高中数学选修2-2课件1_阶段复习课 69页

阶段复习课 第 一 章 【 核心解读 】 1. 导数几何意义 2. 导数计算公式 (1) 若 f(x)=c(c 为常数 ) ，则 f′(x)=0. (2) 若 f(x)=x α (α∈Q * ) ，则 f′(x)=α·x α-1 . (3) 若 f(x)=sin x ，则 f′(x)=cos x. (4) 若 f(x)=cos x ，则 f′(x)=-sin x. (5) 若 f(x)=a x ，则 f′(x)=a x ln a. (6) 若 f(x)=e x ，则 f′(x)=e x . (7) 若 f(x)=log a x ，则 f′(x)= (8) 若 f(x)=ln x ，则 f′(x)= 3. 导数运算法则 条件： f(x) ， g(x) 是可导的 . 结论： (1) ［ f(x)±g(x) ］ ′ =f′(x)±g′(x). (2) ［ f(x)·g(x) ］ ′ =f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3) 4. 函数的单调性与导函数值的关系 若函数 f(x) 在 (a ， b) 内可导，则 f′(x) 在 (a ， b) 任意子区间内部不恒等于 0. f′(x) ＞ 0⇒ 函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递增； f′(x) ＜ 0⇒ 函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递减 . 反之，函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递增⇒ f′(x)≥0 ；函数 f(x) 在 (a ， b) 上单调递减⇒ f′(x)≤0. 即 f′(x) ＞ 0(f′(x) ＜ 0) 是 f(x) 为增 ( 减 ) 函数的充分不必要条件 . 5. 定积分的性质 (1) kf(x)dx=k f(x)dx(k 为常数 ). (2) ［ f 1 (x)±f 2 (x) ］ dx = f 1 (x)dx± f 2 (x)dx. (3) f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx( 其中 a ＜ c ＜ b). 6. 微积分基本定理 如果 f(x) 是区间［ a ， b ］上的连续函数，并且 F′(x)=f(x) ，那么 f(x)dx=F(b)-F(a). 7. 定积分与平面图形面积的关系 已知函数 f(x) 在［ a ， b ］上是连续函数，由直线 y=0 ， x=a ， x=b 与曲线 y=f(x) 围成的曲边梯形的面积为 S ， f(x)≥0 ， S= f(x)dx ； f(x) ＜ 0 ， S=- f(x)dx. 主题一 导数的概念与几何意义 【 典例 1】 (1)(2013 · 广东高考 ) 若曲线 y=kx+lnx 在点 (1 ， k) 处的切线平行于 x 轴，则 k=__________. (2) 已知函数 y=x 3 -x ，求函数图象 ①在点 (1 ， 0) 处的切线方程 . ② 过点 (1 ， 0) 的切线方程 . 【 自主解答 】 (1) 对 y=kx+ln x 求导得 y′=k+ ，而 x 轴的斜率为 0 ，所以在点 (1 ， k) 处切线的斜率为 y′| x=1 =k+1=0 ，解得 k=-1. 答案： -1 (2)① 函数 y=x 3 -x 的图象在点 (1 ， 0) 处的切线斜率为 k=y′| x=1 =(3x 2 -1)| x=1 =2 ， 所以函数的图象在点 (1 ， 0) 处的切线方程为 y=2x-2. ② 设函数 y=x 3 -x 图象上切点的坐标为 P(x 0 ， x 0 3 -x 0 ) ， 则切线斜率为 切线方程为 y-(x 0 3 -x 0 )=(3x 0 2 -1)(x-x 0 ) ， 由于切线经过点 (1 ， 0) ， 所以 0-(x 0 3 -x 0 )=(3x 0 2 -1)(1-x 0 ) ， 整理，得 2x 0 3 -3x 0 2 +1=0 ，即 2(x 0 3 -1)-3(x 0 2 -1)=0 ， 所以 2(x 0 -1)(x 0 2 +x 0 +1)-3(x 0 +1)(x 0 -1)=0 ， 所以 (x 0 -1) 2 (2x 0 +1)=0 ， 解得 x 0 =1 或 x 0 = 所以 P(1 ， 0) 或 P( ) ， 所以切线方程为 y=2x-2 或 【 延伸探究 】 在题 (2) 中，与直线 y=-x+1 平行的切线是否存在？若存在，求出切线方程 . 【 解析 】 假设存在，则切线斜率为 k=-1 ，设切点为 (x 0 ， y 0 ) ， 由 y′=3x 0 2 -1=-1 ，解得 x 0 =0 ， 故切点为 (0 ， 0) ，所以切线方程为 y=-x ，所以切线存在 . 【 方法技巧 】 求曲线的切线的方法 求曲线的切线分两种情况 (1) 求某点处的切线，该点在曲线上，且此点是切点，切线斜率 (2) 求过某点 P 的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点 (x 0 ， y 0 ) ，求出切线斜率 利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程 . 【 补偿训练 】 (2013· 北京高考 ) 设 l 为曲线 C ： 在点 (1 ， 0) 处的切线 . (1) 求 l 的方程 . (2) 证明：除切点 (1 ， 0) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方 . 