2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第三章　第三章　1 第1讲　变化率与导数、导数的计算 16页

知识点 最新考纲 变化率与导数、导数的计算 ‎ 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．‎ ‎ 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).‎ 导数在研究函数中的应用 ‎ 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．‎ ‎ 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.‎ 第1讲　变化率与导数、导数的计算 ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.‎ ‎(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ax ‎(a>0且a≠1)‎ f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax ‎(x>0，a>0且a≠1)‎ f′(x)＝ f(x)＝ln x(x>0)‎ f′(x)＝ ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)‎ ‎(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(选修2－2P65A组T2(1)改编)函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)‎ A．xsin x　　　　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ ‎2．(选修2－2P18A组T6改编)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________．‎ 解析：因为y′＝，所以y′|x＝－1＝2.‎ 故所求切线方程为2x－y＋1＝0.‎ 答案：2x－y＋1＝0‎ ‎3．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的瞬时速度为________．‎ 解析：因为s＝t2＋，所以s′＝2t－，‎ 所以s′|t＝2＝4－＝.‎ 答案： ‎[易错纠偏]‎ ‎(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；‎ ‎(2)不会用方程法解导数求值．‎ ‎1．已知函数f(x)＝sin，则f′(x)＝________．‎ 解析：f′(x)＝[sin]′＝cos·′＝2cos.‎ 答案：2cos ‎2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________．‎ 解析：因为f(x)＝f′sin x＋cos x，‎ 所以f′(x)＝f′cos x－sin x，‎ 所以f′＝f′cos－sin，‎ 即f′＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，‎ f′(x)＝－cos x－sin x.‎ 故f′＝－cos－sin＝－.‎ 答案：－ ‎　　　　　　导数的计算 ‎　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；‎ ‎(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝ln(2x－5)．‎ ‎【解】　(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.‎ ‎(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′‎ ‎＝3xexln 3＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ ‎(4)令u＝2x－5，y＝ln u，‎ 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝.‎ ‎　 ‎ ‎[提醒]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．‎ ‎1．已知f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝(　　)‎ A．e2 B．1‎ C．ln 2 D．e 解析：选B.因为f(x)＝x(2 017＋ln x)，‎ 所以f′(x)＝2 017＋ln x＋1＝2 018＋ln x，‎ 又f′(x0)＝2 018，‎ 所以2 018＋ln x0＝2 018，‎ 所以x0＝1.‎ ‎2．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝xnex；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2.‎ 解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．‎ ‎(2)y′＝＝－.‎ ‎(3)y′＝exln x＋ex·＝ex.‎ ‎(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′‎ ‎＝2(1＋sin x)·cos x.‎ ‎　　　　　　导数的几何意义(高频考点)‎ 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：‎ ‎(1)求切线方程；‎ ‎(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；‎ ‎(3)已知切线方程(或斜率)求参数值．‎ 角度一　求切线方程 ‎ (1)曲线y＝x2＋在点(1，2)处的切线方程为____________________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．‎ ‎【解析】　(1)因为y′＝2x－，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－＝1，‎ 所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.‎ ‎(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，‎ 所以设切点为(x0，y0)．‎ 又因为f′(x)＝1＋ln x，‎ 所以 解得x0＝1，y0＝0.‎ 所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.‎ 所以直线l的方程为y＝x－1.‎ ‎【答案】　(1)y＝x＋1　(2)y＝x－1‎ 角度二　已知切线方程(或斜率)求切点坐标 ‎ 若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎【解析】　设P(x0，y0)，因为y＝e－x，‎ 所以y′＝－e－x，‎ 所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，‎ 所以－x0＝ln 2，所以x0＝－ln 2，‎ 所以y0＝eln 2＝2，‎ 所以点P的坐标为(－ln 2，2)．‎ ‎【答案】　(－ln 2，2)‎ 角度三　已知切线方程(或斜率)求参数值 ‎ (1)(2020·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于(　　)‎ A．2 B．－1‎ C．1 D．－2‎ ‎(2)(2020·绍兴调研)若直线y＝ax是曲线y＝2ln x＋1的一条切线，则实数a＝________．‎ ‎【解析】　(1)依题意知，y′＝3x2＋a，则 由此解得所以2a＋b＝1，选C.‎ ‎(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2ln x＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，‎ 于是有，‎ 解得x0＝，a＝＝2e－.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)2e－ ‎ ‎(1)求曲线切线方程的步骤 ‎①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；‎ ‎②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．‎ ‎(2)求曲线的切线方程需注意两点 ‎①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；‎ ‎②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．　 ‎ ‎1．(2020·杭州七校联考)曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2　　　　　　　　　 B．4e2‎ C．2e2 D．e2‎ 解析：选D.因为y′＝ex，所以k＝e×4＝e2，所以切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.‎ ‎2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．‎ 解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.‎ 因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．(2020·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017的值为________．‎ 解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.‎ 所以x1·x2·…·x2 017＝×××…××＝.‎ 则log2 018x1＋log2 018x2＋…＋log2 018x2 017‎ ‎＝log2 018(x1·x2·…·x2 017)＝log2 018＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎　　　　　　两条曲线的公切线 ‎　若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．‎ ‎【解析】　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．‎ 则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，‎ 依题意 解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.‎ ‎【答案】　1－ln 2‎ 求两条曲线的公切线的方法 ‎(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．‎ ‎(2)利用公切线得出关系式．‎ 设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝.　 ‎ ‎1．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为(　　)‎ A．三条 B．二条 C．一条 D．0条 解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，g′(n)＝f′(m)＝，解得m＝－＋2，代入化简得8n3－8n2＋1＝0，构造函数f(x)＝8x3－8x2＋1，f′(x)＝8x(3x－2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值f(0)＞0，极小值f＜0，故函数和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.‎ ‎2．曲线f(x)＝ex在x＝0处的切线与曲线g(x)＝ax2－a(a≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．‎ 解析：曲线f(x)在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.