湖北省鄂州市颚南高中2020届高三上学期10月月考数学（理）试题 24页

‎2019年高三年级10月联考 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，从而可以表示成，或，这样代入集合便可得到，从而便可看出集合是表达形式同集合的相同，这样既可判断集合的关系.‎ ‎【详解】因为，所以，或，‎ 所以或，‎ 又，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关判断两集合关系的问题，涉及到的知识点有集合相等的条件，根据题意，判断集合中元素特征，属于简单题目.‎ ‎2.已知复数满足，则共轭复数的模为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解即可得结果.‎ ‎【详解】由，‎ 得，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于简单题目.‎ ‎3.“”是“且”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】由题可知，可以解得或，‎ 则从不能推出且，‎ 即不能满足其充分性，‎ 而由且能推出，‎ 即能证明其必要性满足，‎ 所以“”是“且”的必要不充分条件，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断问题，涉及到的知识点有充分性与必要性的定义，属于简单题目.‎ ‎4.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如. 下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则 输出的值等于（ ）‎ A. 29 B. 30 C. 31 D. 32‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ ‎【详解】由题中的程序框图可知：‎ 该程序框图功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：‎ ‎①被除余，②被除余，‎ 所以应该满足是的倍数多，‎ 并且是比大的最小的数，‎ 故输出的为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构的程序框图，读取程序框图的输出数据，属于简单题目.‎ ‎5.已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对分别取以为底的对数，可以发现，利用指数函数的单调性，可知，从而得到其大小关系.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，，所以，‎ 又，所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关指数幂比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，属于简单题目.‎ ‎6.设为三角形三内角，且方程有两相等的实根，那么角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程有两相等实根可得判别式，在依据正弦定理把角换成边，化简得，代入余弦定理得，再根据两边平方，得出与的关系，进而推断出的范围.‎ ‎【详解】依题意有，‎ 根据正弦定理得：，‎ 即，‎ 化简得：，‎ 整理得：，‎ 即，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关判断三角形内角取值范围的问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的个数与判别式的关系，正弦定理，余弦定理，属于中档题目.‎ ‎7.某同学研究曲线的性质，得到如下结论：①的取值范围是；②曲线是轴对称图形；③曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为. 其中正确的结论序号为（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程变形可得的取值范围，在方程中互换可判断对称性，利用公式可求得曲线上的点到坐标原点的距离的最小值，从而得到结果.‎ ‎【详解】因为曲线的方程，所以，‎ 式子中的范围为，对应的的范围为，所以命题①正确；‎ 在中，令，方程不变，‎ 所以曲线的图象关于直线对称，所以命题②正确；‎ 设曲线上点的坐标为，‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 又，所以，所以，‎ 则，当且仅当时取等号，‎ 所以曲线上的点到原点的距离的最小值是，所以命题③正确；‎ 所以正确命题的序号是①②③，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用曲线的方程研究曲线的性质的问题，涉及到的知识点有范围、对称性，以及利用基本不等式求距离的最值，属于中档题目.‎ ‎8.若在直线上存在不同的三点，使得关于的方程有解（），则方程解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则将等式中的向量都用以为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求出.‎ ‎【详解】，即，‎ 所以，‎ 因为三点共线，‎ 所以，解得，‎ 当时，等价于，不合题意，‎ 所以，即解集，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法运算，三点共线的条件对应的等量关系式，属于简单题目.‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称，则在上的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得平移后图象对应的函数解析式，根据其关于轴对称，得到，结合题中所给的条件，求得，求得函数解析式，利用时，，从而确定出函数的最小值.