数学文卷·2018届云南省昆明一中高三第二次全国大联考（2017 19页

昆明第一中学2018届高中新课标高三第二次双基检测 文科数学 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如果复数是实数（其中是虚数单位），则实数的值为（ ）‎ A．-1 B． C．1 D．‎ ‎3.根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是（ ）‎ A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年 ‎ B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本） ‎ C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年 D．2014年以来的销售额与年份正相关 ‎4.已知向量，，若与平行，则的值是（ ）‎ A．0 B．1 C.-2 D．2‎ ‎5.已知数列是单调递减的等比数列，是的前项和，若，，则的值是（ ）‎ A．62 B．48 C. 36 D．31‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎7.已知点，，动点满足，则点的轨迹为（ ）‎ A．直线 B．圆 C.椭圆 D．双曲线 ‎8.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图，程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A．18 B．17 C.16 D．15‎ ‎9.在数列中，，，且（），则 的值是（ ）‎ A．-10 B．10 C. 50 D．70‎ ‎10.正三棱锥中，若三条侧棱两两垂直，且，则正三棱锥的高为（ ）‎ A． B．2 C. D．3‎ ‎11.函数在上的图象大致为（ ）‎ ‎12.已知函数和函数的图象关于轴对称，当函数和在区间上同时递增或同时递减时，区间叫做函数的“不动区间”，若区间为函数的“不动区间”，则实数的最大值为（ ）‎ A． B．3 C. 2 D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数的图象过点，则 ．‎ ‎14.设满足，则的最小值为 ．‎ ‎15.已知点是双曲线上一点，是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知函数，若存在使得成立，则实数的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，分别是角的对边，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎18. 为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00-10：00间各自的点击量，统计数据如下：‎ 甲网站：28，20，38，41，55，24，64，52，66，70，67，72，73，58‎ 乙网站：5，12，21，14，36，37，19，42，54，45，42，6，61，71‎ ‎（1）根据两组数据完成甲、乙两个网站点击量的茎叶图，并通过茎叶图比较两个网站点击量的平均值以及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据点击量，把甲、乙两个网站受欢迎的程度从低到高分为三个等级（点击量越大说明受欢迎程度越高）‎ 点击量 低于40‎ ‎40到59‎ 不低于60‎ 受欢迎程度的等级 不喜欢 喜欢 非常喜欢 根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计哪个网站受欢迎程度的等级为不喜欢的概率大？说明理由.‎ ‎19. 如图，四棱锥中，，，平面， ‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求三棱锥与三棱锥的体积之比. ‎ ‎20. 已知点在圆上，的坐标分别为，，线段的垂直平分线交线段于点 ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设圆与点的轨迹交于不同的四个点，求四边形的面积的最大值及相应的四个点的坐标.‎ ‎21.已知函数，（其中为常数，为自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（为实数.）‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线有公共点，求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若函数有最小值，求实数的取值范围.‎ 昆明一中第二期全国联考 参考答案（文科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A D D A C B B C C D C ‎1.解析：集合，，所以，选A．‎ ‎2.解析：因为，故，所以，选A．‎ ‎3.解析：从柱形图上看，年以来销售额与年份负相关，D错误． 选D．‎ ‎4.解析：因为与平行，所以，即，所以向量与向量共线，满足题意的，选D．‎ ‎5.