数学文卷·2017届湖北省襄阳四中高三下学期第一次模拟考试（2017 10页

湖北省襄阳四中2017届高三下学期第一次模拟考试 数学（文）‎ 一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分）‎ 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎2.设复数满足，则=（ ）‎ A．5 B． C．2 D．‎ ‎3.“为真”是“为假”的（ ）条件 A.充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要 ‎4.某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001，0002，...，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）‎ A.0927 B．0834 C.0726 D．0116‎ ‎5.若中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知，，下列不等关系中正确的是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．0 B．3 C．6 D．8‎ ‎8.函数的部分图象大致是（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知，给出下列四个命题：，‎ ‎，；‎ 其中真命题的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）‎ A．4 B． C. D．2‎ ‎11.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设向量，，且，的夹角为，则实数= ．‎ ‎14.设等比数列中，是前项和，若，则= ．‎ ‎15.在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为 ．（结果用数值表示）‎ ‎16.设直线与圆交于，两点，若的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆半径的最大值是 .‎ 三、解答题：包括必考题和选考题两部分.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22、23题为选考题，考生任选一题做答.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，点是边上一点，且.记，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，，求的长.‎ ‎18. 某气象站观测点记录的连续4天里，指数与当天的空气水平可见度（单位）的情况如下表1：‎ 哈尔滨市某月指数频数分布如下表2：‎ ‎（1）设，根据表1的数据，求出关于的回归方程；‎ ‎（参考公式：，其中，）‎ ‎（2）小张开了一家洗车店，经统计，当不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当在时，洗车店平均每天收入约4000元；当大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计校长的洗车店该月份平均每天的收入.‎ ‎19.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，点在底面内的射影在线段上，且，，为的中点，在线段上，且.‎ ‎（1）当时，证明：平面平面；‎ ‎（2）当时，求平面与平面所成的二面角的正弦值及四棱锥的体积.‎ ‎20. 已知直线过椭圆的右焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点在直线（其中为焦距）上，直线过椭圆左焦点交椭圆于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设（为坐标原点），当直线绕点转动时，求的最大值.‎ ‎21. （1）证明：当时，；‎ ‎（2）若不等式对任意的正实数恒成立，求正实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），直线和圆交于，两点.‎ ‎（1）求圆心的极坐标；‎ ‎（2）直线与轴的交点为，求.‎ ‎23. 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）已知，若恒成立，求的取值范围.‎ 文数模拟一答案 一、选择题 ‎1-5:BBBAB 6-10:DBBDB 11、12：AD 二、填空题 ‎13.-1 14.28 15.0.7 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由正弦定理，在中，在中，因为，所以，因为，所以.‎ ‎（2）因为，，由（1）得，设，，，由余弦定理得到，解得，所以.‎ ‎18.解：（1），，‎ ‎，，‎ ‎，，关于的回归方程是.‎ ‎（2）表2知：30天中有3天每天亏损约2000元，有6天每天收入约4000元，有21天每天收入约7000元，故该月份平均每天的收入约为（元）；答：洗衣店该月份平均每天的收入约为5500元.‎ ‎19.解：（1）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形，，在中，，，，由余弦定理得.所以，从而有.‎ 在中，，分别是，的中点，‎ 则，又故有，‎ 因为，所以.‎ 由平面，平面，‎ 得，又，，‎ 得平面，又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）.四棱锥的体积.‎ ‎，.‎ ‎20.解：（1）由直线，令，解得，可得，‎ 即椭圆的焦点为，设原点关于的对称点为，则，‎ 解得，即，可得，则，椭圆的方程为；‎ ‎（2），可得，‎ 即有，当且仅当，即时，取得最大值.则有的最大值为.‎ ‎21. 解：（1）令函数，定义域是，‎ 由，可知函数在上单调递减，‎ 故当时，，即.‎ ‎（2）因为，，故不等式可化为（），‎ 问题转化为（）式对任意的正实数恒成立，构造函数，‎ 则，‎ ‎①当时，，即在上单调递增，‎ 所以，即不等式对任意的正实数恒成立.‎ ‎②当时，，因此，，函数单调递减；‎ ‎，，函数单调递增，‎ 所以，，，令，‎ 由（1）可知，不合题意.‎ 综上可得，正实数的取值范围是.‎ ‎（3）要证，即证，‎ 由（2）的结论令，有对恒成立，取可得不等式成立，综上，不等式成立.‎ ‎22.解：（1）由，得，得，故圆的普通方程为，所以圆心坐标为，圆心的极坐标为.‎ ‎（2）把代入得，所以点，对应的参数分别为，令得点对应的参数为，‎ 所以.‎ ‎23. 解：（1）不等式，即.‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，得；‎ 当时，即，无解.综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）.，‎ 令 结合函数的图象易知：当时，.‎ 要使不等式恒成立，只需，即，‎ 故所求实数的取值范围是.‎