【 解题指南 】 (1) 先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程 . (2) 转化为直线 l 上点的纵坐标大于曲线 C 上点的纵坐标，再转化为函数，用极小值解决 . 【 解析 】 (1)y′= ，于是 y′| x=1 =1 ，因此 l 的方程为 y=x-1. (2) 只需要证明 ∀ x>0 且 x≠1 时， x-1> 设 f(x)=x(x-1)-ln x ， x>0 ，则 f′(x)=2x-1- = 当 x∈(0 ， 1) 时， f′(x)<0 ；当 x∈(1 ， +∞) 时， f′(x)>0. 所以 f(x) 在 (0 ， 1) 上单调递减，在 (1 ， +∞) 上单调递增 . 所以 f(x) 在 x=1 处取得极小值，也是最小值 . 所以 f(x)>f(1)=0(x≠1). 因此，除切点 (1 ， 0) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方 . 主题二 求函数单调区间 【 典例 2】 (2013· 山东高考改编 ) 已知函数 f(x)=ax 2 +bx-ln x (a ， b∈R). 设 a≥0 ，求 f(x) 的单调区间 . 【 自主解答 】 由 f(x)=ax 2 +bx-ln x ， x∈(0 ， +∞) ， 得 f′(x)= (1) 当 a=0 时， f′(x)= ① 若 b≤0 ，当 x>0 时， f′(x)<0 恒成立， 所以函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， +∞). ② 若 b>0 ，当 0 时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单调递增， 所以函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， ) ，单调递增区间是 ( ， +∞). (2) 当 a>0 时， f′(x)=0 ， 得 2ax 2 +bx-1=0 ， 由 Δ=b 2 +8a>0 ， 得 显然， x 1 <0 ， x 2 >0. 当 0x 2 时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 单调递增， 所以函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， ) ，单调递增区间是 ( ， +∞). 综上所述，当 a=0 ， b≤0 时，函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， +∞) ； 当 a=0 ， b>0 时，函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， ) ，单调递增区间是 ( ， +∞) ； 当 a>0 时，函数 f(x) 的单调递减区间是 (0 ， ) ，单调递增区间是 ( ， +∞). 【 方法技巧 】 求函数的单调区间的方法步骤 (1) 确定函数 f(x) 的定义域 . (2) 计算函数 f(x) 的导数 f ′(x). (3) 解不等式 f′(x) ＞ 0 ，得到函数 f(x) 的递增区间；解不等式 f ′(x) ＜ 0 ，得到函数 f(x) 的递减区间 . 提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误 . 【 拓展延伸 】 确定导函数符号的方法 确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确定可以借助以下方法完成： (1) 解关于导函数的不等式 . (2) 利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导数判定导函数的单调性 . (3) 数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间 . (4) 含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后，确定导函数值的符号 . 【 补偿训练 】 若 a≥-1 ，求函数 f(x)=ax-(a+1)ln(x+1) 的单调 区间 . 【 解析 】 由已知得函数 f(x) 的定义域为 (-1 ， +∞) ，且 f′(x)= (a≥-1) ， (1) 当 -1≤a≤0 时， f′(x)<0 ，函数 f(x) 在 (-1 ， +∞) 上单调递 减 . (2) 当 a>0 时，由 f′(x)=0 ，解得 f′(x) ， f(x) 随 x 的变化情况如表 从上表可知，当 x∈(-1 ， ) 时， f′(x)<0 ，函数 f(x) 在 (-1 ， ) 上单调递减； x f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 当 x∈( ， +∞) 时， f′(x)>0 ，函数 f(x) 在 ( ， +∞) 上单调递增 . 综上所述，当 -1≤a≤0 时，函数 f(x) 在 (-1 ， +∞) 上单调递减 . 当 a>0 时，函数 f(x) 在 (-1 ， ) 上单调递减，函数 f(x) 在 ( ， +∞) 上单调递增 . 主题三 利用导数求函数极值 【 典例 3】 (2013· 新课标全国卷 Ⅱ) 已知函数 f(x)=x 2 e -x . (1) 求 f(x) 的极小值和极大值 . (2) 当曲线 y=f(x) 的切线 l 的斜率为负数时，求 l 在 x 轴上截距的取值范围 . 