数学卷·2018届重庆十八中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版） 16页

2016-2017 学年重庆十八中高二（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．点 A 在直线 l 上，l 在平面α外，用符号表示正确的是（ ） A．A ∈ l，l ∉ α B．A ∈ l，l ⊄ αC．A ⊂ l，l ⊄ α D．A ⊂ l，l ∈ α 2．直线经过点 A（﹣2，0），B（﹣5，3），则直线的倾斜角（ ） A．45° B．135° C．﹣45° D．﹣135° 3．设 l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若 l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 4．直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线 x﹣y=3 倾斜角的 2 倍，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线 l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若 l1∥l2，则 a 的值为（ ） A．﹣ B．6 C．0 D．0 或﹣ 6．直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= （ ） A．1 B．2 C． D．4 7．已知侧棱长为 2a 的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为 9a，则棱锥的高为 （ ） A．a B．2a C． a D． a 8．已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在 l 上取线段 AB=4，AC、BD 分别在平面α和平面β内， 且 AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则 CD 的长度（ ） A．13 B． C．12 D．15 9．直线 y=kx+1 与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 相交于 A，B，两点，若|AB|≥ ，则 k 的取 值范围（ ） A．[0，1] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1] 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．7 B．7 C．7 D．8 11．设点 A（﹣2，3），B（3，2），若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范围 是（ ） A．（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞） B．（﹣ ， ） C．[﹣ ， ] D．（﹣∞，﹣ ]∪[ ， +∞） 12．已知圆 O：x2+y2=16 和点 M（1，2 ），过点 M 的圆的两条弦 AC，BD 互相垂直，则 四边形 ABCD 面积的最大值（ ） A．4 B． C．23 D．25 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案分别填写在答题卡相应位置） 13．经过点（﹣2，3），且斜率为 2 的直线方程的一般式为 ． 14．不论 a 为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 恒过定点 ． 15．在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0（m ∈ R） 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 16．已知三棱锥 S﹣ABC 所在顶点都在球 O 的球面上，且 SC⊥平面 ABC，若 SC=AB=AC=1， ∠BAC=120°，则球 O 的表面积为 ． 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面四边形 ABCD 平行四边形，AD⊥平面 SAB． （1）若 SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥平面 ABCD （2）若点 E 是 SB 的中点，求证：SD∥平面 ACE． 18．如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x﹣2y+1=0，∠A 的平分线所在的 直线方程为 y=0，若点 B 的坐标为（1，2），求点 A 和点 C 的坐标． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD 垂直于底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DC ∥AB，∠BAD=90°，且 AB=2AD=2DC=2PD=4，E 为 PA 的中点． （1）若正视方向与 AD 平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积； （2）证明：平面 CDE⊥平面 PAB． 20．如图，已知圆 C 的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线 l 的方程为：x+2y﹣3=0． （1）求 m 的取值范围； （2）若圆与直线 l 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数 m 的值． 21．