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- 2021-06-21 发布
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小题考法专训(六) 直线与圆
A级——保分小题落实练
一、选择题
1.已知直线l1:x+2ay-1=0,l2:(a+1)x-ay=0,若l1∥l2,则实数a的值为( )
A.- B.0
C.-或0 D.2
解析:选C 由l1∥l2得1×(-a)=2a(a+1),即2a2+3a=0,解得a=0或a=-.经检验,当a=0或a=-时均有l1∥l2,故选C.
2.直线ax+y+3a-1=0恒过定点M,则直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0 B.2x-3y-12=0
C.2x-3y+12=0 D.2x+3y+12=0
解析:选D 由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令可得x=-3,y=1,∴M(-3,1),M不在直线2x+3y-6=0上,设直线2x+3y-6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),则=,解得c=12或c=-6(舍去),∴所求方程为2x+3y+12=0,故选D.
3.(2019·开封定位考试)已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析:选D 圆(x-2)2+y2=9的圆心为(2,0),半径为3,所以过点M的最长弦的长为6,最短弦的长为2=4,所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10,故选D.
4.已知圆(x-1)2+y2=1被直线x-y=0分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶5
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解析:选A (x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1.圆心到直线的距离d==,所以较短弧所对的圆心角为,较长弧所对的圆心角为,故两弧长之比为1∶2,故选A.
5.已知直线3x+ay=0(a>0)被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则a的值为( )
A. B.
C.2 D.2
解析:选B 由已知条件可知,圆的半径为2,又直线被圆所截得的弦长为2,故圆心到直线的距离为,即=,得a=.
6.已知圆(x-a)2+y2=1与直线y=x相切于第三象限,则a的值是( )
A. B.-
C.± D.-2
解析:选B 依题意得,圆心(a,0)到直线x-y=0的距离等于半径,即有=1,|a|=.又切点位于第三象限,结合图形(图略)可知,a=-,故选B.
7.已知圆C过点A(2,4),B(4,2),且圆心C在直线x+y=4上,若直线x+2y-t=0与圆C相切,则t的值为( )
A.-6±2 B.6±2
C.2±6 D.6±4
解析:选B 因为圆C过点A(2,4),B(4,2),所以圆心C在线段AB的垂直平分线y=x上,又圆心C在直线x+y=4上,联立解得x=y=2,即圆心C(2,2),圆C的半径r==2.又直线x+2y-t=0与圆C相切,所以=2,解得t=6±2.
8.(2019·石家庄模拟)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等,且圆C过点(-1,0)和(2,3),则圆C的半径为( )
A.8 B.2
C.5 D.
解析:选D 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),∵圆C经过点(-1,0)和(2,3),
∴∴a+b-2=0.①
又圆C截两坐标轴所得弦长相等,∴|a|=|b|.②
由①②得a=b=1,∴圆C的半径为,故选D.
9.若点P(1,1)为圆C:x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0
解析:选D 由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0),又P(1,1),所以kPC==-.易知
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MN⊥PC,所以kMN·kPC=-1,所以kMN=2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选D.
10.已知直线y=ax与圆C:x2+y2-6y+6=0相交于A,B两点,C为圆心.若△ABC为等边三角形,则a的值为( )
A.1 B.±1
C. D.±
解析:选D 圆的方程可以化为x2+(y-3)2=3,圆心为C(0,3),半径为,根据△ABC为等边三角形可知AB=AC=BC=,所以圆心C(0,3)到直线y=ax的距离d=×=,所以=⇒2=⇒a=±.
11.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选B 圆(x-3)2+(y-3)2=9的圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线3x+4y-11=0的距离d==2,∴圆上到直线3x+4y-11=0的距离为2的点有2个.故选B.
12.已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,则当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为( )
A.x-y-3=0或7x-y-15=0
B.x+y+3=0或7x+y-15=0
C.x+y-3=0或7x-y+15=0
D.x+y-3=0或7x+y-15=0
解析:选D 当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P(2,),Q(2,-),所以S△OPQ=×2×2=2.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=,所以|PQ|=2,S△OPQ=×|PQ|×d=×2×d= ≤=,当且仅当9-d2=d2,即d2=时,S△OPQ取得最大值,因为2<,所以S△OPQ的最大值为,此时=,解得k=-1或k=-7,此时直线l的方程为x+y-3=0或7x+y-15=0,故选D.
二、填空题
13.已知直线l1:y=2x,则过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________.
