专题5-5+数系的扩充和复数的引入（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 10页

第05节 数系的扩充和复数的引入 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 数系的扩充和复数的引入 ‎1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.‎ ‎2．了解复数的加、减运算的几何意义.‎ ‎3．掌握复数代数形式的四则运算.‎ ‎2013•浙江文2，理1； ‎ ‎2014•浙江文11；理2；‎ ‎2017•浙江12.‎ ‎1.以考查复数的运算（特别是乘法）为主，基本稳定为选择题或填空题，为容易题； ‎ ‎2.从各地高考命题看，考查复数的运算、概念相结合，复数的运算与复数的几何意义相结合，命题比较灵活，题型稳定，均为容易题.‎ ‎3.备考重点：‎ 理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准是得分的保障.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．复数的有关概念及性质 ‎1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．‎ ‎2．复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．‎ ‎①当b＝0时，复数a＋bi为实数；‎ ‎②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；‎ ‎③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．‎ ‎3.复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0.‎ ‎4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．‎ ‎5. 复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即＝＝r＝(r≥0，r∈R)．‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江台州4月一模】已知复数z=‎1+aii(a∈R)‎的实部为1，则a=‎_________，‎|z|=‎__________．‎ ‎【答案】 1 ‎‎2‎ ‎【解析】z=‎1+aii=a-i ，实部a=1‎ ，所以z=1-i ，‎|z|=‎‎2‎ . ‎ ‎2．复数的几何意义 ‎1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．‎ ‎2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．‎ 对点练习：‎ ‎【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎3.复数的四则运算 ‎1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；‎ ‎(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(3)＝＋i (z2≠0)．‎ ‎2. .‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江,12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．‎ ‎【答案】5，2‎ ‎【解析】由题意可得，则，解得，则 ‎ ‎【考点深度剖析】‎ 从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多． ‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 复数的有关概念及性质 ‎【1-1】下列命题中：‎ ‎(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；‎ ‎(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；‎ ‎(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；‎ ‎(4)x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；‎ ‎(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ (4)只有当x，y∈R时命题才正确．‎ ‎(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.‎ ‎【1-2】(1)i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎(2)若＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.‎ ‎【答案】（1）D；（2）3.‎ ‎【解析】(1)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，∴a－3＝0，∴a＝3.故选D.‎ ‎(2)由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝(a＋b)＋(b－a)i，根据复数相等的定义可得 ∴a＋b＝3.故填3. ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎（1）中的负号易忽略. ‎ ‎（2）对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R.‎ ‎ (3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017浙江嘉兴测试】已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）‎ A．-2 B．-1 C．0 D．2‎ ‎【答案】A ‎【变式二】已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,故,解之得,则,故,应选B.‎ 考点2 复数的几何意义 ‎【2-1】【2017浙江模拟】当‎2‎‎3‎‎0，m－1<0，点在第四象限．‎ ‎【2-2】已知A，B是锐角三角形的两内角，则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A 即sinA－cosB＞0.同理可得，sinB－cosA＞0.故选A.‎ ‎【领悟技法】‎ 复数的几何意义 ‎(1)　(其中a，b∈R)．‎ ‎(2)表示复数z对应的点与原点的距离．‎ ‎(3)表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】，在第四象限.‎ ‎【变式二】复数（其中为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】因，故在第一象限，应选A．‎ 考点3 复数的代数运算 ‎【3-1】复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A．-3 B．4‎ C．3 D．-11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【3-2】【2017浙江嘉兴、杭州、宁波等五校联考】若复数满足,其中为虚数单位,则=(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，所以 ，所以 ，所以选B.‎ ‎【领悟技法】‎ 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成－1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017浙江高考模拟】已知复数，其中为虚数单位，则 （ ）‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，故选C. ‎ ‎【变式二】【2016高考新课标3理数】若，则（ ）‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) (D) ‎ ‎【答案】C ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知复数（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 易错分析：（Ⅰ）共轭复数的概念不清；（Ⅱ）分式中分母实数化过程中，分子分母同乘分母的共轭复数出错．‎ 正确解析：，所以，虚部为，选D.‎ 温馨提醒：‎ ‎1.在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时，不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)若zm＝zn，则m＝n(z≠1)；(3)若z＋z＝0，则z1＝z2＝0.‎ ‎2.注意利用共轭复数的性质，将转化为，即复数的模的运算，常能使解题简捷．‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】2017“超级全能生”浙江3月联考】在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D