解析：由，得，或，（不符合题意，舍去），所以由，得，，所以，选A．‎ ‎6.解析：将三视图还原可得下图的直三棱柱，所以，选C．‎ ‎7.解析：点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．‎ ‎8.解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余的最小两位数，故输出的为，选B．‎ ‎9.解析：由得，即数列是等差数列，由，可得，，所以，当时，，当时，，设数列的的前项和为，所以……，选C．‎ ‎10.解析：因为正三棱锥的侧棱长，设点为顶点在底面上的投影，所以，，解得，所以正三棱锥的高为，选C． ‎ ‎11.解析：因为，所以在为增函数，令，且，当时，，为增函数，图象上切线的斜率逐渐增大；当时，，为减函数，图象上切线的斜率逐渐减小，选D．‎ ‎12.解析：因为函数与的图象关于轴对称，所以，因为区间为函数的“不动区间”，所以函数和函数在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，得；即实数的最大值为，选C．‎ 二、填空题 ‎13.解析：因为函数的图象过点 ‎，所以点的坐标满足函数解析式，即，所以．‎ ‎14.解析：如图：即，纵截距最小，目标函数值最小，所以在点处取得，且最小值为．‎ ‎15.解析：由已知得，所以，所以，又，而，所以，，所以双曲线的离心率．‎ ‎16.解析：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由及正弦定理可得出：，‎ 所以，‎ 因为，所以； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ 所以，‎ 由得出：，所以，所以 即的取值范围是． ‎ ‎18.解：（Ⅰ）甲、乙两个网站点击量的茎叶图如下：‎ 通过茎叶图可以看出，甲网站的点击量的平均值高于乙网站的点击量的平均值；甲网站的点击量比较集中，乙网站的点击量比较分散． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）乙网站受欢迎程度的等级为不喜欢的概率大．‎ 记表示事件：“甲网站受欢迎的程度等级为不喜欢”； 表示事件：“乙网站受欢迎的程度等级为不喜欢”．‎ ‎，‎ 所以，乙网站受欢迎程度的等级为不喜欢的概率大． ‎ ‎19.解：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，可知，又，与相交于点，所以平面，平面，‎ 所以，平面平面． ‎ ‎（Ⅱ）由题意，，，，，，所以，‎ 因为，，与相交于点，可得，‎ 又，，所以，则点到的距离等于点到的距离，即 ‎，‎ 所以． ‎ ‎ ‎ ‎20.解：（Ⅰ）由已知得：，而，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，‎ 设，所以点的轨迹的方程：． ‎ ‎（Ⅱ）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点，‎ 则， ‎ 而，，且，‎ 所以， ‎ 当且仅当，即，时，取“”，‎ 所以矩形的面积的最大值为，此时，‎ 四个点的坐标为：，，，． ‎ ‎21.解：（Ⅰ）因为 所以的定义域为，且，‎ 由于曲线在处的切线与轴平行，‎ 所以，因此;‎ 所以 令，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 又因为，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 因此的单调递减区间为，单调递增区间为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 由得，令，‎ 所以函数有两个不同零点等价于函数的图象与函数的图像 ‎ 有两个不同交点，‎ 又因为，‎ 当时，由得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增，‎ 因此，‎ 又因为，，‎ 所以，则，‎ 结合函数图像可得，当时，函数的图像与函数的图像 有两个不同交点，‎ 即当时， 函数有两个不同零点，‎ 综上可得，所求实数的取值范围为． ‎ 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 由 平方得：‎ 又 两式相减得，‎ 故曲线的普通方程为，．‎ 另由得的直角坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）如图，当直线过点时，；‎ 当直线与相切时，‎ 由得 由得，‎ 从而，曲线与曲线有公共点时，． ‎ ‎23.解：（Ⅰ）若，由得 可化为 或 ‎ 解得 或 ，即，‎ 故不等式解集为． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为有最小值，所以，解得，‎ 故函数有最小值时，实数的取值范围为． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 昆明一中第二期全国联考 参考答案（文科数学）‎ 命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序 一、选择题 ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A A D D A C B B C C D C 1. 