‎ 设其与曲线g(x)＝ax2－a相切于点(x0，ax－a)．‎ 则g′(x0)＝2ax0＝1，且ax－a＝x0＋1.‎ 解得x0＝－1，a＝－，切点坐标为(－1，0)．‎ 所以过切点且与该切线垂直的直线方程为 y＝－1·(x＋1)，即x＋y＋1＝0.‎ 答案：x＋y＋1＝0‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　　 B．2cos 1－sin 1‎ C．cos 1－sin 1 D．1‎ 解析：选B.因为y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2·(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以y′|x＝1＝2cos 1－sin 1.‎ ‎2．(2020·衢州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于(　　)‎ A．0 B．－1‎ C. D．2‎ 解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.‎ ‎3．(2020·温州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：选B.因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，‎ 所以f′(x)＝2x＋2，‎ 所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，‎ 因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，‎ 所以f′(x1)f′(x2)＝－1.‎ 所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，‎ 所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，‎ 所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，‎ 即x1＝－，x2＝－时等号成立．‎ 所以x2－x1的最小值为1.故选B.‎ ‎4．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝(　　)‎ A．－6 B．－8‎ C．6 D．8‎ 解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.‎ 所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7‎ ‎＝－4ax3＋bsin x＋7.‎ 所以f′(x)＋f′(－x)＝14.‎ 又f′(2 018)＝6，‎ 所以f′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.‎ ‎5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ 解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.‎ ‎6．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎7．已知f(x)＝，g(x)＝(1＋sin x)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为________．‎ 解析：因为f′(x)＝ ‎＝＝，‎ g′(x)＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′＝2cos x＋sin 2x，‎ 所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cos x＋sin 2x.‎ 答案：＋2cos x＋sin 2x ‎8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．‎ 解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2020·金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2 018，若对任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，则不等式f(x)＜x2＋2 014的解集为________．‎ 解析：构造函数g(x)＝f(x)－x2－2 014，则g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(－2)＝f(－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f(x)＜x2＋2 014有f(x)－x2－2 014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．‎ 答案：(－2，＋∞)‎ ‎10．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝________．‎ 解析：g′(x)＝′＝.‎ 由题图可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，‎ 故k1＝＝.‎ 由导数的几何意义可得f′(4)＝，‎ 因为Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.‎ 故g′(4)＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；‎ ‎(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．‎ 因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.‎ 所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ 所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ ‎(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，‎ 所以切线的斜率k＝4.‎ 设切点的坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.‎ 所以或 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．‎ 解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)．‎ 由题意得 即解得a＝1，b＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，‎ 设曲线的切点为P，f′(x0)＝1－，‎ 曲线在P处的切线方程为 y－＝(x－x0)．‎ 即y＝x＋.当x＝0时，y＝.‎ 即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A.‎ 由得 即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0，2x0)．‎ 又l1与l2的交点为O(0，0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·＝2.‎ 即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．[－，＋∞)‎ C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)‎ 解析：选D.f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.‎ ‎2．(2020·金华十校联考)已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足(　　)‎ A．0＜x0＜ B.＜x0＜1‎ C.＜x0＜ D.＜x0＜ 解析：选D.令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，从而＜x0＜，选D.‎ ‎3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．‎ ‎①f(x)＝sin x＋cos x； ②f(x)＝ln x－2x；‎ ‎③f(x)＝－x3＋2x－1； ④f(x)＝xex.‎ 解析：①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．‎ 答案：①②③‎ ‎4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．‎ 解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b，‎ f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1，‎ f′(0)＝a，g′(1)＝b，‎ 由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，‎ 又f′(0)＝＝a，‎ 即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；‎ 所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.‎ 答案：－2　x＋y＋1＝0‎ ‎5．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．‎ 解：(1)由题意得，y′＝－2x＋.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①‎ y1＝－x＋x1－4，②‎ ‎－2x1＋＝k，③‎ 联立①②③得，x1＝2，x2＝－2(舍去)．所以k＝.‎ ‎(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.④‎ 将④代入抛物线方程得，x2－x＋9＝0.‎ 设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，‎ 所以x2＝，y2＝－4.‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，‎ 因为f′(－1)＝0，‎ 所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.‎ ‎(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．‎ 因为g′(x0)＝6x0＋6，‎ 所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，‎ 将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.‎ 当x0＝－1时，切线方程为y＝9；‎ 当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.‎ 由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，‎ ‎①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，‎ 解得x＝－1或x＝2.‎ 在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；‎ 在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.‎ ‎②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，‎ 解得x＝0或x＝1.‎ 在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；‎ 在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，‎ 所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.‎ 综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.‎