 ＝15，解得 n＝6. 答案 C 【变式探究】(2014·湖北，2)若二项式 2x＋a x 7 的展开式中1 x3 的系数是 84，则实数 a＝( ) A．2 B. 5 4 C．1 D. 2 4 解析 Tr＋1＝Cr7·(2x)7－r· a x r ＝27－rCr7ar· 1 x2r－7.令 2r－7＝3，则 r＝5.由 22·C57a5＝84 得 a＝1，故选 C. 答案 C 【举一反三【(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4 的展开式中，记 xmyn 项的系数 f(m，n)，则 f(3，0) ＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( ) A．45 B．60 C．120 D．210 解析 在(1＋x)6 的展开式中，xm 的系数为 Cm6 ，在(1＋y)4 的展开式中，yn 的系数为 Cn4，故 f(m， n)＝Cm6 ·Cn4.从而 f(3，0)＝C36＝20，f(2，1)＝C26·C14＝60，f(1，2)＝C16·C24＝36，f(0，3)＝C34＝4，故选 C. 答案 C 题型四 数学归纳法的应用 例 4、(2015·湖北理，22，14 分)已知数列{an}的各项均为正数， bn＝n 1＋1 n n an(n∈N＋)，e 为自然对数的底数． (1)求函数 f(x)＝1＋x－ex 的单调区间，并比较 1＋1 n n 与 e 的大小； (2)计算b1 a1 ，b1b2 a1a2 ，b1b2b3 a1a2a3 ，由此推测计算b1b2…bn a1a2…an 的公式，并给出证明； (3)令 cn＝(a1a2…an) 1 n，数列{an}，{cn}的前 n 项和分别记为 Sn，Tn，证明：Tn