河北省张家口市宣化第一中学2020届高三上学期月考考试数学试卷 11页

数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 若集合A={x|‎1‎‎32‎<‎2‎‎-x≤‎1‎‎2‎}‎，B={x∈N|-x‎2‎+3x+4>0}‎，则A∩B=(    )‎ A. ‎(1,4)‎ B. ‎[1,4)‎ C. ‎{1,‎2，‎3}‎ D. ‎‎{2,3}‎ 2. 在公差d不为零的等差数列‎{an}‎中，a‎3‎‎=16‎，且a‎1‎，a‎3‎，a‎7‎成等比数列，则d=(    )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 3. 已知sin(π‎6‎+α)=-‎‎3‎‎5‎，则cos(‎4π‎3‎-α)=(    )‎ A. ‎4‎‎5‎ B. ‎3‎‎5‎ C. ‎-‎‎4‎‎5‎ D. ‎‎-‎‎3‎‎5‎ 4. 若直线xa‎+yb=1(a>0,b>0)‎过点‎(1,2)‎，则a+2b的最小值等于‎(    )‎ A. 9 B. 8 C. ‎3+2‎‎2‎ D. ‎‎4+2‎‎2‎ 5. 已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是‎(    )‎ A. 若a>b，则ac‎2‎>bc‎2‎ B. 若a>b，c>d，则ac‎>‎bd C. 若ac‎2‎>bc‎2‎，则a>b D. 若a>-b，则c-a>c+b 6. 已知点P为双曲线C：x‎2‎‎36‎‎-y‎2‎‎64‎=1‎上的动点，点A(-10,0)‎，点B(10,0).‎若PA=15‎，则PB=(    )‎ A. 27 B. 3 C. 3或27 D. 9或21‎ 7. 已知菱形ABCD的边长为2，‎∠BAD=60°‎，点E是BD上靠近D的四等分点，则AE‎⋅AC=(    )‎ A. ‎8‎‎3‎ B. ‎4‎‎3‎ C. 6 D. ‎‎4+2‎‎3‎ 8. 已知函数f(x)=‎ex‎-‎e‎-xex‎+‎e‎-x，若f(log‎1‎‎2‎m)+f(1-2log‎1‎‎2‎m)<0‎，则实数m的取值范围是‎(    )‎ A. ‎(-∞,‎1‎‎2‎)‎ B. ‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎ C. ‎(‎1‎‎2‎,2)‎ D. ‎‎(0,‎1‎‎2‎)‎ 9. 已知三棱锥D-ABC中，AB=1‎，AC=AD=‎‎3‎，BD=2‎，BC=‎‎2‎，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为‎(    )‎ A. ‎8π B. ‎6π C. ‎4π D. ‎‎8‎6‎π 10. 已知抛物线x‎2‎‎=4y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ‎=4‎FQ，则‎|PF|=(    )‎ A. 3或4 B. ‎24‎‎5‎或8 C. 8或2 D. 8‎ 11. 定义在R上的运算：x*y=x(1-y)‎，若不等式‎(x+1)*(x-3)x‎2‎>‎x‎1‎，则‎(x‎1‎+x‎2‎)⋅‎x‎3‎的取值范围是‎(    )‎ A. ‎(8,9)‎ B. ‎(48,54)‎ C. ‎(4,1+2log‎2‎3)‎ D. ‎‎(24,6+12log‎2‎3)‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎(a+b+c‎)‎‎2‎+(a+b-c‎)‎‎2‎=4c‎2‎+2ab，B=30°‎，a=2‎，则‎△ABC的面积为______．‎ 2. 已知圆C：‎(x+5‎)‎‎2‎+y‎2‎=36‎和点B(5,0)‎，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是______．‎ 3. 已知a=‎‎0.6‎‎0.7‎，b=‎‎0.7‎‎0.6‎，c=ln0.6‎，将a，b，c按从小到大的顺序排列______．‎ 4. 已知双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的右焦点为F，A，B是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF‎⋅BF=0‎且线段AF的中点M落在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 5. 若数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且Sn‎=2an-1‎，n∈‎N‎*‎． ‎(1)‎求数列‎{an}‎的通项公式； ‎(2)‎设bn‎=‎‎2n-1‎an+1‎，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn． ‎ 6. 在‎△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知‎3‎sinB-2cos‎2‎A+C‎2‎=0‎． ‎(1)‎求角B的大小； ‎(2)‎若b=‎‎3‎，求‎△ABC的周长的取值范围． ‎ 7. 