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解析:由题意,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆的圆心坐标为(-1,2),所以所求直线的方程为y-2=-(x+1),即x+2y-3=0.
答案:x+2y-3=0
14.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C过点A(0,-8),且与圆x2+y2-6x-6y=0相切于原点,则圆C的方程为______________________,圆C被x轴截得的弦长为________.
解析:将已知圆化为标准方程得(x-3)2+(y-3)2=18,圆心为(3,3),半径为3.由于两个圆相切于原点,连心线过切点,故圆C的圆心在直线y=x上.由于圆C过点(0,0),(0,-8),所以圆心又在直线y=-4上.联立y=x和y=-4,得圆心C的坐标(-4,-4).又因为点(-4,-4)到原点的距离为4,所以圆C的方程为(x+4)2+(y+4)2=32,即x2+y2+8x+8y=0.圆心C到x轴距离为4,则圆C被x轴截得的弦长为2×=8.
答案:x2+y2+8x+8y=0 8
15.已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为_______.
解析:如图所示,连接CM,CP.由题意知圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x+y+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|的值最小,只需|PO|的值最小即可.当PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即PO所在直线的方程为2x+y=0时,|PM|的值最小,此时点P为两直线的交点,则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.
答案:
16.(2019·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称,则k的最小值为________.
解析:由圆C过点(0,1),(0,3)知,圆心的纵坐标为=2,又圆C与x轴正半轴相切,所以圆的半径为2,则圆心的横坐标x==,即圆心为(,2),所以圆C的方程为(x-)2+(y-2)2=4.因为k>0,所以k取最小值时,直线y=-kx与圆相切,可得2=,即k2-4k=0,解得k=4(k=0舍去).
答案:4
B级——拔高小题提能练
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1.[多选题]若实数x,y满足x2+y2+2x=0,则下列关于的判断正确的是( )
A.的最大值为 B.的最小值为-
C.的最大值为 D.的最小值为-
解析:选CD 由x2+y2+2x=0得(x+1)2+y2=1,表示以(-1,0)为圆心、1为半径的圆,表示圆上的点(x,y)与点(1,0)连线的斜率,易知,最大值为,最小值为-.
2.(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是x轴正半轴和y=x(x>0)图象上的两个动点,且|MN|=,则|OM|2+|ON|2的最大值是( )
A.4-2 B.
C.4 D.4+2
解析:选D 直线y=x的倾斜角为,所以由题意知∠MON=,则在△MON中,|MN|2=|OM|2+|ON|2-2|OM|·|ON|cos∠MON,即2=|OM|2+|ON|2-|OM|·|ON|≥|OM|2+|ON|2-·,整理,得|OM|2+|ON|2≤=4+2,当且仅当|OM|=|ON|=时,等号成立,即|OM|2+|ON|2的最大值为4+2,故选D.
3.已知A(-,0),B(,0),P为圆x2+y2=1上的动点,=,过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M,若点M的横坐标为x,则|x|的取值范围是( )
A.|x|≥1 B.|x|>1
C.|x|≥2 D.|x|≥
解析:选A 由题意,设P(cos θ,sin θ),则Q(2cos θ+,2sin θ),所以kAP=,所以直线PM的方程为(cos θ+)x+ysin θ-cos θ-1=0,直线BQ的方程为xsin θ-ycos θ-sin θ=0,联立解得x==+,因为1-≤1+cos θ<0或0<1+cos θ≤1+,所以x≤-1或x≥1,即|x|≥1,故选A.
4.已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x+m(m-1)y=2垂直,则m的值为________;动直线l:mx-y=1被圆C:x2-2x+y2-8=0截得的最短弦长为________.
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解析:因为直线mx-y=1与直线x+m(m-1)y=2垂直,所以m×1+(-1)×m(m-1)=0,解得m=0或m=2.
动直线l:mx-y=1过定点(0,-1),圆C:x2-2x+y2-8=0化为(x-1)2+y2=9,圆心(1,0)到直线mx-y-1=0的距离的最大值为=,所以动直线l被圆C截得的最短弦长为2=2.
答案:0或2 2
5.已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是____________.
解析:因为m>0,n>0,直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,
所以圆心C(1,1)到直线的距离d==1,
即|m+n|=,两边平方并整理得m+n+1=mn≤2,
即(m+n)2-4(m+n)-4≥0,
解得m+n≥2+2,
所以m+n的取值范围为[2+2,+∞).
答案:[2+2,+∞)
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