如图在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是等腰梯形，且 PA⊥平面 ABCD， AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 平行四边形 T，Q，M，N 的四个顶点分别在棱 PC、 PA、AB、BC 的中点． （1）求证：四边形 TQMN 是矩形； （2）求四棱锥 C﹣TQMN 的体积． 22．平面直角坐标系 xoy 中，直线 x﹣y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆 O 的方程； （2）若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线 l 的 方程； （3）设 M，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 于 x 轴于点（m，0）和（n，0），问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说 明理由． 2016-2017 学年重庆十八中高二（上）期中数学试卷（文 科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个备选选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．点 A 在直线 l 上，l 在平面α外，用符号表示正确的是（ ） A．A ∈ l，l ∉ α B．A ∈ l，l ⊄ αC．A ⊂ l，l ⊄ α D．A ⊂ l，l ∈ α 【考点】平面的基本性质及推论；平面的概念、画法及表示． 【分析】利用点线面的关系，用符号表示即可． 【解答】解：∵点 A 在直线上 l，直线 l 在平面α外， ∴A ∈ l，l ⊄ α． 故选 B． 2．直线经过点 A（﹣2，0），B（﹣5，3），则直线的倾斜角（ ） A．45° B．135° C．﹣45° D．﹣135° 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由两点求斜率求出过 A、B 两点的直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率，结合 倾斜角的范围求解直线的倾斜角． 【解答】解：设过 A、B 的直线的斜率为 k， 则 ． 再设该直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）， 由 tanα=﹣1，得α=135°． 故选 B． 3．设 l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l⊥α，l⊥β，则α∥β C．若 l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平 面之间的位置关系． 【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断 A； 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断 B； 根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断 C； 根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断 D． 【解答】解：若 l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与 l 平行，故 A 错误； 若 l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得 B 正确； 若 l⊥α，l∥β，则存在直线 m ⊂ β，使 l∥m，则 m⊥α，故此时α⊥β，故 C 错误； 若α⊥β，l∥α，则 l 与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故 D 错误； 故选 B 4．直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上的截距为﹣3，而且它的倾斜角是直线 x﹣y=3 倾斜角的 2 倍，则（ ） A． B． C． D． 【考点】直线的倾斜角；直线的截距式方程． 【分析】对于直线 mx+ny+3=0，令 x=0 求出 y 的值，即为直线在 y 轴上的截距，根据截距 为﹣3 求出 n 的值，再由已知直线的斜率求出倾斜角，确定出所求直线的倾斜角，求出所求 直线的斜率，即可求出 m 的值． 【解答】解：对于直线 mx+ny+3=0，令 x=0，得到 y=﹣ ，即﹣ =﹣3， 解得：n=1， ∵ x﹣y﹣3 =0 的斜率为 60°， ∴直线 mx+ny+3=0 的倾斜角为 120°，即斜率为﹣ ， ∴﹣ =﹣m=﹣ ，即 m= ． 故选 D 5．已知直线 l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若 l1∥l2，则 a 的值为（ ） A．﹣ B．6 C．0 D．0 或﹣ 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】根据两直线平行的条件可知，3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．从而可求出 a 的值． 【解答】解：∵l1∥l2， ∴3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0． 即 6a2+a=0． 解得，a=0 或 a= ． 故选：D． 6．直线 l1：y=x+a 和 l2：y=x+b 将单位圆 C：x2+y2=1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2= （ ） A．1 B．2 C． D．4 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的 ，即 = =cos45°，由此求得 a2+b2 的值． 【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的 ， 即 = =cos45°= ，∴a2+b2=2， 故选：B． 