如图‎(1)‎，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，CD=2AB=2BC，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将‎△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC，如图‎(2)‎． ‎(1)‎求证：平面DAB⊥‎平面DAE； ‎(2)‎求二面角D-AB-E的大小．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 已知抛物线C：y‎2‎‎=-2px(p>0)‎上一点R(-4,m)‎到其焦点F的距离为5． ‎(1)‎求p与m的值； ‎(2)‎设动直线y=k(x+2)‎与抛物线C相交于A，B两点，问：在x轴上是否存在与k的取值无关的定点M，使得‎∠AMF=∠BMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． ‎ 2. 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左，右焦点分别为F‎1‎‎(-‎2‎,0)‎，F‎2‎‎(‎2‎,0)‎，且经过点M(‎2‎,1)‎． ‎(1)‎求椭圆C的标准方程； ‎(2)‎若斜率为2的直线与椭圆C交于A，B两点，求‎△AOB面积的最大值‎(O为坐标原点‎)‎． ‎ 3. 已知函数f(x)=‎ex+m，g(x)=‎1‎‎2‎ax‎2‎-‎1‎‎2‎ax． ‎(1)‎若m=0‎，函数F(x)=g(x)+(1-x)f(x)‎在点‎(0,F(0))‎处切线方程为y=x+1‎，求实数a的值； ‎(2)‎证明m>0‎时，f(x)>x+1‎． ‎ 数学试卷答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：‎∵A={x|-5<-x≤-1}={x|1≤x<5}‎，B={x∈N|-10,b>0)‎过点‎(1,2)‎， 则‎1‎a‎+‎2‎b=1‎， a+2b=(a+2b)(‎1‎a+‎2‎b)=5+‎2ba+‎2ab≥5+2‎2ba‎⋅‎‎2ab=5+4=9‎，当且仅当a=b时取等号， 故选：A． 利用1的巧妙代换，利用基本不等式求出即可． 考查基本不等式的应用，1的巧妙代换，中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：对于选项A：当c=0‎时，不等式不成立，故错误． 对于选项B：由于a>b，c>d，但是不确定a，b，c，d的符号，故错误． 对于选项C：成立，故正确． 对于选项D，若a>-b，则c-a1‎， 解可得：‎01‎，解可得m的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 9.‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】解：三棱锥D-ABC中，AB=1‎，AC=AD=‎‎3‎，BD=2‎，BC=‎‎2‎， 所以：AB‎2‎+BC‎2‎=AC‎2‎， 故：AB⊥BC，且BC⊥AD， 则BC⊥‎平面ABD， 由于BD=2‎，BC=‎‎2‎， 利用勾股定理，解得DC=‎‎6‎． 由于AD=AC=‎‎3‎， 所以AD‎2‎+AC‎2‎=DC‎2‎，整理得AD⊥AC， 设球心为O，球的半径为R，所以R=‎(‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎6‎‎2‎， 所以S=4π×(‎6‎‎2‎‎)‎‎2‎=6π． 如图所示： 故选：B． 首先利用线面的垂直的应用求出球心的位置，进一步利用勾股关系式求出球的半径，最后求出球的表面积． 本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质的应用，球心的确定和求的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：焦点F(0,1)‎，准线方程y=-1‎，所以焦点到准线的距离为：2，由题意过Q做QM⊥l于M，因为PQ‎=4‎FQ，由抛物线的性质知， 所以QMPQ‎=4‎，设直线PQ的倾斜角为α，则sinα=‎‎1‎‎4‎，所以由三角形相似可得：‎2‎‎|PF|‎‎=‎‎1‎‎4‎，所以‎|PF|=8‎， 故选：D． 由抛物线的性质得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再由相似三角形可得对应比成比例可得结果． 考查抛物线的性质，属于中档题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意得，不等式‎(x+1)*(x-3)[(x+1)(4-x)‎‎]‎max，x∈(2,5)‎； 而y=(x+1)(4-x)‎在‎(2,5)‎上单调递减，故‎∀x∈(2,5)‎，都有y<(2+1)(4-2)=6‎； ‎∴a‎2‎-5a≥6‎，解得a≤-1‎或a≥6‎； 故选：A． 根据定义，不等式等价于‎(x+1)[1-(x-3)][(x+1)(4-x)‎‎]‎max，x∈(2,5)‎，解出a的范围即可． 本题考查了函数的恒成立问题，注意转化为最值问题解决；同时还考查了一元二次不等式的解法，属于中档题． 12.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由题意，当x<4‎时，y=-x‎2‎+6x=-(x-3‎)‎‎2‎+9‎． 