专题15 数形结合思想备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 9页

专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．‎ ‎(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：‎ ‎①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；‎ ‎②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；‎ ‎③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；‎ ‎④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；‎ ‎⑤构建立体几何模型研究代数问题；‎ ‎⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；‎ ‎⑦构建方程模型，求根的个数；‎ ‎⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．‎ ‎(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：‎ ‎①准确画出函数图像，注意函数的定义域；‎ ‎②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．‎ ‎(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：‎ ‎①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；‎ ‎②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；‎ ‎③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；‎ ‎④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．‎ 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 ‎【例1】　若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】　利用数形结合的方法，直接观察得出结果．‎ 原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(00.画出f(x)的简图，如图所示，可知xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．‎ ‎3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．‎ ‎【答案】(，－1)‎ ‎【解析】　定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是(，－1)．‎ 4． 若x∈时，不等式(x－1)2sin2x (a>0，a≠1)对任意x∈(0，)都成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ ‎ A．(0，) B．(0，] C．[，1) D．(，1)‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】　记y1＝logax，y2＝sin2x，原不等式相当于y1>y2，作出两个函数的图像，如图所示，知当y1＝logax 过点A(，1)时，a＝，所以当≤a<1时，x∈(0，)都有y1>y2.‎ ‎7．已知y＝f(x)是最小正周期为2的函数，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数y＝‎ f(x)(x∈R)图像与y＝|log5|x||图像的交点的个数是(　　)‎ ‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】　因函数y＝f(x)(x∈R)与y＝‎ ‎|log5|x||均为偶函数，故研究它们在y右侧交点情况即可．作函数图像如图所示，从图可知，当05时没有交点，故在y右侧交点个数为5，由对称性知，在y轴左侧交点个数也是5.则两个函数图像交点个数为10个．‎ 三、解答题 ‎8.已知函数f(x)＝是偶函数，直线y＝t与函数f(x)的图像自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若＝，求实数t的值．‎ ‎ ‎