7．已知侧棱长为 2a 的正三棱锥（底面为等边三角形）其底面周长为 9a，则棱锥的高为 （ ） A．a B．2a C． a D． a 【考点】棱锥的结构特征． 【分析】根据正三棱锥的结构特征，先求出底面中心到顶点的距离，再利用测棱长求高． 【解答】解：如图示： ∵正三棱锥底面周长为 9a，∴底面边长为 3a， ∵正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心 O， ∴OA= AD= ×3a× = a， 在 Rt△POA 中，高 PO= = =a， 故选：A． 8．已知：平面α⊥平面β，α∩β=l，在 l 上取线段 AB=4，AC、BD 分别在平面α和平面β内， 且 AC⊥AB，DB⊥AB，AC=3，BD=12，则 CD 的长度（ ） A．13 B． C．12 D．15 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】如图所示，连接 BC．由 DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB，可得 BD⊥平面α， BD⊥BC，又 AC⊥AB，利用勾股定理即可得出． 【解答】解：如图所示，连接 BC． ∵DB⊥AB，平面α⊥平面β，α∩β=l=AB， ∴BD⊥平面α，BC ⊂ 平面α，∴BD⊥BC， 又 AC⊥AB， ∴CD2=BD2+BC2=BD2+AC2+BC2 =122+32+42=132， ∴CD=13， 故选：A． 9．直线 y=kx+1 与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 相交于 A，B，两点，若|AB|≥ ，则 k 的取 值范围（ ） A．[0，1] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1] 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于 d 时，通过|AB|≥ ，解此不等式求出 k 的取值范围． 【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 则圆心（1，1），半径为 1， 设圆心（1，1）到直线 y=kx+1 的距离为 d，由弦长公式得，|AB|=2 ≥ ，故 d2 ， 即 ，化简得 （k﹣1）（k+1）≤0，∴﹣1≤k≤1， 故选：D． 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．7 B．7 C．7 D．8 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部 分，结合图中数据即可求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为 2 的正方体，去掉两个三棱锥剩余 的部分， 如图所示； 所以该几何体的体积为 V=V 正方体﹣ ﹣ =23﹣ × ×12×2﹣ × ×1×2×2 =7． 故选：A． 11．设点 A（﹣2，3），B（3，2），若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点，则 a 的取值范围 是（ ） A．（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞） B．（﹣ ， ） C．[﹣ ， ] D．（﹣∞，﹣ ]∪[ ， +∞） 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】直线 ax+y+2=0 过定点（0，﹣2），直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点转化为过定 点（0，﹣2）的直线与线段 AB 无公共点，作出图象，由图求解即可． 【解答】解：直线 ax+y+2=0 恒过点 M（0，﹣2）， 且斜率为﹣a， ∵kMA= =﹣ ， kMB= = ， 由图可知：﹣a＞﹣ 且﹣a＜ ， ∴a ∈ （﹣ ， ）， 故选 B． 12．已知圆 O：x2+y2=16 和点 M（1，2 ），过点 M 的圆的两条弦 AC，BD 互相垂直，则 四边形 ABCD 面积的最大值（ ） A．4 B． C．23 D．25 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】连接 OA、OD 作 OE⊥AC OF⊥BD 垂足分别为 E、F，推导出四边形 OEPF 为矩形， 由 OA=OC=4，OM=3，求出 AC2+BD2=92，由任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角 线乘积的 ，求出当 AC=BD 时，四边形 ABCD 的面积取最大值． 【解答】解：如图，连接 OA、OD 作 OE⊥AC OF⊥BD 垂足分别为 E、F ∵AC⊥BD ∴四边形 OEPF 为矩形 已知 OA=OC=4，OM=3， 设 OE 为 x，则 OF=EP= = ， ∴AC=2AE=2 =2 ， BD=2DF=2 =2 ， ∴AC2+BD2=92， 由此可知 AC 与 BD 两线段的平方和为定值， 又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的 ， 当 AC=BD= 时 四边形 ABCD 的面积最大值 =23． 故选：B． 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案分别填写在答题卡相应位置） 13．经过点（﹣2，3），且斜率为 2 的直线方程的一般式为 2x﹣y+7=0 ． 【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程． 【分析】由直线的点斜式方程能够求出经过点（﹣2，3），且斜率为 2 的直线方程． 【解答】解：由直线的点斜式方程得： 经过点（﹣2，3），且斜率为 2 的直线方程为 y﹣3=2（x+2）， 整理得 2x﹣y+7=0， 故答案为：2x﹣y+7=0． 