2017-2018学年江苏省扬州市邗江区高二下学期期中考试数学（理）试题-解析版 12页

绝密★启用前 江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 第I卷（选择题）‎ 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．______‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】分析：利用组合数公式求解即可.‎ 详解：，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是组合数公式，属于简单题目.‎ ‎2．已知复数（是虚数单位），则||=______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先利用复数的除法运算，将复数z化简，之后应用复数模的公式求得其结果.‎ 详解：，‎ 所以，故答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的求解问题，在解题的过程中，需要明确复数的除法运算法则，以及复数模的运算公式.‎ ‎3．已知（1）正方形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形．由（1）、（2）、（3）组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是________‎ ‎【答案】正方形的对角线相等 ‎【解析】分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理.在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中“平行四边形的对角线相等”，含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”，另外一个就是结论.‎ 详解：由演绎推理三段论可得，本例中的“平行四边形的对角线相等”是大前提，‎ 本例中的“正方形是平行四边形”是小前提，‎ 则结论为“正方形的对角线相等”，‎ 所以答案是：正方形的对角线相等.‎ 点睛：该题考查的是有关演绎推理的概念问题，要明确三段论中三段之间的关系，分析得到大前提、小前提以及结论是谁，从而得到结果.‎ ‎4．观察式子，，，……，则可以归纳出________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据已知中，分析左边式子中的数与右边式子中的数之间的关系，由此可以写出结论.‎ 详解：根据题意，每个不等式的右边的分母是，不等号的右边的分子是，‎ 所以，所以答案是.‎ 点睛：该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真分析式子中出现的量之间的关系，以及对应的式子的特点，得出结果.‎ ‎5．若向量，满足条件，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：依题意可得，，所以由，所以.‎ 考点：空间向量的坐标运算.‎ 视频 ‎6．对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 ________‎ ‎【答案】假设至少有两个钝角 ‎【解析】分析：求出要证命题：“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得到结论.‎ 详解：用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，‎ 而要证命题：“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故应先假设三角形的内角至少有两个钝角.‎ 点睛：该题考查的是有关反证法的问题，要明确反证法的证明思路，反证法的证明步骤以及反证法的理论依据，从而正确得出结果.‎ ‎7．利用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，左边应该是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：用数学归纳法证明“， ()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始，以结束，所以左边应该是.‎ 考点：数学归纳法.‎ ‎8．复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则点对应的复数是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，同理，所以点对应的复数是.‎ 考点：复数的几何意义.‎ ‎9．设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥，则的值为______‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】分析：设平面的法向量，平面的法向量，由∥，可得，因此存在实数，使得，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果.‎ 详解：设平面的法向量，平面的法向量，‎ 因为∥，所以，所以存在实数，使得，‎ 所以有，解得，故答案为.‎ 点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.‎ ‎10．从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有__________种．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】这人中既有男生又有女生，包括男女和男女两种情况：若人中有男女，则不同的选法共有种；若人中男女，则不同的选法共有种，根据分类计数原理，既有男生又有女生的选法共有种，故答案为． ‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎11．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，式子应变形为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为.‎ 详解：用数学归纳法证明：能被6整除的过程中，当时，式子应变形为，由于假设能够被6整除，而能被2整除，因此能被6整除，故答案为.‎ 点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，所涉及的知识点是从假设成立，推导成立时，一定要用到假设时的条件，从而得到结果.‎ ‎12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不能割，则与圆合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由已知代数式的求值方法：‎ 先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根)，‎ 可得要求的式子。‎ 令，‎ 则两边平方得,则3+2，‎ 即，解得，m=3，m=−1舍去。‎ 故答案为3.‎ ‎13．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，在线段上，设，所以，，所以，函数是一次函数，且为减函数，，所以在上单调递减，所以当时，取得最大值，故应填.‎ 考点：1、空间向量在立体几何中的应用；‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎14．某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______‎ ‎【答案】1008‎ ‎【解析】分析：本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两元之间有一个排列，丙不排在初一，丁不排在初七，则可以甲乙排初一、初二和初六、初七，丙排初七和不排初七，根据分类原理得到结果.‎ 详解：分两类：‎ 第一类：甲乙相邻排初一、初二或初六、初七，这时先安排甲和乙，有种，然后排丙或丁，有种，剩下的四人全排有种，因此共有种方法；‎ 第二类：甲乙相邻排中间，有种，当丙排在初七，则剩下的四人有种排法，若丙排在中间，则甲有种，初七就从剩下的三人中选一个，有种，剩下三人有种，所以共有种，‎ 故共有种安排方案，故答案为.