解析：集合，，所以，选A．‎ 2. ‎ 解析：因为，故，所以，选A．‎ 3. 解析：从柱形图上看，年以来销售额与年份负相关，D错误． 选D．‎ 4. 解析：因为与平行，所以，即，所以向量与向量共线，满足题意的，选D．‎ 5. 解析：由，得，或，（不符合题意，舍去），所以由，得，，所以，选A．‎ 6. 解析：将三视图还原可得右图的直三棱柱，所以，选C．‎ 7. 解析：点的坐标为，则，化简可得，所以点的轨迹为圆，选B．‎ 8. 解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被除余，②被除余的最小两位数，故输出的为，选B．‎ 9. 解析：由得，即数列是等差数列，由，可得，，所以，当时，，当时，，设数列的的前项和为，所以……，选 C．‎ 1. 解析：因为正三棱锥的侧棱长，设点为顶点在底面上的投影，所以，，解得，所以正三棱锥的高为，选C． ‎ 2. 解析：因为，所以在为增函数，令，且，当时，，为增函数，图象上切线的斜率逐渐增大；当时，，为减函数，图象上切线的斜率逐渐减小，选D．‎ 3. 解析：因为函数与的图象关于轴对称，所以，因为区间为函数的“不动区间”，所以函数和函数在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，得；即实数的最大值为，选C．‎ 二、填空题 4. 解析：因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式，即，所以．‎ 5. 解析：如图：即，纵截距最小，目标函数值最小，所以在点处取得，且最小值为．‎ 6. 解析：由已知得，所以，所以，又，而，所以，，所以双曲线的离心率．‎ 7. 解析：函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线 的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得．‎ 三、解答题 1. 解：（Ⅰ）由及正弦定理可得出：，‎ 所以，‎ 因为，所以； ………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ 所以，‎ 由得出：，所以，所以 即的取值范围是． ………12分 2. 解：（Ⅰ）甲、乙两个网站点击量的茎叶图如下：‎ 甲网站 ‎　‎ 乙网站 ‎………4分 通过茎叶图可以看出，甲网站的点击量的平均值高于乙网站的点击量的平均值；甲网站的点击量比较集中，乙网站的点击量比较分散． ………8分 ‎（Ⅱ）乙网站受欢迎程度的等级为不喜欢的概率大．‎ 记表示事件：“甲网站受欢迎的程度等级为不喜欢”； 表示事件：“乙网站受欢迎的程度等级为不喜欢”．‎ ‎，‎ 所以，乙网站受欢迎程度的等级为不喜欢的概率大． ………12分 1. 解：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，可知，又，与相交于点，所以平面，平面，‎ 所以，平面平面． ………6分 ‎（Ⅱ）由题意，，，，，，所以，‎ 因为，，与相交于点，可得，‎ 又，，所以，则点到的距离等于点到的距离，即 ‎，‎ 所以． ………12分 2. 解：（Ⅰ）由已知得：，而，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆，‎ 设，所以点的轨迹的方程：． ………5分 ‎（Ⅱ）由对称性可知，四边形为矩形，不妨设为椭圆上第一象限的点，‎ 则， ………7分 而，，且，‎ 所以， ………10分 当且仅当，即，时，取“”，‎ 所以矩形的面积的最大值为，此时，‎ 四个点的坐标为：，，，． ………12分 1. 解：（Ⅰ）因为 所以的定义域为，且，‎ 由于曲线在处的切线与轴平行，‎ 所以，因此;‎ 所以 令，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 又因为，‎ 所以当时，，‎ 当时，，‎ 因此的单调递减区间为，单调递增区间为． ………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 由得，令，‎ 所以函数有两个不同零点等价于函数的图象与函数的图像 ‎ 有两个不同交点，‎ 又因为，‎ 当时，由得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在区间上单调递减，‎ 在区间上单调递增，‎ 因此，‎ 又因为，，‎ 所以，则，‎ 结合函数图像可得，当时，函数的图像与函数的图像 有两个不同交点，‎ 即当时， 函数有两个不同零点，‎ 综上可得，所求实数的取值范围为． ………12分 第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 1. 解：（Ⅰ）因为，所以．‎ 由 平方得：‎ 又 两式相减得，‎ 故曲线的普通方程为，．‎ 另由得的直角坐标方程为． ………5分 ‎（Ⅱ）如图，当直线过点时，；‎ 当直线与相切时，‎ 由得 由得，‎ 从而，曲线与曲线有公共点时，． ………10分 1. 解：（Ⅰ）若，由得 可化为 或 ‎ 解得 或 ，即，‎ 故不等式解集为． ………5分 ‎（Ⅱ），‎ 因为有最小值，所以，解得，‎ 故函数有最小值时，实数的取值范围为． ………10分