‎ ‎【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，‎ 对应的解析式为，‎ 因为其函数图象关于轴对称，所以有，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 当时，，所以当时，取得最小值，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有函数图象的平移变换，图象关于轴对称的条件，正弦型函数在给定区间上的最值问题，属于简单题目.‎ ‎10.已知为的外心，且，则等于（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点为的外心，且，所以，得到答案.‎ ‎【详解】因为点为的外心，且，‎ 所以 ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量数量积的运算问题，涉及到的知识点有三角形外心的性质，向量数量积的定义式，属于简单题目.‎ ‎11.已知实数满足（是自然对数的底数），则的最小值为（ ）‎ A. 10 B. 18 C. 8 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对式子进行分析，得出其与距离有关，并且是曲线上的点与直线上的点之间距离的平方，分析得出什么时候距离取最小值，求解即可.‎ ‎【详解】设，可得，‎ 该题相当于求曲线上的点与直线上的点之间距离的平方的最小值，‎ 取最小值时是曲线的切线与直线平行时，‎ 切点到直线的距离的平方即为所求，‎ 对求导，得，即，解得，‎ 所以切点坐标为，‎ 点到直线的距离，‎ 则有；‎ 当且仅当时取等号，‎ 故结果为18，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，导数的几何意义，曲线在某点处的切线方程，基本不等式，属于较难题目.‎ ‎12.1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值. 请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于（），向此平面任投一根长度为的针，已知此针与其中一条线相交的概率是，则圆周率的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应该明确投针试验与平行线相交的概率计算公式是，从中解出，从而得出答案.‎ ‎【详解】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是，‎ 所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知为奇函数，函数与的图象关于直线对称，若，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意确定出函数的图象上的一点，从而确定出点关于直线的对称点在函数的图象上，利用点关于直线的对称点的求法求得其对称点的坐标，从而确定出，利用奇函数的定义求得，得到结果.‎ ‎【详解】根据题意有，点在函数的图象上，‎ 且点关于直线的对称点在函数的图象上，‎ 设点关于直线的对称点为，‎ 则有，解得，所以有，‎ 因为函数是奇函数，所以有，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，奇函数的定义，属于简单题目.‎ ‎14.已知，若关于的方程有四个实根，则这四根之和的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出的函数图象，根据图象得出各零点的关系及范围，得出关于的函数，从而得出答案.‎ ‎【详解】作出的函数图象，如图所示：‎ 设，则，且，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以的取值范围是：，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数图象交点横坐标的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数图象的基本功，利用函数图象解决交点问题，函数图象对称性的应用，利用导数研究函数的值域问题，属于简单题目.‎ ‎15.已知中，角所对边分别为，，，‎ ‎，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理即可解得的值.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以，‎ 所以 所以由正弦定理可得：，‎ 并且有，，所以，‎ 由余弦定理可得 ‎，‎ 整理得，解得（负值舍去），‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有三角恒等变换，正弦定理，同角三角函数关系式，三角形的面积公式，余弦定理，属于简单题目.‎ ‎16.定义在区间上函数使不等式恒成立，（为的导数），则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求出的导数，得到的单调性，可得 ‎，由，即可得到，得到结果.‎ ‎【详解】令，‎ 则，‎ 因为，即，‎ 所以在恒成立，‎ 即在上单调递减，‎ 可得，即，‎ 由，可得，则；‎ 令，，‎ 因为，即，‎ 所以在上单调递增，可得，‎ 即，则，‎ 即有，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题主要考查导数在研究函数中构造函数的应用，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.‎ 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知是圆（为坐标原点）的内接三角形，其中，角所对的边分别是. ‎ ‎（1）若点的坐标是，求的值；‎ ‎（2）若点在优弧上运动，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点的坐标可得的坐标，利用向量的夹角公式求得结果；‎ ‎（2）根据题意，可求得，，，利用正弦定理可得，由题意求得角A的范围，从而可求得，进而得到三角形的周长的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意可得，，‎ ‎（2）∵，，∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用点的坐标得向量的坐标，向量数量积坐标公式，向量夹角余弦值，正弦定理，三角形的周长的取值范围，属于简单题目.