专题28 基本不等式及其应用-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍 15页

‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解基本不等式的证明过程。‎ ‎2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 利用基本不等式求最值 例1、 (1)若x<，则y＝x＋的最大值为________。‎ ‎(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为________。‎ ‎(2)∵x≥0，y≥0，x2＋＝1，‎ ‎∴x＝＝ ‎≤×＝×＝，‎ 当且仅当x＝，y＝时，x取得最大值。‎ ‎【提分秘籍】‎ 利用基本不等式求最值的常用技巧 ‎(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。‎ ‎(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“‎1”‎的代换等。‎ ‎(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致。‎ 提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值是________。‎ 答案：7＋4 热点题型二 基本不等式的实际应用 例2、某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)。如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。已知2015年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。‎ ‎(1)将该厂家2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；‎ ‎(2)该厂家2015年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？‎ 解析：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，‎ ‎∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－，‎ 每件产品的销售价格为1.5×(元)，‎ ‎∴2015年的利润y＝1.5x×－8－16x－m ‎＝－＋29(m≥0)。‎ ‎(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，‎ ‎∴y≤－8＋29＝21，‎ 当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)。‎ 故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 利用基本不等式求解实际应用题的方法 ‎(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。‎ ‎(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 某化工企业2014年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)。‎ ‎(1)用x表示y；‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。‎ 热点题型三 基本不等式的综合应用 ‎ 例3．(1)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________。‎ ‎(2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．9 B．12‎ C．18 D．24‎ 解析：(1)因为点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，‎ 所以m＋n－2＝0，即＋＝1，‎ 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，‎ 当且仅当＝，即m2＝n2时取等号。‎ 所以＋的最小值为2。‎ ‎(2)因为a>0，b>0，不等式＋≥恒成立，所以m≤min。‎ 因为(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，‎ 当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12。‎ 故选B。‎ ‎【提分秘籍】‎ 基本不等式综合问题的解题策略 ‎(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解。‎ ‎(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。‎ ‎(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)‎ A．9 B．8‎ C．4 D．2‎ ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎2.【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式为 (*)，‎ 当时，(*)式即为， ，‎ 又（时取等号），‎ ‎（时取等号），‎ 所以，‎ 当时，(*)式为， ，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎1.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为 ‎（ ）‎ ‎（A） （B）6 （C）10 （D）17‎ ‎【答案】B ‎【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.‎ ‎2.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）‎ ‎（A）4 （B）9 （C）10 （D）12‎ ‎【答案】C ‎1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）‎ ‎（A）16 （B）18 （C）25 （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..‎ ‎2.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．‎ ‎ 3．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足‎4a2－2ab＋4b2－c＝0且使|‎2a＋b|最大时，－＋的最小值为________．‎ ‎4．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．‎ ‎【答案】2　【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.‎ ‎5．(2014·福建卷)要制作一个容积为‎4 m3‎，高为‎1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)‎ A．80元 B．120元 ‎ C．160元 D．240元 ‎【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.‎ ‎【答案】C ‎6．(2014·重庆卷)若log4(‎3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．‎ ‎【答案】7＋4 ‎5．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. ‎【答案】B　【解析】由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，‎ 解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.‎ 当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，‎ 令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．‎ 于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.‎ ‎ 6．(2013年高考山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)‎ A．0 B. C．2 D. ‎【解析】含三个参数x，y，z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．‎ z＝x2－3xy＋4y2(x，y，z∈R＋)，‎ ‎∴＝＝＋－3≥2 －3＝1.‎ 当且仅当＝，即x＝2y时“＝”成立，此时 z＝x2－3xy＋4y2＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，‎ ‎∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2y2＋4y＝－2 (y－1)2＋2.‎ ‎∴当y＝1时，x＋2y－z取最大值2.‎ ‎【答案】C ‎7．（2013·重庆卷）(－6≤a≤3)的最大值为(　　)‎ A．9 B. C．3 D. ‎【答案】B　【解析】因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有(　　)‎ A．最大值27 B．最小值27‎ C．最大值54 D．最小值54‎ 答案：D ‎2．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是(　　)‎ A．3＋2 B．3－2 C．4 D．2‎ 解析：因为函数y＝2aex＋b的图象过(0,1)点，所以‎2a＋b＝1，所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2 ‎，当且仅当＝，即b＝a时，取等号，所以＋的最小值是3＋2。‎ 答案：A ‎3．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．6‎ C．9 D．16‎ 解析：方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，‎ 所以＋≥2＝2×3＝6。‎ 方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，‎ 所以＋＝＝b＋‎9a－10＝(b＋‎9a)－10≥16－10＝6。‎ 方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，‎ 所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6。‎ 答案：B ‎4．设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)‎ A．3＋2 B．6‎ C．4 D．2 答案：A ‎5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，若存在两项am，an使得＝‎4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋‎2a5，‎ 可得a1q6＝a1q5＋‎2a1q4，所以q2－q－2＝0，‎ 解得q＝2或q＝－1(舍去)。‎ 因为＝‎4a1，所以qm＋n－2＝16，‎ 所以‎2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，‎ 所以＋＝(m＋n) ‎＝≥(5＋4)＝。‎ 当且仅当＝时，等号成立，‎ 故＋的最小值等于。‎ 答案：A ‎6．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．(－∞，6] D．[6，＋∞)‎ 答案：D ‎7．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为________。‎ 解析：由≤ 得＋≤ ‎＝ ＝2，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号。‎ 答案：2 ‎8．若不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________。‎ 解析：因为不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，所以16≤min。‎ 令f(x)＝(x＋y)(a>0)，‎ 则f(x)＝a＋4＋＋≥a＋4＋2＝a＋4＋4，‎ 当且仅当＝时取等号，‎ 所以a＋4＋4≥16，解得a≥4，‎ 因此正实数a的最小值为4。‎ 答案：4‎ ‎9．下列命题中正确的是________(填序号)。‎ ‎①y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；‎ ‎②y＝sin2x＋的最小值是4；‎ ‎③y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4。‎ 答案：①‎ ‎10．若a>0，b>0，且＋＝。‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值。‎ ‎(2)是否存在a，b，使得‎2a＋3b＝6？并说明理由。‎ 解析：(1)因为a＞0，b＞0，且＋＝，‎ 所以＝＋≥2，‎ 所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号。‎ 因为a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，‎ 所以a3＋b3的最小值为4。‎ ‎(2)由(1)可知，‎2a＋3b≥2＝2≥4＞6，‎ 故不存在a，b，使得‎2a＋3b＝6成立。‎ ‎11．已知f(x)＝。‎ ‎(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；‎ ‎(2)若对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围。‎ 解析：(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0，‎ 由已知其解集为{x|x＜－3或x＞－2}，得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以－2－3＝，即k＝－。‎ ‎(2)∵x＞0，f(x)＝＝≤，‎ 由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故实数t的取值范围是。‎ ‎12．为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。‎ ‎(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？‎ ‎(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值 (精确到0.1，参考数据：取1.4)。‎ ‎(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，‎ 浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4。‎ 因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，‎ 所以4∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4。‎ 令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6。‎ ‎ ‎ ‎ ‎