14．不论 a 为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 恒过定点 （﹣2，1） ． 【考点】恒过定点的直线． 【分析】由直线系的知识化方程为（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程组 可得答案． 【解答】解：直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 可化为（x+2y）a+3x﹣y+7=0， 由交点直线系可知上述直线过直线 x+2y=0 和 3x﹣y+7=0 的交点， 解方程组 可得 ∴不论 a 为何实数，直线（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0 恒过定点（﹣2，1） 故答案为：（﹣2，1） 15．在平面直角坐标系 xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线 mx﹣y﹣2m﹣1=0（m ∈ R） 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 （x﹣1）2+y2=2 ． 【考点】圆的标准方程；圆的切线方程． 【分析】求出圆心到直线的距离 d 的最大值，即可求出所求圆的标准方程． 【解答】解：圆心到直线的距离 d= = ≤ ， ∴m=1 时，圆的半径最大为 ， ∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2． 故答案为：（x﹣1）2+y2=2． 16．已知三棱锥 S﹣ABC 所在顶点都在球 O 的球面上，且 SC⊥平面 ABC，若 SC=AB=AC=1， ∠BAC=120°，则球 O 的表面积为 5π ． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】求出 BC，可得△ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求 出三棱锥的外接球表面积． 【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°， ∴BC= = ， ∴三角形 ABC 的外接圆直径 2r= =2， ∴r=1， ∵SC⊥面 ABC，SC=1，三角形 OSC 为等腰三角形， ∴该三棱锥的外接球的半径 R= = ， ∴该三棱锥的外接球的表面积为 S=4πR2=4π×（ ）2=5π． 故答案为：5π． 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17．如图，在四棱锥 S﹣ABCD 中，底面四边形 ABCD 平行四边形，AD⊥平面 SAB． （1）若 SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥平面 ABCD （2）若点 E 是 SB 的中点，求证：SD∥平面 ACE． 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）由线面垂直的性质可证 SA⊥AD，利用已知及勾股定理可证 SA⊥AB，即可证 明 SA⊥平面 ABCD， （2）连接 BD，设 AC∩BD=O，连接 OE，可得 BO=OD，BE=ES，可证 SD∥OE，即可证 明 SD∥平面 ACE． 【解答】证明：（1）∵AD⊥平面 SAB，SA ⊂ 平面 SAB， ∴SA⊥AD， ∵SA=3，AB=4，SB=5， ∴SA2+AB2=SB2，即 SA⊥AB，又 AB∩AD=A， ∴SA⊥平面 ABCD． （2）连接 BD，设 AC∩BD=O，连接 OE， ∵BO=OD，BE=ES， ∴SD∥OE，又 SD ⊄ 平面 ACE，OE ⊂ 平面 ACE， ∴SD∥平面 ACE． 18．如图，在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x﹣2y+1=0，∠A 的平分线所在的 直线方程为 y=0，若点 B 的坐标为（1，2），求点 A 和点 C 的坐标． 【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】根据三角形的性质解 A 点，再解出 AC 的方程，进而求出 BC 方程，解出 C 点坐 标．逐步解答． 【解答】解：点 A 为 y=0 与 x﹣2y+1=0 两直线的交点， ∴点 A 的坐标为（﹣1，0）． ∴kAB= =1． 又∵∠A 的平分线所在直线的方程是 y=0， ∴kAC=﹣1． ∴直线 AC 的方程是 y=﹣x﹣1． 而 BC 与 x﹣2y+1=0 垂直，∴kBC=﹣2． ∴直线 BC 的方程是 y﹣2=﹣2（x﹣1）． 由 y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4， 解得 C（5，﹣6）． ∴点 A 和点 C 的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6） 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD 垂直于底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DC ∥AB，∠BAD=90°，且 AB=2AD=2DC=2PD=4，E 为 PA 的中点． （1）若正视方向与 AD 平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积； （2）证明：平面 CDE⊥平面 PAB． 【考点】平面与平面垂直的判定；简单空间图形的三视图． 【分析】（1）沿 AD 方向看到的面为平面 PAB 在平面 PCD 上的投影，从而可得主视图； （2）先证明 AB⊥平面 PAD 得出 AB⊥DE，再证明 DE⊥PA 可得 DE⊥平面 PAB，故而平 面 CDE⊥平面 PAB． 