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- 2021-06-21 发布
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- 1 -
微专题 13 利用数学模型解决实际问题
一、基础知识:
1、使用函数模型解决实际问题
(1)题目特点:叙述中体现两个变量之间的关系(涉及的量也许有多个,但均能够用两个核
心变量进行表示)。以其中一个为自变量,则另一个变量可视为自变量的函数,进而搭建出函
数模型,再根据导数,均值不等式等工具求出最值
(2)需用到的数学工具与知识点:
① 分段函数:当自变量的不同取值导致解析式不同时,可通过建立分段函数来体现两个变量
之间的关系,在题目中若有多种情况,且不同的情况对应不同的计算方式,则通常要用分段
函数进行表示。
②导数:在求最值的过程中,若函数解析式不是常见的函数(二次函数,对勾函数等),则可
利用导数分析其单调性,进而求得最值
③ 均值不等式:在部分解析式中(可构造和为定值或积为定值)可通过均值不等式迅速的找
到最值。
④ 分式函数的值域问题:可通过分离常数对分式进行变形,并利用换元将其转化为熟悉的函
数求解
(3)常见的数量关系:
① 面积问题:可通过寻底找高进行求解,例如:
平行四边形面积 底 高 梯形面积 (上底 下底) 高
三角形面积 底 高
② 商业问题:
总价 单价 数量 利润 营业额 成本 货物单价 数量 成本
③ 利息问题:
利息 本金 利率 本息总和 本金 利息 本金 利率 本金
(4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符,例如:涉及到个数时,变
量应取正整数。涉及到钱,速度等问题,变量的取值应该为正数。
2、使用线性规划模型解决实际问题
(1)题目特点:叙述中也有两个核心变量,但条件多为涉及两核心变量的不等关系,且所求
是关于两个核心变量的表达式,这类问题通常使用线性规划模型来解决问题
1
2
1
2
- 2 -
(2)与函数模型的不同之处
①函数模型:体现两核心变量之间的等量关系,根据一个变量的范围求另一个变量的范围(或
最值)
② 线性规划模型:体现关于两变量的不等关系,从而可列出不等式组,要解决的是含两个变
量的表达式的最值。
(3)解题步骤:根据题目叙述确定未知变量(通常选择两个核心变量,其余变量用这两个进
行表示),并列出约束条件和目标函数,然后利用数形结合的方式进行解决
(4)注意事项:在实际问题中,变量的取值有可能为整数,若最优解不是整数,则可在最优
解附近寻找几对整点,代入到目标函数中并比较大小
3、使用三角函数模型解决实际问题
(1)题目特点:题目以几何图形(主要是三角形)作为基础,条件多与边角相关
(2)需要用到的数学工具与知识点:
① 正弦定理:设 三边 所对的角分别为 ,则有
② 余弦定理(以 和对角 为例),
③ 三角函数表达式的化简与变形
④ 函数 的值域
(3)解题技巧与注意事项:
① 在求边角问题时,应把所求的边或角放在合适的三角形中
② 在直角三角形里,已知一条边,则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示
③ 在图形中要注意变量的取值范围
二、典型例题:
例 1:如图所示,将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ,要求 在
的延长线上, 在 的延长线上,且对角线 过
点。已知 米, 米。
(1)设 (单位:米),要使花坛 的面
积大于 32 平方米,求 的取值范围;
(2)若 (单位:米),则当 的长度
分别是多少时,花坛 的面积最大?并求出最大面积。
ABC , ,a b c , ,A B C sin sin sin
a b c
A B C
a A 2 2 2 2 cosa b c bc A
siny A x
ABCD AMPN M AB
N AD MN
C 3AB 2AD
xAN AMPN
x
)4,3[x ,AM AN
AMPN
- 3 -
(1 )思路:根据相似三角形可得线段比例: ,从而解出 ,则
,从而可得 ,解出 的范围即可
解:
依题意可得:
解得:
(2)思路:求 面积的最大值,即求表达式 的最大值,分离常数求解即
可
解:设
设 ,则
则 ,根据对勾函数可得: 时, 达到最大值,即
此时 ,所以
答:当 时,四边形 的面积最大,为
例 2:时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假
设某网校的套题每日的销售量 y(单位:千套)与销售价格: (单位:元/套)满足的关系式
,其中 为常数.已知销售价格为 4 元/套时,每日可售出
套题 21 千套.
