高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题一第3讲课时训练提能 6页

专题一 第 3 讲　二次函数、基本初等函数及函数的应用 课时训练提能 [限时 45 分钟，满分 75 分] 一、选择题(每小题 4 分，共 24 分) 1．已知 lg a＋lg b＝0，函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图象可能是 解析　∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，且 a＞0，b＞0， 当 a＞1 时，0＜b＜1，可排除 A、B； 当 0＜a＜1 时，b＞1，可排除 C，故选 D. 答案　D 2．(2012·大连模拟)a 是 f(x)＝2x－ x 的零点，若 0＜x0＜a，则 f(x0)的值满足 A．f(x0)＝0　　　　　　　 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符号不确定 解析　函数 f(x)＝2x＋log2x 在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一 的，根据函数的单调递增性，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即 f(x0)＜0. 答案　B 3．已知 a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则 A．a＞b＞c 　 B．a＞c＞b 　 C．b＞a＞c 　 D．c＞a＞b 解析　∵a＝log23.6＝log43.62＝log412.96， 又∵y＝log4x(x＞0)是单调递增函数， 而 3.2＜3.6＜12.96， ∴a＞c＞b. 答案　B 4．设函数 f(x)＝Error!则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 A．[－1,2] B．[0,2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 解析　当 x≤1 时，21－x≤2，解得 x≥0，所以 0≤x≤1； 1 2 log 当 x＞1 时，1－log2x≤2，解得 x≥1 2 ，所以 x＞1. 综上可知 x≥0. 答案　D 5．(2012·青岛模拟)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N＋)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数．有下列函数： ①f(x)＝x＋1 x(x＞0)；②g(x)＝x3；③h(x)＝( 1 3 )x；④φ(x)＝ln x. 其中是一阶整点函数的是 A．①②③④ 　 B．①③④ 　 C．④ D．①④ 解析　①f(x)＝x＋1 x ，(x＞0)，当 x＝1 时，f(1)＝2， 当 x∈(1，＋∞)，若 x∈Z，则1 x ∉Z，同理可知当 x∈(0,1)时，也不存在整点． ∴f(x)＝x＋1 x(x＞0)是一阶整点函数； ②g(x)＝x3，∵g(0)＝0，g(1)＝1，…，∴f(x)＝x3 不是一阶整点函数； ③h(x)＝( 1 3 )x，∵h(－1)＝3，h(0)＝1，…， ∴h(x)＝( 1 3 )x 不是一阶整点函数； ④φ(x)＝ln x，∵φ(1)＝0，∴φ(x)是一阶整点函数． 答案　D 6．(2012·盘锦模拟)设定义在 R 上的函数 f(x)＝Error!若关于 x 的方程 f2(x)＋af(x)＋b＝0 有 3 个不同实数解 x1、x2、x3，且 x1＜x2＜x3，则下列说法中错误的是 A．x21＋x22＋x23＝14 B．1＋a＋b＝0 C．a2－4b＝0 D．x1＋x3＝4 解析　作出函数 f(x)的图象，令 t＝f(x)， 则方程 f2(x)＋af(x)＋b＝0 化为 t2＋at＋b＝0， ∵t＝f(x)＞0，故要使原方程有 3 个不同的实数解， 则需方程 t2＋at＋b＝0 的根，t1＝t2＝1 或 t1＝1，t2≤0， 故 Δ＝a2－4b＝0 或Error!，故 C 错误． 令 f(x)＝1，易得 x1＝1，x2＝2，x3＝3， 所以 A、B、D 皆正确． 答案　C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 7．函数 y＝( 1 3 )x－log2(x＋2)在[－1,1]上的最大值为________． 解析　函数 y＝( 1 3 )x－log2(x＋2)在[－1,1]上是单调递减函数，所以函数的最大值为 f(－1)＝ 3. 答案　3 8．(2012·广州二模)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产 品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(x∈N＋)件．当 x≤20 时，年销售总收入为(33x－x2)万元； 当 x＞20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元， 则 y(万元)与 x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最 大．(年利润＝年销售总收入－年总投资) 解析　当 x≤20 时，y＝32x－x2－100， 当 x＞20 时，y＝260－x－100＝160－x， ∴y＝Error! 当 x∈(0,20]时，x＝16，ymax＝156 万元； 当 x∈(20，＋∞)时，y＜160－20＝140 万元； 故当 x＝16 时，所得年利润最大． 答案　y＝Error!　16 9．如图，y＝f(x)反映了某公司的销售收入 y 万元与销量 x 之间的函 数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关 系， (1)当销量 x________时，该公司赢利； (2)当销量 x________时，该公司亏损． ①x＞a　②x＜a　③x≥a　④0≤x＜a 解析　现实生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．根据实际情况，当销售收入 f(x) 大于销售成本 g(x)时，公司赢利；当销售收入 f(x)小于销售成本 g(x)时，公司亏损． 答案　(1)①　(2)④ 三、解答题(每小题 12 分，共 36 分) 10．已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当 x∈(－3,2)时，f(x)＞0，当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋ ∞)时，f(x)＜0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R? 解析　由题意知 f(x)的图象是开口向下，交 x 轴于两点 A(－3,0)和 B(2,0)的抛物线，对称轴方 程为 x＝－1 2(如图)． 那么，当 x＝－3 和 x＝2 时， 有 y＝0，代入原式得： Error! 解得Error!或Error! 经检验知Error!不符合题意，舍去． ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. (1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， 所以，当 x＝0 时，y＝18，当 x＝1 时，y＝12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令 g(x)＝－3x2＋5x＋c， 要使 g(x)≤0 的解集为 R. 则需要方程－3x2＋5x＋c＝0 的判别式 Δ≤0， 即 Δ＝25＋12c≤0，解得 c≤－25 12. ∴当 c≤－25 12 时，ax2＋bx＋c≤0 的解集为 R. 11．已知函数 f(x)＝ex－e－x(x∈R 且 e 为自然对数的底数)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性； (2)是否存在实数 t，使不等式 f(x－t)＋f(x2－t2)≥0 对一切 x 是否都成立？若存在，求出 t；若 不存在，请说明理由． 解析　(1)∵f(x)的定义域为 R，且 f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 由于 f′(x)＝ex＋e－x＞0 恒成立， 所以 f(x)是 R 上的增函数． (2)不等式 f(x－t)＋f(x2－t2)≥0 可化为 f(x－t)≥－f(x2－t2)，即 f(x－t)≥f(－x2＋t2)， 又 f(x)是 R 上的增函数， 所以上式等价于 x－t≥－x2＋t2， 即 x2＋x－t2－t≥0 恒成立， 故有 Δ＝1－4(－t2－t)≤0， 即(2t＋1)2≤0，所以 t＝－1 2. 综上所述，存在 t＝－1 2 ， 使不等式 f(x－t)＋f(x2－t2)≥0 对一切 x 都成立． 12．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元．该厂为鼓励销 售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低 0.02 元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 600 件． (1)设一次订购 x 件，服装的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p＝f(x)的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？ 解析　(1)当 0＜x≤100 时，p＝60； 当 100＜x≤600 时， p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x. ∴p＝Error! (2)设利润为 y 元，则 当 0＜x≤100 时，y＝60x－40x＝20x； 当 100＜x≤600 时， y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2. ∴y＝Error! 当 0＜x≤100 时，y＝20x 是单调增函数，当 x＝100 时，y 最大，此时 y＝20×100＝2 000； 当 100＜x≤600 时， y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， ∴当 x＝550 时，y 最大，此时 y＝6 050. 显然 6 050＞2 000. 所以当一次订购 550 件时，利润最大，最大利润为 6 050 元．