2017-2018学年山东省聊城市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年山东省聊城市高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由，，可得，利用复数除法法则可得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以 ‎，所以，故选D.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．用反正法证明命题“若，则、全为（）”，其假设正确的是（ ）‎ A. 、至少有一个为 B. 、至少有一个不为 C. 、全不为 D. 、只有一个为 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由“全为（）”的反面是“、至少有一个不为”可得结果.‎ 详解：“全为（）”的反面是“、至少有一个不为”，故选B.‎ 点睛：本题主要考查反证法的基本概念，属于简单题.‎ ‎3．在复平面内，复数，对应的点分为，，若为线段的中点，则点对应的复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据复数的几何意义，利用中点坐标公式可得结果.‎ 详解：因为复数，对应的点分为，，‎ 所以，‎ 为线段的中点，，‎ 点对应的复数是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查复数的几何意义以及中点坐标公式，属于简单.意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.‎ ‎4．观察一列算式：，，，，，，，，，，...，则式子是第（ ）‎ A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由所给算式，找到规律，按规律结合等差数列的求和公式可得结果.‎ 详解：两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3，和为5的有4，和为6的有5 ，和为7的有6 , 和为8的前面共有个，为和为8的第5项，所以为第26项，故选D.‎ 点睛：本题通过观察几组算式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎5．已知函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用商数的导数运算法则，计算求值即可.‎ 详解：∵f（x）=tanx=，‎ ‎∴f′（x）===，‎ 则==1，‎ 故选：A 点睛：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，属于基础题．‎ ‎6．‎ 某中学于2018年4月4日召开春季运动会,在开幕式之前,由高一,高二学生自发准备了个娱乐节目，其中有个舞蹈节目，个乐器独奏，个歌曲节目,要求歌曲节目一定排在首尾,另外个舞蹈节目不相邻，则这个节目出场的不同编排种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分三步进行，先排好歌曲节目，再排好乐器独奏，最好用插空法排好舞蹈节目.‎ 详解：先把歌曲节目排好，共种；‎ 再在两个歌曲节目中间排好2乐器独奏，共种，‎ 这样个乐器独奏与个歌曲节目中间共产生3个空档（不包括两边）‎ 个舞蹈节目排在3个空档上，共种，‎ 故这个节目出场的不同编排种数为2×2×6=24种 故选：B 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.‎ ‎7．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求出x2+1的原函数，再结合微积分基本定理即可求出．‎ 详解：∵∫02（x2+1）dx ‎=（x3+x）|02‎ ‎=23+2=．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查直定积分的简单应用、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎8．已知函数，若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出函数的导数，得到关于x0的方程，求出x0的值即可．‎ 详解：f′（x）=2017+lnx+1=2018+lnx，‎ 若f′（x0）=2018，‎ 则2018+lnx0=2018，‎ 解得：x0=1，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了导数的基本公式及运算法则，属于基础题.‎ ‎9．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得分,否则得分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数,丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的倍小于甲解题正确的个数的倍，则这四人测试总得分数最少为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为，则且，若总分最少，则为相邻整数，分别讨论排除即可.‎ 详解：设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为，‎ 则且，‎ 若总分最少，则为相邻整数，‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，不满足；‎ 当分别取，满足，‎ 四人测试总得分数最少为 ，故选C.‎ 点睛：本题主要考查阅读能力、建模能力、划归思想与数形结合思想的应用,以及整数解问题，属于难题. 关于整数解问题与不等式的解，解题思路截然不同，一般不等式的解集往往是无限集，不等式的整数解一般是有限集，可以采取分类讨论的方法筛选排除.‎ ‎10．已知函数，，若有两点零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：令f（x）=0得出x2﹣2x+1+2a=，做出两函数的图象，根据图象判断两函数最值的大小关系，得出a的范围．‎ 详解：令f（x）=0得x2+2x+3=，‎ 令g（x）=，则g′（x）=，又 ‎∴g（x）在（﹣∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减，‎ 故g（x）‎ ‎= x2+2x+3 ‎ ‎∵f（x）有两个零点，∴=x2﹣2x+1+2a和g（x）的函数图象有两个交点，‎ ‎∴‎ 即 故选：A 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎11．若曲线上一点处的切线与直线垂直，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义结合直线垂直的等价条件，即可得到结论．