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- 2021-06-21 发布
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§1 定积分的概念
1.1 定积分的背景——面积和路程问题
[学习目标]
1.了解定积分的实际背景.
2.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法.
3.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
[知识链接]
求曲边梯形面积和变速直线运动路程采用了怎样的方法?
答 在解决这两类问题时,我们通过“四步曲”来解决,即分割、近似代替、求和、取极限,并且都归结为求一个特定和式的极限,同时注意分割越细越准确,并且在近似代替过程中我们可以取区间的左端点值,也可以取右端点值.
[预习导引]
1.曲边梯形的定义
如图所示,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图).
2.求变速直线运动的位移(路程)
如果物体做变速直线运动,速度函数v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取近似值的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
要点一 求曲边梯形的面积
例1 估计直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x3所围成的曲边梯形的面积.
解 将区间[0,1] 5等分,如图
如图(1)中,所有小矩形的面积之和(记为S1),显然为过剩估计值,
S1=(0.23+0.43+0.63+0.83+13)×0.2=0.36,
如图(2)中,所有小矩形的面积之和(记为s1),显然为不足估计值,
s1=(03+0.23+0.43+0.63+0.83)×0.2=0.16,
因此,该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间.
规律方法 通过求曲边梯形面积的四个步骤:分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想.
跟踪演练1
图中阴影部分是由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形.试估计这个曲边梯形的面积S,并求出估计误差.
解 首先,将区间[0,1] 5等分,称S1为S的过剩估计值,有S1=(0.22+0.42+0.62+0.82+12)×0.2=0.44.
s1为S的不足估计值,有s1=(0+0.22+0.42+0.62+0.82)×0.2=0.24.
过剩估计值S1与不足估计值s1之差为S1-s1=0.2.
要点二 求变速运动的路程
例2 汽车以速度v作匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程s=vt,如果汽车作变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=-t2+2(单位:km/h),那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?
解 将行驶时间1 h平均分成10份.
分别用v(0)、v(0.1)、v(0.2)、v(0.3)、v(0.4)、v(0.5)、v(0.6)、v(0.7)、v(0.8)、v(0.9)近似替代汽车在0~0.1 h,0.1~0.2 h,0.2~0.3 h,0.3~0.4 h,0.4~0.5 h,0.5~0.6 h,0.6~0.7 h,0.7~0.8 h,0.8~0.9 h,0.9~1 h内的平均速度.
求出汽车在1 h时行驶的路程的过剩估计值.
S1=[v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(0.4)+v(0.5)+v(0.6)+v(0.7)+v(0.8)+v(0.9)]×0.1
=1.715(km),
分别用v(0.1),v(0.2),v(0.3),v(0.4),v(0.5),v(0.6),v(0.7),v(0.8),v(0.9),v(1)替代以上时间段的平均速度.
求出汽车在1 h时行驶的路程的不足估计值.
s1=[v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(0.4)+v(0.5)+v(0.6)+v(0.7)+v(0.8)+v(0.9)+v(1)]×0.1
=1.615(km).
无论用S1还是s1估计汽车行驶的路程s误差都不超过1.715-1.615=0.1(km).
规律方法 (1)一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数v=v(t),则我们可用分割法求出路程的过剩估计值与不足估计值.
(2)当分割成的时间区间长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值就趋于汽车的行驶路程.
(3)变速运动的路程、变力做功等问题的估计值计算,都可以转化为估计曲边梯形的面积问题,分别求其过剩估计值与不足估计值即可.
跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上变速行驶,汽车在时刻t的速度为v(t)=
-t2+5(单位km/h).试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内的汽车行驶路程.
解 将区间[0,2]10等分,如图
S1=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72 (km),
s1=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2
=6.92(km),
∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km与7.72 km之间.
1.函数f(x)=x2在区间上( )
A.f(x)的值变化很小
B.f(x)的值变化很大
C.f(x)的值不变化
D.当n很大时,f(x)的值变化很小
答案 D
解析 当n很大,即Δx很小时,在区间上,可以认为f(x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数.
2.在“近似替代”中,函数f(x)在区间[xi,xi+1]上近似值等于( )
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi,xi+1])
D.以上答案均正确
答案 C
3.求由曲线y=x2与直线x=1,x=2,y=0所围成的平面图形面积时,把区间5等分,则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________.
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为,,,,,于是所求平面图形的面积近似等于=×=1.02.
4.在区间[0,8]上插入9个等分点,则第5个小区间是________.
答案
解析 第5个小区间的左端点×8=,右端点+=4,即.
变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积;求曲边梯形面积可分为四个步骤:分割、近似替代、求和、逼近.
一、基础达标
1.把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 区间[1,3]长度为2,故n等分后,每个小区间长度均为.
2.把区间[a,b] (a