ND DC
AN AM 3
2
xAM x
23
2AMPN
xS AN AM x
23 322
x
x x
NDC NAM
ND DC
AN AM
3
2
DC AN DC AN xAM ND AN AD x
23
2AMPN
xS AN AM x
2
23 32 3 32 64 0 02
x x x xx
82, 8,3x
AMPN
23
2
xf x x
23
2
xf x x )4,3[x
4 43 2 =3 2 42 2f x x xx x
2t x 1,2t
43 4y t t
1t y 27y
1 3t x 33, 92
xAN AM x
3, 9AN AM AMPN 227m
x
24 62
my xx 2 6,x m
- 4 -
(1)求 的值;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元(只考虑销售出的套数),试
确定销售价格 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留 1 位小数)
解:(1)将 代入关系式可得:
( 2 ) 思 路 : 依 题 意 可 得 售 出 一 套 , 所 得 利 润 为 元 , 所 以 总 的 利 润
,其中 ,利用导数判定 的单调性,进而
可求得最大值点
解:依题意所获利润
化简可得:
令 ,即解不等式
解得
在 单调递增,在 单调递减
在 取得最大值,即
例 3:某人销售某种商品,发现每日的销售量 (单位:kg)与销售价格 (单位:元/kg)
满足关系式 ,其中 为常数.已知销售价格为 8 元/kg 时,
该日的销售量是 80kg.
(1)求 的值;
(2)若该商品成本为 6 元/kg,求商品销售价格 为何值时,每日销售该商品所获得的利润最
大.
解:(1)当 时, ,解得:
m
x
4, 21x y 221 4 4 6 102
m m
2x
2102 4 62f x x xx
2 6x f x
x
2102 2 4 62f x x y x xx
3 24 56 240 278f x x x x 2 6x
' 212 112 240 4 3 10 6f x x x x x
' 0f x 3 10 6 0x x
2 6x 10
3x
f x 102, 3
10,63
f x 10
3x 3.3x
y x
159,6
177
,96,)9(6
150 2
xxx
xxaxy a
a
x
8x 215080 8 98 6 a 5a
- 5 -
(2)思路:依题意可得销售商品所获得利润 ,所以 也是一个分段函
数,可以考虑分别求出每段函数值的最大值,然后进行比较即可挑出 的最大值。
解:设商品利润为 ,则有 ,由第(1)问可得:
当 时,
则
令 ,由 解得:
在 单调递增,在 单调递减
当 时,
在 单调递减
例 4:已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料 200 千克,配料的价格为
元/千克,每次购买配料需支付运费 236 元,每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准
如下:7 天以内(含 7 天),无论重量度搜好,均按 10 元/天支付,超出 7 天以外的天数,根
据实际剩余配料的重量,以每天 0.03 元/千克支付
(1)当 9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用 是多少元?
