数学理卷·2017届云南省师大附中高考适应性月考（八）（2017 13页

云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考（八）‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若全集、集合、集合及其关系用韦恩图表示如图所示，则图中阴影表示的集合为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.已知，则是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知函数在处取得最大值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.若二项展开式中的系数只有第6项最小，则展开式的常数项的值为（ ）‎ A．-252 B．-210 C. 210 D．10‎ ‎5.已知正方形的边长是，依次连接正方形的各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形的各边中点又得到一个新的正方形，按此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示，现有一只小虫从点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个新正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段，则这10条线段的长度的和是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知向量与的夹角为，且，，若且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若偶函数在上单调递减，，，，则满足（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.执行下边的语句，结果为（ ）‎ A．2,3 B．2,2 C. 2,1 D．1,2‎ ‎9.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2），刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等.如图（3）（4），祖暅利用八分之一正方体去掉八分之一牟合方盖后的几何体与长宽高皆为八分之一正方体的边长的倒四棱锥“等幂等积”‎ ‎，计算出牟合方盖的体积，据此可知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.如图是某组合体的三视图，则内部几何体的体积的最大值为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.两条抛物线，，联立方程消去项，得直线，称直线为两条抛物线和的根轴，若直线分别与抛物线，及其根轴交于三点，则（ ）‎ A． 2 B． C. D．‎ ‎12.定义在上的函数满足：①；②；③当 时，，若分别以函数的极值点和相应极值为横、纵坐标的点都在一条直线上，则的值为（ ）‎ A．1 B． 2 C. 1或2 D．2或3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知递增的等差数列中，，，则数列前10项的和为 ．‎ ‎14.下表所示为三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素及48000单位维生素的混合物100千克，所用的食物的质量分别为（千克），混合物的成本最少为 元．‎ ‎15.从双曲线的左焦点引圆的切线为，且交双曲线的右支于点，若点满足，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎16.已知函数，对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，米，从点发出的光线经水平放置于处的平面镜（大小忽略不计）反射后过点，已知米，米.‎ ‎（1）求光线的入射角（入射光线与法线的夹角）的大小；‎ ‎（2）求点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长.‎ ‎18. 如图，一个的矩形（），被截去一角（即），，，平面平面，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的大小的余弦值.‎ ‎19. 某地政府为了对房地产市场进行调控决策，统计部门对外来人口和当地人口进行了买房的心理预期调研，用简单随机抽样的方法抽取了110人进行统计，得到如下列联表（不全）：‎ 已知样本中外来人口数与当地人口数之比为3:8.‎ ‎（1）补全上述列联表；‎ ‎（2）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取6人，进一步统计外来人口的某项收入指标，若一个买房人的指标记为3，一个犹豫人的指标记为2，一个不买房人的指标记为1，现在从这6人中再随机选取3人，用表示这3人指标之和，求的分布列和数学期望.‎ ‎20. 已知圆经过变换后得曲线.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若为曲线上两点，为坐标原点，直线的斜率分别为且，求直线被圆截得弦长的最大值及此时直线的方程.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若有极值0，求实数，并确定该极值为极大值还是极小值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）对，，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CAACB 6-10: CBCBD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 100 14. 960 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）如图，由光的反射定律，，．‎ 在中，根据余弦定理，得 ‎．‎ 因为，所以，．‎ 即光线的入射角的大小为. ‎ ‎（Ⅱ）据（Ⅰ），在中，，‎ 所以（米），‎ ‎（米），‎ 即点相对于平面镜的垂直距离与水平距离的长分别为米、米．‎ ‎18. （Ⅰ）证明：因为，，‎ 所以，，‎ 所以截去的是等腰直角三角形．‎ 如图，过作，垂足为，连接，‎ 因为，所以，．‎ ‎，故是等腰直角三角形，所以，‎ 所以，即．‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，所以，而，‎ 所以平面，又平面，‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）解：如图4，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，．‎ 所以，，．‎ 设平面的法向量为，则 由得 所以平面的一个法向量为．‎ 设平面的法向量为，则 由得 所以平面的一个法向量为，‎ 所以，‎ 因为二面角为钝二面角，‎ 所以二面角的大小的余弦值为． ‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设外来人口中和当地人口中的犹豫人数分别为人，人，则 解得 ‎ 买房 不买房 犹豫 总计 ‎ 外来人口（单位：人）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎ 当地人口（单位：人）‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎ 总计 ‎25‎ ‎20‎ ‎65‎ ‎110‎ ‎（Ⅱ）从参与调研的外来人口中用分层抽样方法抽取的人中，买房1人，不买房2人，犹豫3人，所以的所有可能取值为， ‎ ‎，，‎ ‎，， ‎ 所以的分布列为 X ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ P 所以的数学期望是． ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）将代入得，‎ 化简得，‎ 即为曲线的方程． ‎ ‎（Ⅱ）设，，直线与圆：的交点为．‎ 当直线轴时，，‎ 由得或 此时可求得． ‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 联立消得，‎ ‎，，，‎ 所以， ‎ 由得，，‎ 此时． ‎ 圆：的圆心到直线的距离为，‎ 所以，‎ 得，‎ 所以当时，最大，最大值为，‎ 综上，直线被圆：截得弦长的最大值为，‎ 此时，直线的方程为． ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）．‎ ‎①若，， 在上单调递增，无极值，不符合题意；‎ ‎②若，令，得，‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增．‎ 所以，当时，取到极小值，，即．‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增．‎ 又，所以有唯一解． ‎ ‎（Ⅱ）据（Ⅰ），，当时，恒成立，‎ 即（）恒成立．‎ 令（），则，‎ 令（），则，‎ ‎，（当且仅当时取“=”）．‎ ‎①当时，，在单调递增，‎ 所以，即，‎ 即，所以在单调递增，‎ 所以，所以，‎ 所以，即恒成立．‎ ‎②当时，是增函数，，‎ 所以，故在单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以在单调递增，所以，‎ 所以，即恒成立．‎ ‎③当时，是增函数，，‎ 当时，，，‎ 所以，则，使得，‎ 当时，，在递减，‎ 此时，即，，‎ 所以在递减，，不符合题意．‎ 综上所述，的取值范围是． ‎ ‎22. 解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）曲线是圆心为半径为2的圆，‎ ‎∴射线的极坐标方程为 代入，可得．‎ 又，∴，‎ ‎∴． ‎ ‎23. 解：（Ⅰ）令 当时，由，得，‎ 当时，由，得，‎ ‎∴不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ），‎ 又∵，‎ ‎∴（当且仅当时取等），‎ ‎∴． ‎