【 解题指南 】 (1) 求导函数 f′(x) ，令 f′(x)=0 求极值点，列表求极值 . (2) 设切线，表示出切线 l 的方程，令 y=0 得 l 在 x 轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围 . 【 自主解答 】 (1)f′(x)=e -x (-x 2 +2x) ，令 f′(x)=0 ，得 x=0 或 2. 列表如下 函数 f(x) 的极小值为 f(0)=0 ，极大值为 f(2)= x (-∞ ， 0) 0 (0 ， 2) 2 (2 ， +∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ (2) 设切点为 (x 0 ， ) ，则切线 l 的斜率为 k= (-x 0 2 + 2x 0 ) ， 此时切线 l 的方程为 y- = (-x 0 2 +2x 0 )(x-x 0 ) ， 令 y=0 ，得 x= ，由已知和 (1) 得 x 0 ∈(-∞ ， 0)∪(2 ， +∞). 令 t=x 0 -2 ，则 t∈(-∞ ， -2)∪(0 ， +∞) ，令 h(t)=t+ ，则当 t∈(0 ， +∞) 时， h(t) 的取值范围为［ ， +∞) ；当 t∈ (-∞ ， -2) 时， h(t) 的取值范围是 (-∞ ， -3) ，所以当 x 0 ∈ (-∞ ， 0)∪(2 ， +∞) 时， x 的取值范围是 (-∞ ， 0)∪ ［ ， +∞) ，综上， l 在 x 轴上的截距的取值范围是 (-∞ ， 0)∪ ［ ， +∞). 【 方法技巧 】 求函数的极值的方法步骤 (1) 确定函数的定义区间，求导数 f′(x). (2) 求方程 f′(x)=0 的根 . (3) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x) 在这个根处无极值 . 【 补偿训练 】 求 f(x)= 的极值 . 【 解析 】 f(x)= 所以 f′(x)= 令 f′(x)=0 ，得 x 1 =-1 ， x 2 =1 ， 当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况为 所以当 x=-1 时， f(x) 极小值 =-3 ； 当 x=1 时， f(x) 极大值 =-1. x (-∞ ， -1) -1 (-1 ， 1) 1 (1 ， +∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小 ↗ 极大 ↘ 主题四 利用导数求函数最值 【 典例 4】 已知函数 f(x)=(ax 2 +bx+c)e x 在 [0 ， 1] 上单调递减且满足 f(0)=1 ， f(1)=0. (1) 求 a 的取值范围 . (2) 设 g(x)= f(x)-f′(x) ，求 g(x) 在 [0 ， 1] 上的最大值和最小值 . 【 解题指南 】 (1) 利用 f(0)=1 ， f(1)=0 ，将 f(x) 用 a 表示出来，然后利用 f(x)=(ax 2 +bx+c)e x 在 [0 ， 1] 上单调递减 ⇔ f′(x)≤0 在 x∈[0 ， 1] 上恒成立且 f′(x)=0 不恒成立，然后通过分类讨论求得 a 的取值范围 . (2) 化简 g(x)= f(x)- f′(x) ，通过对 g(x) 求导，然后分类讨论求最值 . 【 自主解答 】 (1) 由 f(0)=1 ， f(1)=0 ，得 c=1 ， a+b=-1 ，则 f(x)=[ax 2 -(a+1)x+1]e x ， f′(x)=[ax 2 +(a-1)x-a]e x ，依题意对于任意 x∈[0 ， 1] ， f′(x)≤0 恒成立，且 f′(x)=0 不恒成立 . 当 a>0 时，因为二次函数 y=ax 2 +(a-1)x-a 的图象开口向上，而 f′(0)=-a<0 ，所以需 f′(1)=(a-1)e<0 ，即 00 ， f(x) 不符合条件 . 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2) 因 g(x)=(-2ax+1+a)e x ， g′(x)=(-2ax+1-a)e x ， (i) 当 a=0 时， g′(x)=e x >0 ， g(x) 在 x=0 处取得最小值 g(0)=1 ，在 x=1 处取得最大值 g(1)=e. (ii) 当 a=1 时，对于任意 x∈[0 ， 1] ，有 g′(x)=-2xe x ≤0 ， g(x) 在 x=0 处取得最大值 g(0)=2 ，在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. (iii) 当 0 ＜ a ＜ 1 时，由 g′(x)=0 得 ①若 ≥ 1 ，即 0 ＜ a≤ 时， g(x) 在［ 0 ， 1 ］上单调递增， g(x) 在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a ，在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. ② 若 ＜ 1 ，即 ＜ a ＜ 1 时， g(x) 在 x= 处取得最大值 g( )= ，在 x=0 或 x=1 处取得最小值，而 g(0)=1+a ， g(1)=(1-a)e ， 由 g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0 ， 得 则当 时， g(x) 在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a ； 当 ＜ a ＜ 1 时， g(x) 在 x=1 取得最小值 g(1)=(1-a)e. 