2150 5 9 ,6 96
177 ,9 156
x xxy
x xx
6f x x y f x
f x
f x 6f x x y
21506 5 9 ,6 966
1776 ,9 156
x x xxf x x y
x x xx
6 9x 2150 5 9 6f x x x
2' 5 9 2 6 9 15 7 9f x x x x x x
' 0f x 6,9x 6 7x
f x 6,7 7,
7 170f x f
9 15x 22177 6 3 186f x x x x
f x 9,15
9 150f x f
7 9f f
max 170f x
1.8
P
- 6 -
(2)设该厂 天购买一次配料,求该厂在这 天中用于配料的总费用 (元)关于 的函数
关系式,并求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
解:(1)第 8 天剩余配料为 (千克)
第 9 天剩余配料为 千克
该厂用于配料的保管费为: (元)
(2)当 时,
当 时,
综上所述:
设 为平均每天支付的费用,则
当 时, ,当 时,
当 时,
等号成立条件:
(元)
例 5:甲,乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学的往返车费是 5 元,每人可
为 3 位老人服务,乙校每位同学往返车费是 3 元,每人可为 5 位老人服务,两校都有学生参
加,甲校参加活动的学生比乙校至少多 1 人,且两校同学往返总车费不超过 45 元,如何安排
甲,乙两校参加活动的人数,才能使收到服务的老人最多?此时受到服务的老人最多有多少
人?
思路:本题涉及的变量有两个:甲校人数与乙校的人数,且所给条件均为关于两校人数的不
等式,所以可联想到线性规划问题。可设甲校人数为 ,乙校人数为 ,所求问题为目标函
数 ,列出约束条件后通过数形结合即可求出 的最大值
x x y x
2 200 400
200
70 0.03 400 0.03 200 88P
7x 360 10 236 236 370y x x x
7x 360 236 70 6 7 6 2 1y x x x
23 321 432x x
2
236 370 , 7
3 321 432, 7
x xy
x x x
W 2
236 370 , 7
3 321 432 , 7
x xy xW x x x xx
7x 236 370 236370xW x x
7x min
2826 4047W
7x 432 144 1443 321 3 321 3 2 321 393W x x xx x x
144 12x xx
min 393W
x y
3 5z x y z
- 7 -
解:设甲校人数为 ,乙校人数为 ,依题意, 应满足的条件为:
目标函数 ,通过数形结合
可得。动直线 经过 时, 取得最大值
例 6:如图,某海滨浴场的岸边可近似地看成直线,位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人
求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B
处,若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒,在海中的行进速度为
2 米/秒, 。
(1)分析救生员的选择是否正确;
(2)在 AD 上找一点 C,使救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出
最短时间
解:(1)思路:所谓“选择是否正确”,是指方案二所用的时间是否比直接游到 处时间短,
所以考虑分别求出两种方案所用的时间,再进行比较即可。
解:从图形可得: ,所以 (s)
而 ,所以 (s)
,所以救生员的选择是正确的
(2)思路:要求得时间的最值,考虑创设一个变量 ,并构造出时间关于 的函数 ,
再 求 出 的 最 小 值 即 可 。 不 妨 设 , 则 , 所 以 时 间
,再求导求出 的最小值即可
解:设 ,则 ,设所用时间为
x y ,x y
5 3 45
1
,
x y
x y
x y N
33 5 5 5
zz x y y x
l M z
5 3 45 6: 1 5
x y xM x y y
6,5M max 3 5 43z x y
45BAD
B
300 300 2sin45AB 1
300 2 150 22t
300AD BD 2
300 300 2006 2t
1 2t t
x x f x
f x CD x 2 2300BC x
2 2300 300
6 2
x xf x f x
CD x 2 2300BC x f x
- 8 -
令 ,即解不等式
,解得:
在 单调递减,在 单调递增
(秒)
答:当 时,救生员所用的时间最短,为 秒
答:甲,乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时,受到服务的老人最多,最多为 43 人
例 7:某人有楼房一幢,室内面积共计 180m2,拟分割成两类房间作为旅游客房,大房间每间
面积为 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费 40 元;小房间每间面积为 15m2,可以住游
客 3 名,每名游客每天住宿费 50 元;装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600
元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少
间,每天能获得最大的房租收益?(注:设分割大房间为 间,小房间为 间,每天的房租
收益为 元),求 各为多少时,每天能获得最大的房租收益?每天能获得最大的房租收益
是多少?
