2018-2019学年河南省实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 19页

绝密★启用前 河南省实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数z满足，则（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则和复数模的运算公式，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据复数的运算，可得，‎ 又由复数模的运算公式，可得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，及复数模的求解问题，其中解答中熟记复数模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎2．下列导数运算正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算，可得 对于A中，，所以不正确；‎ 对于B中，，所以不正确； ‎ 对于C中，，所以不正确；‎ 对于D中，，所以是正确的，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记基本初等函数的导数公式表以及导数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础．‎ ‎3．用反证法证明“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设中正确的是（ ）‎ A．有两个数是正数 B．这三个数都是正数 C．至少有两个数是负数 D．至少有两个数是正数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：先求出要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定，即可得出结论．‎ 解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证的命题的否定成立，‎ 而要证的命题“a，b，c三个实数中最多只有一个是正数”的否定为：“至少有两个数是正数”，‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，写出命题的否定，属于中档题．‎ ‎4．下列推理是归纳推理的是（ ）‎ A．A，B为定点，动点P满足，得P的轨迹为椭圆 B．由，，求出，，，猜想出数列的前n项和的表达式 C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积 D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和特点，分析即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，A中，由一般到特殊的推理形式，所以是演绎推理；‎ B中，由特殊到一般的推理形式，所以是归纳推理；‎ C中，由特殊到特殊的推理形式，所以是类比推理；‎ D中，由特殊到特殊的推理，所以是类比推理，‎ 综上可知，归纳推理的只有B，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和推理形式，其中解答中熟记各种推理的定义和推理形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5．下列关于回归分析的说法中错误的有（ ）个 ‎①.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．‎ ‎②.回归直线一定过样本中心（，）．‎ ‎③.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．‎ ‎④.甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析: 可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关指数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其他的都是越大越好．‎ 详解：对于(1) 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故（1）错误；‎ 对于（2），回归直线一定过样本中心，（2）正确；‎ 对于（3），两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，（3）正确；‎ 对于（4），越大，拟合效果越好，故（4）错误；‎ 故选：C 点睛：本题主要考查线性相关指数的理解，解题的关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题．‎ ‎6．《周髀算经》 是我国古代的天文学和数学著作。其中一个问题的大意为：一年有二十四个节气（如图），每个节气晷长损益相同（即物体在太阳的照射下影子长度的增加量和减少量相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：ー丈等于十尺，一尺等于十寸），则立冬节气的晷长为（ ）‎ A．九尺五寸 B．一丈五寸 C．一丈一尺五寸 D．一丈六尺五寸 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设晷长为等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设晷长为等差数列{an}，公差为d，令夏至晷长为a1，则a1＝15，a13＝135，‎ 则15+12d＝135，解得d＝10．‎ ‎∴a10＝15+90＝105，‎ ‎∴立冬节气的晷长为一丈五寸．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是（ ）‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”、‎ C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合临界值表，即可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由，可得有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，会对照临界值表，分析随机变量的观测值即可，属于基础题型.‎ ‎8．在下面的图示中，是结构图的为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析给定的四个图表名称，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知A是综合法证明的解答流程图，不是结构图；‎ B是对数函数的结构图；‎ C是频率分布直方图，不是结构图；‎ D是工序流程图，不是结构图，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了结构图、流程图、频率分布直方图和工序流程图的定义及判断，其中解答中熟记各种图表的定义和特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．已知函数，则函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B．和 C． D．和 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，利用导函数的符号，即可研究得出原函数的单调递减区间，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，且，‎ 则，‎ 令，即，解得，，‎ 当时，，‎ 所以函数的单调递减区间为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导函数与原函数的关系，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎10．已知函数，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，利用导数的运算法则可得，利用函数的周期性进行求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 依次类推，可得，即是周期为4的周期函数，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的导数，周期性，及观察归纳思想的运用，其中熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）‎ A．3972 B．3974 C．3991 D．3993‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，‎ 第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，‎ 第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，‎ 第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，‎ 第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，‎ ‎…‎ ‎∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，‎ 经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，‎ 而2019，‎ ‎∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，‎ ‎∴2019＝45＝3993．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 考查数列的性质和应用，解题是注意公式的灵活应用，此题是以一个数阵形式呈现的，考查观察、分析、归纳、解决问题的能力，属中档题．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 构造函数，且 因为，‎ 所以，‎ 所以函数在单调递减，‎ 不等式，即，‎ 所以，所以，‎ 又由，解得 所以不等式的解集为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及构造法与不等式的解法，其中解答中合理构造新函数，合理利用导数求解函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线 在点处的切线方程为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，得，即切线的斜率为，利用导数的几何意义，即可求解曲线在某点处的切线方程，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，函数，则，即，即切线的斜率为，‎ 所以切线方程为，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，其中解答中准确求得函数的导数，合理利用导数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知三个月球探测器共发回三张月球照片，每个探测器仅发回一张照片。