‎ 详解：∵函数在点处的切线与直线，‎ ‎∴切线斜率k=，即k=f′（0）=，‎ ‎∵，易知 ‎∴f′（x）=，‎ 即k=f′（0）=4=，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎12．的展开式中含有项的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数，即（2x+y）5的展开式中含x2y3的系数与含x3y2的系数和，写出（2x+y）5展开式的通项，分别取r值求解计算．‎ 详解：（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数，‎ 即（2x+y）5的展开式中含x2y3的系数与含x3y2的系数和，‎ 由•x5﹣r•yr．‎ 分别取r=2、3，‎ 可得（x﹣y）（2x+y）5的展开式中x3y3的系数为=40﹣80=﹣40．‎ 故答案为：﹣40．‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎13．2018年3月22‎ ‎ 日,中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛,小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛,赛场-排有个位置,若这人并排而坐,则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有__________种．‎ ‎【答案】432‎ ‎【解析】分析：‎ 详解：先把小张的爸爸、妈妈、弟弟三人排好，共种，产生4个空档，‎ 然后把小张、儿子、女儿三人分成两组，共种，其中相邻两人之间有顺序，共种，‎ 这两组去插空，共，‎ ‎∴小张、儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有种，‎ 故答案为：432‎ 点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．‎ 点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．‎ ‎14．__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简，再利用复数乘方运算法则求解即可.‎ 详解： ，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及 运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎15．牛顿通过研究发现，形如形式的可以展开成关于的多项式,即 ‎ 的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算.例如:在原式中令可以求得，第一次求导数之后再取，可求得，再次求导之后取可求得,依次下去可以求得任意-项的系数，设 ...,则当时， __．(用分数表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用题意提供的方法“逐次求导赋值法”，即可得到答案.‎ 详解：当时， ...,‎ 第一次求导，，‎ 令，则 第二次求导，‎ 令，则 第三次求导，‎ 令，则，‎ 第四次求导，‎ 令，则，‎ 第五次求导，‎ 令，则 在 ...,中 令x=1，则 即+‎ 故答案为：‎ 点睛：本题重点考查了类比推理思想，考查了逻辑推理能力及计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16．设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】分析：设则，由，根据复数相等的充要条件列方程求得，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得，利用三角函数的有界性可得的取值范围.‎ 详解：设则，由，根据复数相等的充要条件 解得，所以.‎ 因为，所以 ‎ 即,‎ 故所求，的取值范围是.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎17．若，都是正实数，且.‎ 求证：与中至少有一个成立.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：利用反证法，假设和都不成立，即和 同时成立，导出，这与已知条件相矛盾，从而可得结果.‎ 详解：假设和都不成立 即和同时成立 因为且，所以，且 两式相加，得 所以，这与已知条件相矛盾 与中至少有一个成立.‎ 点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性并求极值；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）在单调递减，在单调递增.极小值为无极大值；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）求出，明确单调性，从而得到函数的极值；‎ ‎（2）要证当时，‎ 即证当时，，构造新函数，研究其单调性即可.‎ 详解：（1），‎ 令，，‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增.‎ ‎，‎ 综上：在单调递减，在单调递增.‎ 极小值为无极大值.‎ ‎（2）令.‎ ‎ ‎ 由（1）可知在递增，所以 在递减 当时，即 所以得证 点睛：：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎19．已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.‎ ‎【解析】分析：(1) ‎ 求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2，即可得到f（x）的解析式；(2) 令，设图象上一点，，该处的切线, 又过点则 过作3条不同的切线，则方程有3个不同实根,进而构造，图象与轴有3个不同交点 详解：（1），‎ 由题意可知 ‎，，即 ‎（2），令，‎ 设图象上一点，，‎ 该处的切线 又过点则 ①‎ 过作3条不同的切线，则方程①关于有3个不同实根 令，图象与轴有3个不同交点 ‎ ‎ ‎（1）当，，是单调函数，不可能有3个零点 ‎（2）当，或时，当时，‎ 所以在单调递减，单调递增，单调递减 曲线与轴有个交点，应该满足 ‎，，当，又，所以无解 ‎（3）当，或时，，当时，‎ 在单调递减，单调递增，单调递减，应满足 ‎，，当，又，无解，‎ 综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.‎ 点睛：（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．‎ ‎（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决.‎