【 方法技巧 】 求函数的最值的方法步骤 (1) 求 f(x) 在 (a ， b) 内的极值 . (2) 将 f(x) 的各极值与 f(a) ， f(b) 比较得出函数 f(x) 在［ a ， b ］上的最值 . 提醒：易忽视函数的端点、不连续点、不可导点 . 【 补偿训练 】 求函数 f(x)=-x 3 +3x ， x∈ ［ ］的最值 . 【 解析 】 f′(x)=-3x 2 +3=-3(x-1)(x+1) ． 令 f′(x)=0 ，得 x=1 或 x=-1 ． 当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如表： x ( -1) -1 (-1 ， 1) 1 (1 ， ) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 0 ↘ -2 ↗ 2 ↘ 0 由上表可知： 当 x=1 时， f(x) 取得最大值， f(x) max =f(1)=2. 当 x=-1 时， f(x) 取得最小值， f(x) min =f(-1)=-2. 主题五 导数在优化问题中的应用 【 典例 5】 (2013 · 重庆高考 ) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 ( 不计厚度 ). 设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米 . 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元 / 平方米，底面的建造成本为 160 元 / 平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元 (π 为圆周率 ). (1) 将 V 表示成 r 的函数 V(r) ，并求该函数的定义域 . (2) 讨论函数 V(r) 的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 . 【 解题指南 】 直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域，通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值 . 【 自主解答 】 (1) 因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh= 200πrh 元，底面的总成本为 160πr 2 元，所以蓄水池的总成本 为 (200πrh+160πr 2 ) 元 . 又据题意 200πrh+160πr 2 =12000π ，所以 h= (300-4r 2 ) ，从而 V(r)=πr 2 h= (300r-4r 3 ). 因 r>0 ，又由 h>0 可得 r< ，故函数 V(r) 的定义域为 (0 ， ). (2) 因 V(r)= (300r-4r 3 ). 故 V′(r)= (300-12r 2 ). 令 V′(r)=0 ，解得 r 1 =5 ， r 2 =-5( 因 r 2 =-5 不在定义域内，舍去 ). 当 r∈(0 ， 5) 时， V′(r)>0 ，故 V(r) 在 (0 ， 5) 上为增函数；当 r∈(5 ， ) 时， V′(r)<0 ，故 V(r) 在 (5 ， ) 上为减函数 . 由此可知， V(r) 在 r=5 处取得最大值，此时 h=8 ，即当 r=5 ， h=8 时，该蓄水池的体积最大 . 【 方法技巧 】 解决优化问题的步骤 (1) 要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域 . (2) 要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具 . (3) 验证数学问题的解是否满足实际意义 . 【 补偿训练 】 某企业拟建造如图所示的容器 ( 不计厚度，长度单位：米 ) ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且 l ≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 . 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c>3) 千元 . 设该容器的建造费用为 y 千元 . (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域 . (2) 求该容器的建造费用最小时的 r. 【 解析 】 (1) 因为容器的体积为 立方米，所以 +πr 2 l = ， 解得 l = 由于 l ≥2r ，因此 0 ＜ r≤2. 所以圆柱的侧面积为 2πr l = 两端两个半球的表面积之和为 4πr 2 ， 所以建造费用 y= -8πr 2 +4πcr 2 ， r∈(0 ， 2 ］ . (2) 因为 y′= = 由于 c>3 ，所以 c-2>0 ， 所以令 y′ ＞ 0 得： r ＞ 令 y′ ＜ 0 得： 0 ＜ r ＜ ①当 时，即当 3 ＜ c≤ 时，函数 y 在 (0 ， 2) 上是单调递减的，故建造费最小时 r=2. ② 当 0 ＜ <2 时，即 c ＞ 时，函数 y 在 (0 ， 2) 上是先减后增的，故建造费用最小时 主题六 定积分的应用 【 典例 6】 设 y=f(x) 是二次函数，方程 f(x)=0 有两个相等的实根，且 f′(x)=2x+2. (1) 求 y=f(x) 的表达式 . (2) 若直线 x=-t(0