命题角度5-2 直线与椭圆位置关系（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 15页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度2：直线与椭圆位置关系 ‎1.已知椭圆： （）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点坐标为，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线的方程为或.‎ ‎（Ⅱ）若直线斜率不存在，即： ，满足.‎ 若直线的斜率存在，设其方程为，‎ 将其代入，整理得， ，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴中点，根据题意，‎ ‎∴，解得，‎ 综上，直线的方程为或．‎ ‎2.已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， ，过点的直线与椭圆分别交于两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可求得， ， ，则所求椭圆方程为.‎ ‎(2)很明显直线的斜率存在，设出直线方程的点斜式，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系可得得到关于斜率的方程，解方程可得直线的方程是或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得： ，解得， ， ，‎ 故所求椭圆方程为.‎ ‎（2）当直线与轴垂直时， ，此时，不符合题意，舍去；‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由消去得： ，‎ 设，则，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 原点到直线的距离.‎ ‎∴三角形的面积，‎ 由，得，故，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎3.已知椭圆： 的长轴长为，且椭圆与圆： 的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）经过原点作直线（不与坐标轴重合）交椭圆于， 两点， 轴于点，点在椭圆上，且，求证： ， ， 三点共线..‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；（2）设， ，则， .‎ 因为点， 都在椭圆上，所以，利用“点差法”证明 ，即可得结论.‎ ‎（2）证明：设， ，则， .‎ 因为点， 都在椭圆上，所以 所以 ，‎ 即.‎ 又 ，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以 所以 又 ，‎ 所以，‎ 所以， ， 三点共线.‎ ‎4.如图所示，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆在第一象限上的点，且 轴，‎ ‎（1）若，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若线段与轴垂直，且满足，证明：直线与椭圆只有一个交点.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，又，则，所以由勾股定理得，即，所以离心率 ‎（2）把代入椭圆得，即,所以，又所以，即，故，则直线AB的斜率，则直线AB方程为，整理得 ‎ 联立消去y得： ，易得△‎ 故直线AB与椭圆只有一个交点 ‎5.已知椭圆过点，且的离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过的顶点作两条互相垂直的直线与椭圆分别相交于两点.若的角平分线方程为，求的面积及直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆离心率和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组可求得椭圆的标准方程.（2）设出过点的直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得点的横坐标，由此得到，利用角平分线上的点到两边的距离相等建立方程，可求得斜率，由此求得三角形面积和直线方程.‎ ‎（2）设过斜率为的直线为，代入椭圆方程得 ‎，①‎ 则，‎ ‎∴ ，②‎ 在直线上取一点，则到直线的距离为，‎ 点到直线的距离为，‎ 由已知条件，解得或.‎ 代入②得， ，‎ ‎∴的面积 .‎ 由①得， .‎ ‎∴的方程为，即.‎ 点睛：本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系.考查化归与转化的数学思想方法和角平分线的几何性质.第一问求椭圆的标准方程，需要两个条件，一个是椭圆的离心率，另一个是椭圆上一点的坐标，根据这两个条件列方程组即可求得椭圆方程.第二问需要用到角平分线上的点到两边距离相等这一性质来建立方程.‎ ‎6.已知椭圆： 的一个焦点坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆与轴交于， 两点（点在点的上方），是椭圆上异于， 的任意一点，过点作轴于， 为线段的中点，直线与直线交于点， 为线段的中点， 为坐标原点．求的大小．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析 ：（1）由焦点坐标为，可知，可得.离心率。（2）设 ， ，则 ， ． ．‎ 又 ， 为线段的中点，所以 ．由点M在曲线上，代入所以 试题解析： (Ⅰ)依题意， ， ，所以.则椭圆的方程为.离心率. ‎ ‎ (Ⅱ)设 ， ，则 ， ．‎ 又 ，所以直线的方程为．‎ 令，则 ．‎ 又 ， 为线段的中点，所以 ．‎ 所以， ，‎ ‎ ．‎ 因为点在椭圆上，则，所以．‎ 则 ．‎ 因此．故．‎ ‎7.已知椭圆：（）的短轴长为2，离心率是.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点，满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎（2）过的直线若斜率不存在，则或3.‎ 设直线斜率存在，‎ ‎ ‎ 则 由（2）（4）解得，代入（3）式得 化简得 由（1）解得代入上式右端得.‎ 解得 综上实数的取值范围是.‎ ‎8.已知椭圆C： 的离心率为， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点，且的周长是．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设圆T： ，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在轴上移动且时，求EF的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF1F2的周长是8+2得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到 ‎，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到．然后由函数单调性求得EF的斜率的范围 试题解析：（1）由，即，可知a=4b， ，‎ ‎∵△PF1F2的周长是，‎ ‎∴，∴a=4，b=1，所求椭圆方程为；‎ ‎（2）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，‎ 由直线y=kx+1与T相切可知，‎ 即（9t2﹣4）k2+18tk+5=0，‎ ‎∴，‎ 由，得．‎ ‎∴， 同理，‎ 则．‎ 当1＜t＜3时， 为增函数，故EF的斜率的范围为．‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 ‎9.在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点的直线交于两点 ， 为的中点，且 的斜率为 . ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，若在线段上存在点，使得，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得 ，则椭圆 的方程为 .‎ ‎(2)由题意联立直线与椭圆的方程，整理可得关于t的函数，据此可得 的取值范围是 .‎ ‎ (2) 设线段的中点为 ，因为，所以，设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 .则 ，即 ，‎ 由已知得 ，整理得 ，因为 ，所以 ,‎ 所以 的取值范围是 .‎ 点睛： (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎10. 如图，椭圆的右顶点为，左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与轴交于点，与椭圆交于另一个点，且点在轴上的射影恰好为点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点（不与重合），若 ‎，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件建立方程组进行求解；（2）先依据题设求得，再借助直线与椭圆的位置关系分析探求：‎ ‎（Ⅰ）当时， 轴，得到点， ‎ 所以 ，所以椭圆的方程是． ‎ ‎（Ⅱ）因为， 所以． ‎ 设，则，有 ‎ ‎①当斜率不存在， 的方程为，‎ 或，(不合条件,舍去) ‎ 即．所以． ‎ 所以直线的方程为或．‎