‎ 甲说：照片是发回的；‎ 乙说：发回的照片不是就是；‎ 丙说：照片不是发回的。‎ 若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则照片是探测器_______发回的。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意,分别论证,即可.‎ ‎【详解】‎ 如果甲对，则发回的照片是C，故丙也对，不符合条件，故甲错误；如果乙对，则丙错误，故照片是发回的，得到照片A是由发回，照片B是由发回，符合逻辑，故照片B是由发回；如果丙对，则照片C是由发出,甲错误,可以推出发出照片B,‎ 发出照片A,故照片B是由发出.‎ ‎【点睛】‎ 考查了合情推理,难度中等.‎ ‎15．在等比数列中，若，则有等式，（）成立．类比上述性质，相应的在等差数列中，若，则有等式________成立．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比推理的规则，把和类比为乘积，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 在等比数列中，若，则有等式成立，‎ 故相应的在等差数列中，‎ 若，则由等式成立，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中掌握好类推推理的定义及等差数列与等比数列之间的共性，合理应用数列的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：由题 f'（x）=3-3x2，‎ 令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1‎ 由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数 故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值 ‎∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜ 11又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2‎ 综上知a∈（-1，2]‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数，（，i是虚数单位）‎ ‎（1）.若z是纯虚数，求m的值；‎ ‎（2）.设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数的运算，化简复数为．‎ ‎（1）根据z是纯虚数定义，列出方程组，即可求解； ‎ ‎（2）根据共轭复数的定义，得，再根据复数的表示，列出不等式组，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得复数．‎ ‎（1）若z是纯虚数，则满足，解得； ‎ ‎（2）由题意，得，‎ 又因为复数在复平面上对应的点在第四象限，得，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的运算，复数的分类，以及复数的表示和共轭复数的应用，其中解答中是复数的运算法则和复数的基本概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）.若函数处有极值10，求的解析式；‎ ‎（2）.当时，若函数在上是单调增函数，求b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，根据题意列出方程组，求得的值，进行验证，求得的值，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求得，根二次函数的性质，列出不等式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为，所以，‎ 由已知条件，得，即 解得或 ‎ 下面分别检验：‎ ‎①当，时，，，‎ 令，即，解得，，‎ 列表：‎ x ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增函数 极大值 减函数 极小值10‎ 增函数 由上表可知，在处取极小值10，符合题意．‎ ‎②当，时，，，为增函数，不合题意，舍去．‎ 所以当，时，为所求函数的解析式．‎ 综上所述，所求函数的解析式为． ‎ ‎（2）当时，，可得，‎ 此导函数是二次函数，二次项系数大于0，且对称轴为， ‎ 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 也就是，即，解得，‎ 所以，b的取值范围是[-4，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中熟记函数极值的定义及其应用，以及函数在区间上的单调性与导数的关系式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎19．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差，和患感冒的小朋友人数（/人）的数据如下：‎ 温差 患感冒人数 ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎26‎ 其中，，.‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎（Ⅱ）建立关于的回归方程（精确到），预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）‎ 参考数据：．‎ 参考公式：相关系数：，‎ 回归直线方程是， ,‎ ‎【答案】(Ⅰ)线性回归模型拟合与的关系；(Ⅱ)人数会增加10人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求相关系数，在通过相关系数进行说明。‎ ‎（Ⅱ）求出线性回归方程，将代入线性回归方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)，‎ ‎．‎ 故，∴可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎(Ⅱ)，，，‎ ‎∴关于的回归方程为．当时，．‎ 预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会增加10人．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相关系数于线性回归方程，用线性回归模型拟合与的关系， 越接近于1，拟合效果越好。‎ ‎20．下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑点总数为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)找出与的关系,并求出的表达式.‎ ‎① ② ③ ④‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可直接写出结果；‎ ‎（2）分别计算出，，，，归纳出，再由累加法即可求出的表达式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得：，，，； ‎ ‎（2）因为； ； ； ；‎ 观察猜想：是一个首项为公差为的等差数列，‎ 即。‎ 因为；；；‎ ‎；‎ ‎；‎ 把上述式子累加可得到：；‎ 又因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式，属于常考题型.‎ ‎21．已知，．‎ Ⅰ讨论的单调性；‎ Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为恒成立，设，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而确定a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ的定义域是，‎ ‎，‎ 当时，，在递增，‎ 当时，在上，，递减，‎ 在上，，递增，‎ 综上，当时，在递增，‎ 时，在递减，在递增；‎ Ⅱ恒成立，即恒成立，‎ 设，则，‎ ‎，的单调性和相同，‎ 当时，在递增，，‎ 故在递增，，‎ 当时，在递减，在递增，‎ 当时，，在递增，‎ ‎，‎ 故是增函数，故，‎ 当时，在区间上，递减，‎ 故，‎ 故递减，故，不合题意，‎ 综上，a的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线与曲线交于两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的极坐标方程得，利用可得曲线的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程化为普通方程得，再求得直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线的极坐标方程得.‎ ‎∵‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由直线的参数方程为（为参数），化为普通方程得.‎ ‎∵在直线上 ‎∴直线的参数方程可设为（为参数），代入，整理得 ‎，设两点对应的参数分别为，，则，∵，∴(a>0)，∴.‎ 故的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.‎ ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当时，，分类讨论，即可求解不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）把不等式都成立，转化为恒成立，分类讨论即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，当时，，‎ 故或或，‎ 解得：或，‎ 故不等式的解集是； ‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，‎ 则恒成立，‎ 当时，恒成立，故，解得：，‎ 当时，，解得：，‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