【解答】解（1）正视图如下： 主视图面积 S= =4cm2． （2）∵PD⊥底面 ABCD，AB ⊂ 平面 ABCD， ∴PD⊥AB， ∵AB⊥AD，PD ⊂ 平面 PAD，AD ⊂ 平面 PAD，PD∩AD=D， ∴AB⊥平面 PAD，又 DE ⊂ 平面 PAD， ∴DE⊥AB， ∵E 是 PA 的中点，AD=PD， ∴DE⊥PA， 又 AB ⊂ 平面 PAB，PA ⊂ 平面 PAB，PA∩AB=A， ∴DE⊥平面 PAB， 又 DE ⊂ 平面 CDE， ∴平面 CDE⊥平面 PAB． 20．如图，已知圆 C 的方程为：x2+y2+x﹣6y+m=0，直线 l 的方程为：x+2y﹣3=0． （1）求 m 的取值范围； （2）若圆与直线 l 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数 m 的值． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程： ，若为圆，须有 ，解出即可； （2）设点 P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意得 OP、OQ 所在直线互相垂直，即 kOP•kOQ= ﹣1，亦即 x1x2+y1y2=0，根据 P、Q 在直线 l 上可变为关于 y1、y2 的表达式，联立直线方程、 圆的方程，消掉 x 后得关于 y 的二次方程，将韦达定理代入上述表达式可得 m 的方程，解 出即可； 【解答】解：（1）将圆的方程化为标准方程为： ， 依题意得： ，即 m＜ ， 故 m 的取值范围为（﹣∞， ）； （2）设点 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由题意得：OP、OQ 所在直线互相垂直，则 kOP•kOQ=﹣1，即 ， 所以 x1x2+y1y2=0， 又因为 x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2， 所以（3﹣2y1）（3﹣2y2）+y1y2=0，即 5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①， 将直线 l 的方程：x=3﹣2y 代入圆的方程得：5y2﹣20y+12+m=0， 所以 y1+y2=4， ， 代入①式得： ，解得 m=3， 故实数 m 的值为 3． 21．如图在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是等腰梯形，且 PA⊥平面 ABCD， AB=AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= 平行四边形 T，Q，M，N 的四个顶点分别在棱 PC、 PA、AB、BC 的中点． （1）求证：四边形 TQMN 是矩形； （2）求四棱锥 C﹣TQMN 的体积． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）先利用中位线定理证明四边形为平行四边形，再证明 AC⊥平面 PAB，得出 MN⊥MQ，故而得出结论； （2）先求出三棱锥 T﹣CMN 的体积，则 VC﹣TQMN=2VC﹣TMN=2VT﹣CMN． 【解答】证明：（1）连接 AC， ∵Q，T，M，N 分别是 PA，PC，AB，BC 的中点， ∴QT AC，MN AC， ∴QT MN， ∴四边形 TQMN 是平行四边形， ∵PA⊥平面 ABCD，AC ⊂ 平面 ABCD， ∴PA⊥AC， ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=AD=CD=1，∠BAD=120°， ∴AC= ，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2， ∴AB⊥AC，又 PA ⊂ 平面 PAB，AB ⊂ 平面 PAB，PA∩AB=A， ∴AC⊥平面 PAB，∵MQ ⊂ 平面 PAB， ∴AC⊥MQ，又 MN∥AC， ∴MN⊥MQ， ∴四边形 TQMN 是矩形． （2）∵PA= ，T 为 PC 的中点， ∴T 到平面 ABCD 的距离 h= = ， ∵CN= =1，MN= AC= ，∠ABC=60°， ∴∠MNC=150°， ∴VC﹣TQMN=2VC﹣TMN=2VT﹣CMN= S△CMN•h= × ×1× ×sin150°× = ． 22．平面直角坐标系 xoy 中，直线 x﹣y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 （1）求圆 O 的方程； （2）若直线 l 与圆 O 切于第一象限，且与坐标轴交于 D，E，当 DE 长最小时，求直线 l 的 方程； （3）设 M，P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP、NP 分别交 于 x 轴于点（m，0）和（n，0），问 mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说 明理由． 【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质． 【分析】（1）求出 O 点到直线 x﹣y+1=0 的距离，进而可求圆 O 的半径，即可得到圆 O 的 方程； （2）设直线 l 的方程，利用直线 l 与圆 O 相切，及基本不等式，可求 DE 长最小时，直线 l 的方程； （3）设 M（x1，y1），P（x2，y2），则 N（x1，﹣y1）， ， ，求出 直线 MP、NP 分别与 x 轴的交点，进而可求 mn 的值． 【解答】解：（1）因为 O 点到直线 x﹣y+1=0 的距离为 ， 所以圆 O 的半径为 ， 故圆 O 的方程为 x2+y2=2． （2）设直线 l 的方程为 ，即 bx+ay﹣ab=0， 由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ， ， 当且仅当 a=b=2 时取等号，此时直线 l 的方程为 x+y﹣2=0． （3）设 M（x1，y1），P（x2，y2），则 N（x1，﹣y1）， ， ， 直线 MP 与 x 轴交点 ， ， 直线 NP 与 x 轴交点 ， ， = = =2， 故 mn 为定值 2．