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- 2021-06-21 发布
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1.设f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1)求f(x)<0的解集;
(2)当x<-1时,f(x)>f(a),求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.
(1)若函数f(x)的值不大于1,求x的取值范围;
(2)若不等式f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.
【解析】:(1)由题意得f(x)≤1,即|x-3|≤3,解得0≤x≤6,
所以x的取值范围是0,6].
(2)f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,
因为对任意的实数x,有f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,
所以有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].
3.已知函数f(x)=|x|+|x-3|.
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若函数f(x)的最小值为m,且正实数a,b,c满足a+b+c=m,求证:++≤3 .
【解析】:(1)f(x)=|x|+|x-3|=
当x≤0时,-2x+3≤5,得-1≤x≤0;
当04,解此不等式得a<-3或a>5.
6.已知a,b为正实数.
(1)若a+b=2,求+的最小值;
(2)求证:a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
(2)证明:由基本不等式得a2b2+a2≥2a2b,a2b2+b2≥2b2a,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b=1时,三式等号成立,
三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab(a+b+1),
所以a2b2+a2+b2≥ab(a+b+1).
7、若不等式|a-1|≥++对满足x+y+z=1的一切正实数x,y,z恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】:根据柯西不等式有
(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)()2+()2+()2]=3·3(x+y+z)+3]=3×6=18,
∴++≤3 ,当且仅当==,即x=y=z=时,等号成立.
又∵|a-1|≥++恒成立,∴|a-1|≥3 ,
∴a-1≥3 或a-1≤-3 ,即a≥3 +1或a≤1-3 ,
∴a的取值范围是(-∞,1-3 ]∪1+3 ,+∞).
8、设a,b,c均为正实数,求证:++≥++≥++.
9、已知a>0,b>0,c>0,+++3abc的最小值为m.
(1)求m的值;
(2)解关于x的不等式|x+1|-2x0),若任意s∈(0,+∞),任意t∈(-∞,+∞),恒有g(s)≥f(t)成立,试求实数a的取值范围.
12.设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2-3t在0,1]上无解,求实数t的取值范围.
【解析】 (1)f(x)=
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪6,+∞).
(2)只要f(x)max<t2-3t,
由(1)知f(x)max=-1<t2-3t解得t>或t<.
13.设函数f(x)=|x-3|-|x+a|,其中a∈R.
(1)当a=2时,解不等式f(x)<1.
(2)若对于任意实数x,恒有f(x)≤2a成立,求a的取值范围.
14.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|,a∈R.
(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤1.
(2)不等式f(x)≤4在x∈-2,3]时恒成立,求a的取值范围.
15.已知a,b∈R,f(x)=|x-2|-|x-1|.
(1)若f(x)>0,求实数x的取值范围.
(2)对∀b∈R,若|a+b|+|a-b|≥f(x)恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)由f(x)>0得|x-2|>|x-1|,
两边平方得x2-4x+4>x2-2x+1,
解得x<,
即实数x的取值范围是.
(2)|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|,
因为f(x)=|x-2|-|x-1|,f(x)max=1,
所以2|a|≥1⇒|a|≥⇒a≥或a≤-,
所以a的取值范围为∪.
16.设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.
(1)解不等式f(x)≥2.
(2)当x∈R,00,求证:f(ax)-af(x)≤f(a).
【解析】(1)由题f(x)+f(x-1)=|x-1|+|x-2|,
因此只需解不等式|x-1|+|x-2|≤2.
当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,
即≤x≤1.
当12时,原不等式等价于2x-3≤2,
即20时,f(ax)-af(x)
=|ax-1|-|ax-a|
=|ax-1|-|a-ax|≤|ax-1+a-ax|
=|a-1|
=f(a).
18.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.
(1)求不等式f(x)≥-2的解集.
(2)对任意x∈a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.
(2)f(x)=
函数f(x)的图象如图所示:
令y=x-a,-a表示直线的纵截距,
当直线过(1,3)点时,-a=2;