则函数f(x)‎大致图象如下： 根据二次函数的对称性，可知x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎=3‎，即x‎1‎‎+x‎2‎=6‎． 根据题意及图，可知‎8<‎2‎x‎3‎‎-1‎<9‎， 解得‎4|BC|‎，根据双曲线的定义判断轨迹双曲线，求出a、b值，即得双曲线的标准方程． 本题考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，得出‎|MC|-|MB|=6<|BC|‎，是解题的关键和难点． 15.【答案】cb得a+c>‎‎3‎； 所以‎3‎‎‎‎3‎，即可得解‎△ABC周长的取值范围． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 19.【答案】解：‎(1)‎证明：‎∵AE⊥CD，AB//CD， ‎∴AE⊥AB； ‎∵DE⊥EC，AB//EC， ‎∴DE⊥AB； 又AE∩DE=E， ‎∴AB⊥‎平面DAE， ‎∵AB⊂‎平面DAB， ‎∴‎平面DAB⊥‎平面DAE． ‎(2)‎以E为原点，EA为x轴，EC为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设DE=EC=ED=2‎，则A(2,‎0，‎0)‎，D(0,‎0，‎2)‎，E(0,‎0，‎0)‎，B(2,‎2，‎0)‎，AD‎=(-2,0,2)‎，AB‎=(0,2,0)‎， 设平面DAB的法向量n‎=(x,y,z)‎， 则，取x=1‎，得n‎=(1,0,1)‎， 平面ABE的法向量m‎=(0,0,1)‎， 设二面角D-AB-E的大小为θ， 则n‎=m=cosθ=‎|m⋅n|‎‎|m|⋅|n|‎=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎，θ=45°‎， ‎∴‎二面角D-AB-E的大小为‎45°‎． ‎ ‎【解析】‎(1)‎关键是证明AE⊥AB，DE⊥AB，进而可得AB⊥‎平面DAE，再由面面垂直的判定得出结论； ‎(2)‎建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可． 本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题． 20.【答案】解：‎(1)‎根据抛物线定义，点R(-4,m)‎到焦点的距离等于它到准线的距离，即‎|-4|+p‎2‎=5‎，解得p=2‎，‎∴‎抛物线方程为y‎2‎‎=-4x， 点R(-4,m)‎在抛物线上，得m‎2‎‎=(-4)⋅(-4)‎，‎∴m=±4‎． ‎(2)‎抛物线方程为：y‎2‎‎=-4x， 当k=0‎，直线只与抛物线有一个交点，显然不成立， 当k不存在时，与x轴垂直，与抛物线有两个交点，显然成立； 当k≠0‎时，令A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，设存在点M(a,0)‎满足条件，‎∠AMF=∠BMF即：kAM‎=-‎kBM， 即y‎1‎x‎1‎‎-a‎+y‎2‎x‎2‎‎-a=0‎， 整理得：‎(y‎1‎y‎2‎+4a)(y‎1‎+y‎2‎)=0‎，y=k(x+2)‎y‎2‎‎=-4x整理得y‎2‎‎+‎4yk-8=0‎， ‎∴y‎1‎+y‎2‎=-‎‎4‎k，y‎1‎y‎2‎‎=-8‎， ‎∴(4a-8)(-‎4‎k)=0‎， ‎∴4a-8=0‎，解的a=2‎， 因此存在点M(2,0)‎满足题意． ‎ ‎【解析】‎(1)‎由抛物线性质可知：‎|-4|+p‎2‎=5‎，解得p值，求出抛物线方程，然后求解m即可． ‎(2)‎分类讨论k的取值，当k≠0‎时，令A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，设存在点M(a,0)‎满足条件，由已知得kAM‎=-‎KBM，整理得‎(y‎1‎y‎2‎+4a)(y‎1‎+y‎2‎)=0‎；把直线方程代入抛物线方程化简，把根与系数的关系代入解得a的值． 本题主要考查直线的斜率公式，抛物线的定义、标准方程以及简单性质的应用，属于中档题． 21.【答案】解：‎(1)‎由椭圆的定义，可知‎2a=|AF‎1‎|+|AF‎2‎|=‎(2‎2‎‎)‎‎2‎+1‎+1=4‎． 解得a=2‎． 又b‎2‎‎=a‎2‎-(‎2‎‎)‎‎2‎=2‎． 所以椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎． ‎(2)‎设直线l的方程为y=2x+m， 联立椭圆方程，得‎9x‎2‎+8mx+2m‎2‎-4=0.△=64m‎2‎-72m‎2‎+144>0‎，得‎-3‎2‎0‎时，f(x)=ex+m>‎ex+0‎，下证ex‎≥x+1‎： 令h(x)=ex-x-1‎；h'(x)=ex-1‎； 可得：当x>0‎时，h'(x)>0‎，h(x)‎单调递增； 当x<0‎时，h'(x)<0‎，h(x)‎单调递减； 所以h(x‎)‎min=h(0)=0‎， 所以h(x)≥0‎；即ex‎≥x+1‎ 而ex+m‎>ex+0‎=ex≥x+1‎， 所以ex+m‎>x+1‎，得证． ‎ ‎【解析】‎(1)‎表示出F(x)‎，求导，利用导数的几何意义容易得解； ‎(2)‎即证ex‎≥x+1‎，构造函数h(x)=ex-x-1‎，易得证． 本题考查导数的几何意义及利用证明不等式，考查推理论证能力，属于基础题． ‎