‎ 点睛：‎ 该题考查的是由多个限制条件的排列问题，在解题的过程中，注意相邻问题捆绑法，特殊元素优先考虑的原则，利用分类加法计数原理求得结果.‎ ‎15．已知复数 ‎（1）当实数为何值时，复数为纯虚数 （2）当时，计算.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：(1)根据纯虚数的定义，列出方程和不等式，求出的值；‎ ‎(2) 时写出复数，再计算的值.‎ 详解：（1）复数 ‎ ‎ ‎ ，即 ‎ ‎（2）‎ 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有纯虚数的概念，共轭复数以及复数的四则运算，在做题的过程中，需要对知识点牢固掌握并能灵活应用.‎ ‎16．（1）求证：；‎ ‎（2）已知且，求证：中至少有一个小于2.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）可分析法证明；（2）利用反证法证明，假设都不小于，两式相加得到与题设矛盾，即可得到原命题正确.‎ 试题解析：（1）因为和都是正数，所以为了证明 只要证：‎ 只需证：，即证：，即证：，即证：‎ 因为显然成立，所以原不等式成立；‎ ‎（2）证明：假设都不小于2，则 因为 这与已知矛盾，故假设不成立，从而原结论成立.‎ 考点：分析法与反证法.‎ ‎17．如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，为的中点.‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)根据题中的条件，结合相应的图形的特征，建立适当的坐标系，写出相应的点的坐标，求得对应的向量的坐标，利用向量共线的条件，得到线线平行，结合线面平行的判定定理的条件，证得结果；‎ ‎(2)利用向量的数量积等于零得到对应的向量垂直，从而得到线线垂直，再结合线面垂直的判定定理证得结果.‎ 详解：（1）如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 令则 ‎ 设与的交点为，连接则，‎ ‎∴ ‎ 又∵，∴∥，‎ 平面平面，∴∥平面 ‎（2）∵∴∴‎ 又，且 ，∴平面 点睛：该题考查的是有关立体几何中空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行和线线垂直，在解题的过程中，用的方法是通过向量共线和向量垂直得到相应的线线平行和线线垂直，再结合相应的判定定理证得结果，在书写的时候注意需要将定理的条件写全.‎ ‎18．如图，在长方体中，点是棱的中点，点 在棱上，且（为实数）．‎ ‎（1）求二面角的余弦值； ‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎（3）求证：直线与直线不可能垂直．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，算出相应向量的坐标，利用垂直向量的数量积等于零的方法建立方程组，算出平面对应的法向量，之后应用平面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值；’‎ ‎(2)当时，可得E,F的坐标，从而求得的坐标，进而算出的余弦值，再由其为锐角，结合直线与平面所成角的定义，即可算出直线与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎(3)假设直线与直线垂直，根据向量的数量积等于零，建立关于的等量关系式，化简可得，由根的判别式小于零得该方程无解，从而得到假设不成立，从而得到原结论成立.‎ 详解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．‎ 则 ， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则．即．令，则．‎ ‎∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为． ‎ 故，即二面角的余弦值为.‎ ‎（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．‎ 所以． ‎ 因为 ，所以为锐角， ‎ 从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为． ‎ ‎(3)假设，则． ‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，． ‎ ‎∴．化简得．‎ 该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．‎ 点睛：该题考查的是有关利用空间向量求解二面角的余弦值以及线面角的正弦值，在求解 过程中，关于二面角和线面角都需要求面的法向量，之后应用向量所成角的余弦值得到我们想求的结果，必须保证运算的正确性，再者就是有关不可能问题，都是先假设存在，利用向量的数量积等于零来衡量线线垂直的关系，之后得到相应参数所满足的方程无根，从而题中结论得到肯定.‎ ‎19．某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和； （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)根据队里男生甲必须排第一个，然后女生整体排在男生的前面，排成一路纵队入场，可得，根据从男生和女生中各选一名代表到主席台服务，可得；‎ ‎(2)根据，猜想，再用数学归纳法证明，第二步的证明利用分析法证明.‎ 详解：（1），. ‎ ‎（2）因为，所以，，‎ ‎，由此猜想：当时，都有，即.‎ 下面用数学归纳法证明（）. ‎ ‎①时，该不等式显然成立. ‎ ‎②假设当时，不等式成立，即，. ‎ 则当时，，‎ 要证当时不等式成立.只要证：，‎ 只要证：.. ‎ 令，因为，所以在上单调递减，‎ 从而，而，所以成立.‎ 则当时，不等式也成立. ‎ 综合①、②得原不等式对任意的均成立.‎ 点睛：该题考查的是有关含有限制条件的排列组合数的问题，在解题的过程中，需要对相应的公式熟练掌握，再者就是对猜想的结论利用数学归纳法证明时，在推导成立时必须要用到对的假设.‎ ‎20．观察如图： ‎ ‎1，‎ ‎2,3‎ ‎4,5,6,7‎ ‎8,9,10,11,12,13,14,15‎ ‎……‎ 问：（1）此表第行的最后一个数是多少？（2）此表第行的各个数之和是多少？‎ ‎（3）2018是第几行的第几个数？（4）是否存在，使得第n行起的连续10行的所有数之和为若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）2018是第12行的第995个数；（4）.‎ ‎【解析】分析：(1)观察已知排列的数，依次正整数的个数是1,2,4,8，，分析得出规律，根据规律求出第n行的最后一个数；‎ ‎(2)由(1)得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式即可计算第n行的各个数之和；‎ ‎(3)由(1)可知第n行的最后一个数是，即可推断；‎ ‎(4)对于存在性问题，可先假设存在，即存在n使得其满足结果，再利用(2)的结论，构建等式，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在，否则存在.‎ 详解：（1）由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律： ‎ 由此得出第行的第一个数为：，共有个， ‎ 所以此表第n行的最后一个数是. ‎ ‎（2）由（1）得到第n行的第一个数，且此行一共有个数，从而利用等差数列的求和公式得： ‎ 第n行的各个数之和. ‎ ‎（3）由（1）可知第n行的最后一个数是.‎ 当时，最后一个数字为， 当时，最后一个数字为， ‎ 所以在第行，， 故2018是第12行的第995个数； ‎ ‎（4）第行起的连续行的所有数之和 ‎ 又…………（*）， 故 时（*）式成立.‎ 时，由（*）可得，‎ 此等式左边为偶数，右边为奇数，不成立.‎ 故满足条件的.‎ 点睛：该题考查的是有关观察数表，找规律，求相应的量的问题，在求解的过程中，需要有从表中归纳结论的能力，再者就是对相应的公式要熟练运行，三就是关于是否存在类问题，在解决的过程中，都是先假设其存在，之后去求，推出矛盾就是不存在.‎