思路:本题的主要变量是 ,从题目中可发现对 的约束条件有 3 个,一个是房间数必
须是非负整数,所以 ,第二个条件是室内面积为 ,所以大小房间面积和要不
大 于 , 第 三 个 条 件 是 装 修 费 用 总 和 不 高 于 8000 元 , 据 此 列 出 约 束 条 件 :
,所求收益 ,所
以该模型为线性规划问题,数形结合即可。
解:依题意可得对 的约束条件为:
2 2300 300
6 2
x xf x
2 2
'
2 2 2 2
1 1 2 300 3
6 2 2 300 6 300
x x xf x
x x
' 0f x 2 2 2 23 300 0 3 300x x x x
2 2 29 300x x
2
2 300
8x 75 2x
f x 0,75 2 75 2,300
min 75 2 50 100 2f x f
75 2CD 50 100 2
x y
z ,x y
,x y ,x y
,x y N 2180m
2180m
18 15 180
1000 600 8000
,
x y
x y
x y N
200 150z x y
,x y
- 9 -
,所求目标函数为
作出可行域,依图可得:直线过 或 时, 最大,即
答:当大房间为 3 间,小房间为 8 间;或者不设大房间,小房间为 12 间时,收益最大,最大
值为 元
例 8:某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示,经规划调研确定,
棚改规划建筑用地区域近似地为半径是 的圆面,该圆面的内接四边
形 是原棚户建筑用地,测量可知边界 万米,
万米, 万米
(1)请计算原棚户区建筑用地 的面积及圆面半径 的值
(2)因地理条件的限制,边界 不能变更,而边界 可以调整,为了提高棚户
区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 上设计一点 ,使得棚户区改造的新建筑用地
的面积最大,并求最大值
解:(1)在 中,由余弦定理可得:
①
在 中,由余弦定理可得:
②
因为四边形 内接于圆
所以由①②可得:
解得:
(万平方米)
由余弦定理可得:
18 15 180 6 5 60
1000 600 8000 5 3 40
, ,
x y x y
x y x y
x y N x y N
200 150z x y
3,8M 0,12M z max 18000z
18000
R
ABCD 4AB AD
6BC 2CD
ABCD R
,AD CD ,AB BC
ABC P
APCD
ABC
2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B
ADC
2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC D
ABCD 180B D cos cosB D
2 2 2 24 6 2 4 6cos 4 2 2 4 2cosB B
1cos 602B B 120D
1 1sin sin2 2ABCD ABC ADCS S S AB BC B AD DC D
1 14 6 sin60 2 4 sin120 8 32 2
2 2 2 2 cos 28AC AB BC AB BC B
2 7AC
- 10 -
(2)设 ,可知
由(1)可知 若要 面积最大,只需 最大
在 中,由余弦定理可得:
即
,即 当且仅当 时,等号成立
所以四边形 的最大面积为 万平方米
例 9:如图是一块平行四边形园地 ,经测量, ,
拟过线段 上一点 设计一条直路 (点 在四边形 的边上,不计路的宽度),
将该园地分为面积比为 的左,右两部分,分别种植不同的花卉,设 (单
位:m)
(1)当点 与点 重合时,试确定点 的位置
(2)求 关于 的函数表达式
(3)试确定点 的位置,使得直路 长度最短
解:(1)当 与 重合时, (设 为平行四边形的高)
依题意可得: 即
即 为 的中点
2 7 4 212 sin 33
2
ACR B 2 21
3R
,AP x CP y APCD APC ADCS S S
2 3ADCS APCD APCS
1 1 3sin sin2 2 4APCS AP CP P AP CP B xy
APC
2 2 2 2 cosAC AP PC AP PC P