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点. ‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的性质得，利用菱形的性质得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到；‎ ‎（2）分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点，求得平面的法向量为，平面的法向量为，根据二面角的余弦值为，可求出，从而得到点的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）∵平面，∴‎ 又∵四边形为菱形，∴‎ 又，∴平面 ‎ 平面，∴‎ ‎（2）连，在中，，∴平面 分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 设，则，，‎ ‎，，. ‎ 由（1）知，平面一个法向量为 设平面 的一个法向量为，则由 ‎ 即，令，则 因二面角的余弦值为，‎ ‎∴，∴‎ 设与平面所成角为，∵，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.‎ ‎19.若，函数在区间上的最大值记为，求的表达式并求当为何值时，的值最小.‎ ‎【答案】，当时，取最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，分时和时两种情况，当时，在区间上为增函数，求出最大值，当时，结合函数图象，再进一步分类，确定出函数的最大值点，进而求得，然后确定的最小值点.‎ ‎【详解】（1）时，∵，∴，单调递增. ‎ ‎∴‎ ‎（2）当，如图所示，‎ 令，得或 ‎①当，即时，‎ ‎②当，即时，‎ ‎③当，即时，‎ 综上，‎ 显然当时，取最小值.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关函数在给定区间上的最值问题，涉及到的知识点有绝对值函数的化简，分类讨论思想的应用，分段函数的最小值，属于简单题目.‎ ‎20.已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和. 记得到的平行四边形的面积为. ‎ ‎（1）设，用的坐标表示；‎ ‎（2）设与的斜率之积与直线的斜率之积均为，求面积的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用题中的条件确定直线的方程，利用点到直线的距离公式求得点C到直线的距离，利用面积公式求得，得到结果；‎ ‎（2）设出直线方程，，利用两点斜率坐标公式求得 ‎，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，可得，利用已知条件可得，从而求得，从而确定出椭圆的方程，联立方程组，进一步应用面积公式求得，从而得到，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线. ‎ ‎，则 ‎∴‎ ‎（2）设，；‎ ‎∵‎ 又∵，∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴椭圆方程为 联立 ‎∴，同理可得 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 将代入得 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，涉及到的知识点有椭圆内接平行四边形面积的求解，点到直线的距离公式，椭圆方程的求解问题，属于较难题目.‎ ‎21.有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为. ‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）写出与、的递推关系）；‎ ‎（3）求玩该游戏获胜的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题设条件能够求出，，；‎ ‎（2）依题意，棋子跳到第站有两种可能：第一种，棋子先到站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到站，又掷出正面，其概率为，由此能够得到与的递推关系；‎ ‎（3）由，知数列是以为首项，为公比的等比数列，由此利用等比数列求和公式得到结果.‎ ‎【详解】（1）依题意得，，‎ ‎（2）依题意知，棋子跳到第站有两种情况：‎ 第一种，棋子先到站，又掷出反面，其概率为；‎ 第二种，棋子先到站，又掷出正面，其概率为. ‎ ‎∴‎ ‎（3）由（2）知，，且 ‎∴是以为首项，为公比的等比数列. ‎ 又 ∴或 ‎∴玩该游戏获胜的概率为.‎ ‎【点睛】该题考查是有关概率的问题，涉及到的知识点有事件之间的关系，概率对应的关系，等比数列求和公式，属于简单题目.‎ ‎22.已知函数. ‎ ‎（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先写出函数的定义域，对函数求导，是定义域上的增函数，转化为，即恒成立，从而求出的取值范围；‎ ‎（2）将表示为关于的函数，由且，得，设方程，即得两根为，，且，利用韦达定理可得，，由，从而得到，根据题意可得，由得，将其代入上边式子可得，之后令，则，从而有，，则，利用导数研究函数可得结果.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，‎ ‎∵定义域内单调递增，∴，即对恒成立. ‎ 则恒成立. ‎ ‎∴ ∵ ∴‎ 所以，的取值范围是 ‎（2）将表示为关于的函数，‎ 由且，得 设方程，即得两根为，，且. ‎ 则，，∵，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵‎ ‎∴代入得 令，则，得，，则 ‎ ∴而且上递减，从而 即 ∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据函数是定义域上的增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于较难题目.‎ ‎ ‎