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- 2021-06-21 发布
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高中数学人教A版选修1-2 同步练习
1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于复平面内的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选B.由z=z2-z1=1+2i-(2+i)=(1-2)+(2-1)i=-1+i,因此,复数z=z2-z1对应的点为(-1,1),在第二象限.
2.已知z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),若z1+z2为纯虚数,则有( )
A.a-c=0且b-d≠0 B.a-c=0且b+d≠0
C.a+c=0且b+d≠0 D.a+c≠0且b+d=0
解析:选C.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i为纯虚数,
∴a+c=0,b+d≠0.
3.当1<m<2时,复数2m+mi-(4+i)在复平面内对应的点位于第________象限.
解析:2m+mi-(4+i)=(2m-4)+(m-1)i.
∵1<m<2,∴2m-4<0,m-1>0,
故复数2m+mi-(4+i)在复平面内对应的点位于第二象限.
答案:二
4.已知复数z满足z+(1+2i)=10-3i,则z=________.
解析:z=(10-3i)-(1+2i)=9-5i.
答案:9-5i
[A级 基础达标]
1.已知z=11-20i,则1-2i-z等于( )
A.z-1 B.z+1
C.-10+18i D.10-18i
解析:选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)
=(1-11)+[-2-(-20)]i
=-10+18i,故选C.
2.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.1+i B.2+i
C.3 D.-2-i
解析:选D.∵z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,
∴∴
∴a+bi=-2-i.
3.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O 是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:选B.根据复数加(减)法的几何意义,知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.
4.计算(-1+2i)+(i-1)-|1+2i|=________.
解析:原式=-1+2i+i-1-=-2-+3i.
答案:-2-+3i
5.复平面内,若复数z=a2(1+i)-a(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是________.
解析:z=(a2-4a)+(a2-a-6)i.
∵复数z所对应的点在第二象限.
∴
解得3<a<4.
答案:(3,4)
6.计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2008+2009i)+(2009-2010i)+(-2010+2011i)+(2011-2012i).
解:原式=(1-2+3-4+…-2008+2009-2010+2011)+(-2+3-4+5+…+2009-2010+2011-2012)i
=(2011-1005)+(1005-2012)i=1006-1007i.
[B级 能力提升]
7.设z=3-4i,则复数z-|z|+(1-i)在复平面内的对应点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选C.∵z=3-4i,
∴z-|z|+(1-i)=3-4i-+1-i
=(3-5+1)+(-4-1)i=-1-5i.
若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:
选B.设z=x+yi(x,y∈R),则由|z+2-2i|=1得(x+2)2+(y-2)2=1,表示以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆,如图所示,则|z-2-2i|=表示圆上的点与定点(2,2)间的距离,数形结合得|z-2-2i|的最小值为3.
设f(z)=z-2i,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)=__________.
解析:∵f(z)=z-2i,
∴f(z1-z2)=z1-z2-2i
=(3+4i)-(-2-i)-2i
=(3+2)+(4+1-2)i
=5+3i.
答案:5+3i
在复平面内,A,B,C三点对应的复数为1,2+i,-1+2i.D为BC的中点.
(1)求向量AD对应的复数;
(2)求△ABC的面积.
解:(1)由条件知在复平面内B(2,1),C(-1,2).
则D(,),点D对应的复数是+i,
AD=OD-OA=(,)-(1,0)=(-,),
∴AD对应的复数为-+i.
(2)AB=OB-OA=(1,1),
|AB|=,
AC=OC-OA=(-2,2),
|AC|==2,
BC=OC-OB=(-3,1),
|BC|=,
∴|BC|2=|AC|2+|AB|2,
∴△ABC为直角三角形.
∴S△ABC=|AB|·|AC|
=·2=2.
(创新题)已知z1=cosθ+isinθ,z2=cosα+isinα(θ,α∈R),求|z1+z2|的取值范围.
解:法一:∵z1+z2=cosθ+isinθ+cosα+isinα
=(cosθ+cosα)+i(sinθ+sinα),
∴|z1+z2|2=(cosθ+cosα)2+(sinθ+sinα)2
=2+2(cosθcosα+sinθsinα)
=2+2cos(θ-α),
由于(2+2cos(θ-α))∈[0,4],
∴|z1+z2|∈[0,2].
法二:∵|z1=|z2|=1,
又||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|,
∴0≤|z1+z2|≤2,
即|z1+z2|∈[0,2].