2 2 2 228 2 cos60 28x y xy x y xy
2 2 2x y xy
2 228 2x y xy xy xy 28xy x y
3 32 3 2 3 28 9 34 4APCDS xy
APCD 9 3
ABCD 20 , 10 , 120AB m BC m ABC
AB E EF F ABCD
3:1 ,EB x EF y
F C E
y x
,E F EF
F C 1
2BEFS BE h h
ABCDS AB h
1
4BEF ABCDS S
1 1
2 4BE h AB h
1
2BE AB E AB
- 11 -
(2) 在线段 上
当 时,可得 在线段 上
在 中
当 时,点 在线段 上,此时四边形 为梯形或平行四边形
,由 得:
当 时,
当 时,
即
综上所述可得:
(3)即求 的最小值
当 时,
等号成立条件:
E AB
0 20x
10,20x F BC
20 , 10 , 120AB m BC m ABC
3sin 20 10 100 32ABCDS AB BC ABC
1 25 34EBF ABCDS S
1 3sin1202 4EBFS BE BF x BF
100BF x BEF
2
2 2 2 2 100 1002 cos 2 cos120EF BE BF BE BF EBF x xx x
2
2
10000 100y EF x x
0,10x F CD EBCF
1 10 sin602EBCFS x CF 1 25 34EBCF ABCDS S
10CF x
BE CF 22 210 2 10 2 10 2 10 cos120 2 5 25EF x x x x
BE CF 22 210 10 2 2 10 10 2 cos60 2 5 25EF x x x x
22 5 25y x x
2
2
2
10000 100,10 20
2 5 25,0 10
x xxy
x x x
y
10,20x 2 2
2 2
10000 10000100 2 100 10 3y x xx x
2
2
10000 10x xx
- 12 -
当 时,
等号成立条件:
,此时
例 10:如图,在海岸线 一侧有一休闲游乐场,游乐场的前一部分边界为曲线段 ,
该曲线段是函数 的图像,图像的最高
点为 ,边界的中间部分为长 1 千米的直线段 ,且 ∥ ,游乐场的后一部分
边界是以 为圆心的一段圆弧
(1)求曲线 的函数表达式
(2 )曲线段 上的入口 距海岸线 最 近距
离为 千米,现准备从入口 ,修一条笔直的景观 路 到
,求景观路 的长度
(3)如图,在扇形 区域内建一个平行四边形休闲区 ,平行四边形的一边在海岸
线 上,一边在半径 上,另外一个顶点 在圆弧 上,且 ,求平行 四边
形休闲区 面积的最大值及此时 的值
解:(1)由 可知 ,
对于 ,
此时 ,由图像过 可得:
0,10x
25 752 5 32 4y x
5
2x
min 5 3y 2.5, 7.5BE CF
EF FGBC
sin 0, 0, 0, , 4,0y A x A x
1,2B CD CD EF
O DE
FGBC
FGBC G EF
1 G
O GO
ODE OMPQ
EF OD P DE POE
OMPQ
1,2B 2A 4,0F
siny A x 4 1 4 12T
2
6T
2sin 6y x
1,2B
2sin 2 sin 16 6
26 2 k k Z
2= 3
- 13 -
曲线 的函数表达式为
(2)由已知可得
或
解得: 或 ,由 可得:
(3)由图可知,
过 作 轴于
在 中
在 中
时, 的最大值为
FGBC 22sin 6 3y x
1Gy 2 2 12sin 1 sin6 3 6 3 2G Gx x
2 = 26 3 6Gx k 2 5= 26 3 6Gx k
3 12Gx k 1 12Gx k 4,0Gx 3,1G
10OG
3, 1OC CD
2, 6DO COD
P 1PP x 1P
1Rt OPP
1 sin 2sinPP OP
OMP sin120 sin 60
OP OM
2 3sin 60 2cos sinsin120 3
OPOM
1
2 3 2 3 2 32cos sin 2sin 2sin2 cos23 3 3OMPQS OM PP
4 3 2 3sin 2 , 0,3 6 3 3
2 6 2 6
OMPQS 2 3
3