数学文卷·2018届河南省高三中学生标准学术能力诊断性测试（2月）（2018 10页

中学生标准学术能力诊断性测试 2018 年 2 月测试 数学文科试卷 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共.12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 、 1.已知集合 M={ }，N=={ }，则集合 = A. [-1,2] B. [-1,∞] C.[-2,∞] D. 2. 在复平面内，复数 对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. “ ”是“ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在正方体 ABCD -A1B1C1D1 中的面内任取一点 S ,作三棱锥 S-ABC,在正方体内随机取点 M,那 么点 M 落在三棱锥 S-ABC 内部的概率是 A. B. C. D. 5.双曲线 的离心力 ，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 6. 执行下面的程序框图，若输入 ， ，则输出的 的值为 A. B. C. D. Rxxyy ∈−= ,1| 2 24| xyx −= NM  φ i i + + 2 |43| αα cossin = Zkk ∈+= ,42 ππα 2 1 3 1 6 1 9 1 12 2 2 2 =− b y a x 3=e xy 22±= xy 4 2±= xy 10±= xy 10 10±= 030sin=a 030cos=b ba ⊗ 2 13 + 4 6 2 13 − 2 6 7.以下命题（其中 a，b 表示直线， 表示平面） ①a//b，b ，则 a// ②若 a//b，b// a，则 a//b ③若 a//b，b// ，则 a // ④若 a // ，b ，则 a//b 其中正确命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 8.设 满足约束条件 ，则 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9 9.设函数 的导函数为 为奇函数，且在(0，1)上存在极大值，则 的图像可 能为 10. 是定义在(0， ）内的函数， 为其导函数，且 恒成立， 则 A. B. C. D. 11. 如图，已知 AB 是圆 O 的直径，AB=2a (a>0]，点 C 在直线 AB 的延长线上，BC=a，点 P 是半圆 0 上的动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD, 且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧，记 ，将 和 的面积之和表示成 的函数 ，则 取最大值 时 的值为 A. B. C. D. 12.设直线 抛物线 相交于 A，B 两点，与圆 （r>0) 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 恰有 4 条，则以下命题正确的是 α ⊂ α α α α α ⊂ α yx,    ≤ ≥+ ≤ 3 0 x yx xy yxz −= 2 )(xf )(' xf )(' xf )(xf 2 π )(xf )('＜tan)( xfxf ⋅ )6(＜2)2( ππ ff )3(2＜)4(3 ππ ff )3(＜)6(3 ππ ff 1sin)6(＜2)1( π ff xPOB =∠ OPC∆ PCD∆ x )(xf )(xfy = x 6 5π 3 2π 2 2π π l xy 42 = 222)5( ryx =+− l ①点 M 的横坐标为定值 3 ②点 M 的纵坐标为定值 3 ③圆的半径 r 的范围是（1，3）④圆的半径 r 的范围是（2，4） A.① B.④ C.②③ D.①④ 二、填空题；本题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分。 13.已知向量 ,满足 ,则 = 。 14.函数 的图象在点( ）处的切线斜率最 小值是 . 15.已知点 A,B,C,D 在同一球的球面上，AB=BC=a,AC= a, 若四面体 ABCD 外接球的球心 O 恰好在侧棱 DA 上，DC= a,则这个球的表面积为 。 16.在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 ，点 D 满足 ，且线段 AD=3，则 的最大值为 。 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17〜21题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考題，考生根据要求作答。 (―)必考题：共 60 分。 17.(12 分)在△ABC 中，角 A，B,C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 . (1)求角 A 的大小； (2)已知 ，△ABC 的面积为 1，求边 a. 18.( 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PD 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠BAD= AB=2a，PD= ,其中 0＜a＜1，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点。 (1)求证：平面 EAC⊥平面 PBD； (2)若 PD∥平面 EAC，求三棱锥 P-EAD 的体积的最大值。 ＜＞ l9. 分双十一之后，网购粉丝们期待的双十二已然到来，为了解双十二消费者购物情况和电 商的营业情况，做如下数据分析。据悉 12 月 12 日有 2000 名网购者在某购物网站进行网购 消费（消费金额不超过 1000 元），其中有女士 1100 名，男士:900 名，该购物网站为优化 营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进行分析，如表。 ba, )9,1(2),3,1(2 =−−=+ baba ba, R)a＞0,(2018ln)( 2 ∈=−+= bbxxxxf )(, bfb 2 6 ca ba BA C − +=− sinsin sin BCBD 2= ca +2 0sincos =− BaAb 2=b 060 )1(2 2a− （消费金额单位：元） (1)计算 x，y 的值，在抽出的 200 名且消费金额在[800，1000]（单位：元）网购者中随机 选出 2 名发放网购红包，求选出的 2 名网购者都是男士的概率； (2)若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人”，低于 600 元的网购者为“非网购达 人”，根据以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率上不超过 0.05 的前提下认为“是否为网购达人”与性别有关?” 20. (12 分)已知椭圆 M: 的两个顶点分别为 A（-a,0）,B(a,0), 点 P 为椭圆上异于 A,B 的点，设直线 PA 的斜率为 ，直线 PB 的斜率为 ， 。 (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若 b=1, 设直线 与 轴交于 D (-1，0)，与椭圆交于 M，N 两点，求△OMN 的面积的最 大值。 )0＞,0＞(12 2 2 2 bab y a x =+ 1k 2k 2 1 21 −=kk l x 21.(12 分)设函数 ， (1) 求函数 的单调增区间； (2)当 a=1 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由。 （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一題作答。如果多做，则按所做的第 一题计分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分） 在直角坐标系 中，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以 O 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 半圆 C (圆心为点 C）的参数方程为 为参数， . (l)求圆 C 的普通方程； (2)直线 的极坐标方程是 ，射线 OM： 与 C 圆 C 的交点为 O、P， 与直线 的交点为 Q，求线段 PQ 的长。 23.[选修 4-5 不等式选讲]（10 分） 已知函数 ⑴求不等式 的解集； (2)若存在实数 满足 ，求实数 的最大值。 3)(,1ln)( −=−+= axxgx axxf )()()( xgxfxf += )()()( xgxfxh ⋅= λ x )(2 xh≥λ λ xoy    += = ϕ ϕ sin1 cos y x ϕ x ϕϕ ϕ    += = sin1 cos y x { ),0( πϕ ∈ l 35)6sin(2 =+ πθρ 6 πθ = l .|2||1|)( −+−= xxxf 3)( ≥xf x )5)( 2 ++−≤ aaxf a