2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版） 9页

‎2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二下学期期中考试数学理科试题 答题时间：120分钟 满分:150分 命题、校对：高二数学备课组 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知为实数，为虚数单位，若，则（ ）‎ ‎. 1 -1‎ ‎2.某个自然数有关的命题，如果时，该命题不成立，那么可推得时，该命题不成立。现已知当时，该命题成立，那么可推得（ ）‎ ‎ 时，该命题成立 时，该命题成立 时，该命题不成立 时，该命题不成立 ‎3.已知函数，则的值为（ ）‎ ‎ 10 -10 -20 20‎ 4. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ ）‎ ‎ 一条直线 两条直线 圆 椭圆 5. 下面几种推理是类比推理的是（ ） ①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是，得出所有三角形的内角和都是；‎ ‎②由，满足，，得出是偶函数；‎ ‎③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值．‎ ‎①② ③ ①③ ②③‎ ‎6.用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的实部是，所以复数的虚部是”对于这段推理，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ 大前提错误导致结论错误 小前提错误导致结论错误 推理形式错误导致结论错误 推理没有问题，结论正确 ‎7.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”的过程归纳为以下三个步骤：①因为，这与三角形内角和为相矛盾；②所以一个三角形的内角中至少有一个不大于；③假设三角形的三个内角A、B、C都大于，正确顺序的序号为（ ）‎ ‎③①② ②③① ①③② ①②③‎ ‎8.设复数，，其中为虚数单位，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为 ‎=参照上述方法，可得的所有正约数之和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数，则的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎11.已知定义在上连续可导的函数满足，且则 是增函数 是减函数 有最大值 有最小值 ‎12.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.若是偶函数，则 ______ ．‎ ‎14.学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下：‎ 甲说：“或作品获得一等奖”; 乙说：“作品获得一等奖”;‎ 丙说：“，两项作品未获得一等奖”; 丁说：“作品获得一等奖”．‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． ‎ ‎15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．‎ ‎16.已知直线与函数和分别交于两点，若的最小值为2，则 ______ ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设复数，试求实数为何值时 ‎（1）是纯虚数 （2）对应点位于复平面的第二象限。‎ ‎ ‎ ‎ 18.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ （1） 当时，若对任意恒成立，求的最小值；‎ （2） 若的解集包含，求实数的取值范围． ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，)在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：． （1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程； ‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求． 20.（本小题满分12分）‎ 已知函数 （1）求函数的单调递减区间： （2）若对于任意的，不等式恒成立，求整数的最小值． 21.（本小题满分12分）‎ 已知． （1）当时，试比较的大小关系； （2）猜想的大小关系，并用数学归纳法证明． 22.（本小题满分12分）‎ 已知函数,. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）令，求函数的极值； （3）若，正实数满足，证明：．‎ ‎2017—2018学年度下学期期中考试高二年级 数学理科试题答案 一、 选择题 ‎1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8. D 9. A 10. A 11.D 12. D ‎ 二、填空题 ‎13. ‎ ‎14.B[]‎ ‎15. ‎ ‎16..2‎ 三、解答题 ‎17.（1） （2） ‎ ‎ 18. 解：Ⅰ当时，， ， ，当且仅当时等号成立， ，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为．Ⅱ的解集包含， 当时，有， 对恒成立， 当时，‎ ‎； 当时，． 综上：． 故实数a的取值范围是． ‎ ‎19. 解：Ⅰ由，得，两式平方相加得，． 为以为圆心，以a为半径的圆． 化为一般式： 由，得；Ⅱ：，两边同时乘得， 即． 由：，其中满足，得， 曲线与的公共点都在上， 为圆与的公共弦所在直线方程， 得：，即为， ， ． ‎ ‎20. 解：． 令，即，解得． 函数的单调递减区间是． 令， 所以． 当时，因为，所以 ． 所以在 上是递增函数， 又因为， 所以关于x的不等式不能恒成立． 当时，， 令，得． 所以当时， 当时，， 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为． 令， 因为， 因为在是减函数． 所以当时，． 所以整数a的最小值为2． ‎ ‎21. 解：当时，； 当时，‎ ‎； 当时，． 由猜想：，下面利用数学归纳法证明：当时，不等式成立． 假设当时，不等式成立，即 则当时，则， ， ，即当时，不等式成立由可知：对，都有． ‎ ‎22. 解：当时，，则，所以切点为， 又，则切线斜率， 故切线方程为：，即； ， 所以， 当时，因为，所以． 所以在上是递增函数，无极值； 当时，， 令，得 ‎， 所以当时，；当时，， 因此函数在是增函数，在是减函数， 当时，函数的递增区间是，递减区间是， 时，有极大值， 综上，当时，函数无极值； 当时，函数有极大值，无极小值； 由，即． 令，则由得，， 可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 所以， 所以，解得或， 又因为， 因此成立． ‎ ‎ ‎