专题10 圆锥曲线的性质及其应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 9页

专题10 圆锥曲线的性质及其应用 专题点拨 ‎1.熟练掌握椭圆、双曲线以及抛物线的标准方程中基本量的关系，能够准确应用三种曲线的轨迹定义来解决问题.‎ ‎2．弦长公式：斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |AB|＝=·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．‎ ‎3. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.‎ ‎ 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．‎ 真题赏析 1． ‎(2018·上海)双曲线﹣y2=1的渐近线方程为　 　． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由a=2,b=1，故渐近线方程为.‎ ‎2． (2017·上海)设双曲线－＝1(b>0)的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝__________．‎ 例题剖析 ‎【例1】设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则Γ的两个焦点之间的距离为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图所示：设D在AB上，且CD⊥AB，AB＝4，BC＝，∠CBA＝45°⇒CD＝1，DB＝1，AD＝3，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系得C(1，1)，2a＝4，把C(1，1)代入椭圆标准方程得＋＝1，a2＝b2＋c2⇒b2＝，c2＝⇒2c＝.‎ ‎【变式训练1】 设P是椭圆+=1上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）‎ ‎ A. B.2 C.2 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的定义可知两个焦点的距离之和为2.‎ ‎【例2】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支分别交于，两点，△的内切圆半径为，△的内切圆半径为，若，则直线的斜率为　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记△的内切圆圆心为，‎ 边、、上的切点分别为、、，‎ 易见、横坐标相等，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，‎ 即，‎ 得，‎ 即，记的横坐标为，则，，‎ 于是，得，‎ 同样内心的横坐标也为，则有轴，‎ 设直线的倾斜角为，则，，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ 由，可得，‎ 解得，‎ 则直线的斜率为，‎ 由对称性可得直线的斜率为． ‎ 二、选择题 ‎6.已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆短轴的一个端点为．‎ 由于，，‎ ‎；‎ ‎，‎ 只能或．‎ 令，得 ‎，‎ 故选：．‎ ‎7.点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若是坐标原点），则为半焦距）的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C． D．以上说法都不对 ‎【答案】B ‎【解析】设，是坐标原点），‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ 则的取值范围是，‎ 故选：．‎ ‎8.已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )‎ A.（，） B.（，）C.（，） D.（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，，所以 ‎，‎ ‎ 解得.‎ ‎9.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，在中，若，则的最大值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】过轴上方）作准线的垂线，垂足为，‎ 则由抛物线的定义可得，由，‎ 则中由正弦定理可知：则，‎ ‎，‎ 设的倾斜角为，则，‎ 当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，‎ 设直线的方程为，则，‎ 即，‎ ‎△，‎ ‎，即，则，‎ 则的最大值为，‎ 故选：．‎ 三、解答题 ‎10.已知椭圆的两个焦点为，，且椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知斜率为的直线过，与椭圆分别交于，；直线过，与直线垂直，与椭圆分别交于，，求四边形面积的函数解析式．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，‎ 由题意可得，解得，‎ ‎（2）设直线的方程为，则直线的方程为 设，，，，‎ 联立方程，化简得．‎ 则，，‎ ‎，‎ 同理，得，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎11.已知抛物线上的，两点满足，点、在抛物线对称轴的左右两侧，且的横坐标小于零，抛物线顶点为，焦点为．‎ ‎（1）当点的横坐标为2，求点的坐标；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点，使得，若请说明理由；‎ ‎（3）设焦点关于直线的对称点是，求当四边形面积最小值时点的坐标．‎ ‎【解析】（1）由题意知，，设，‎ 由，得，‎ 解得：（舍或，‎ ‎；‎ ‎（3）设，，‎ 由题意得：，解得．‎ 设直线的方程为，‎ 联立，得，‎ 得，‎ 又，，则直线经过定点，‎ ‎，‎ 当且仅当等号成立，四边形面积最小，‎ ‎，．‎ ‎12.已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于,两点；‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）若过原点，为双曲线上异于,的一点，且直线、的斜率、均 存在，求证：为定值；‎ ‎（3）若过双曲线的右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎 样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）由题意得：，‎ 解得，所以双曲线C的方程为.（2）证明：设，由双曲线的对称性可得，设，则，因为，，所以.（3）由（1）得点，当直线的斜率存在时，设直线方程，设，，将方程与双曲线方程联立消去得：，所以，假设存在定点，使恒成立，设为，则，故得 ‎，对任意的恒成立，因此，解得.所以当时，恒成立.当直线斜率不存在时，由知点使得也成立.又因为点是双曲线C的左顶点，所以存在定点，使得恒成立.‎