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- 2021-06-22 发布
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考点一 逻辑联结词“或”“且”“非”
考点清单
考向基础
1.逻辑联结词:“或”“且”“非”.
2.复合命题“
p
∨
q
”“
p
∧
q
”“¬
p
”的真假判断如下表:
p
q
p
∨
q
p
∧
q
¬
p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
温馨提示 含有逻辑联结词的命题的真假判断规律:
(1)
p
∨
q
:
p
、
q
中有一个为真,则
p
∨
q
为真,即
一真即真
.
(2)
p
∧
q
:
p
、
q
中有一个为假,则
p
∧
q
为假,即
一假即假
.
(3)
¬
p
:与
p
的真假相反,即一真一假,
真假相反
.
考向突破
考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断
例1 若命题
p
:函数
y
=
x
2
-2
x
的单调递增区间是[1,+
∞
),命题
q
:函数
y
=
x
-
的
单调递增区间是[1,+
∞
),则
( )
A.
p
∧
q
是真命题 B.
p
∨
q
是真命题
C. ¬
p
是真命题 D.(¬
p
)∧
q
是真命题
解析 因为函数
y
=
x
2
-2
x
=(
x
-1)
2
-1,所以其单调递增区间为[1,+
∞
),所以
p
是真
命题;对于命题
q
,函数
y
=
x
-
的单调递增区间为(-
∞
,0)和(0,+
∞
),所以命题
q
为假命题,所以
p
∧
q
为假命题,
p
∨
q
为真命题, ¬
p
是假命题,(¬
p
)∧
q
为假命
题,故选B.
答案 B
考向二 根据含有逻辑联结词命题的真假求参数的取值范围
例2 (2020届豫南九校第一次联考,14)已知命题
p
:函数
y
=
x
2
+2(
a
2
-
a
)
x
+
a
4
-2
a
3
在[-2,+
∞
)上单调递增,
q
:关于
x
的不等式
ax
2
-
ax
+1>0的解集为R,若
p
∧
q
为假,
p
∨
q
为真,则实数
a
的取值范围为
.
解析 ∵函数
y
=
x
2
+2(
a
2
-
a
)
x
+
a
4
-2
a
3
=[
x
+(
a
2
-
a
)]
2
-
a
2
在[-2,+
∞
)上单调递增,
∴-(
a
2
-
a
)
≤
-2,即
a
2
-
a
-2
≥
0,解得
a
≤
-1或
a
≥
2,
即
p
为真命题时,
a
≤
-1或
a
≥
2.
由不等式
ax
2
-
ax
+1>0的解集为R,得
a
=0或
即
a
=0或
解得
a
=0或0<
a
<4,
∴
q
为真命题时,0
≤
a
<4.
∵
p
∧
q
为假,
p
∨
q
为真,∴
p
与
q
一真一假.
①当
p
真
q
假时,
得
a
≤
-1或
a
≥
4.
②当
p
假
q
真时,
得0
≤
a
<2.
综上,实数
a
的取值范围为(-
∞
,-1]
∪
[0,2)
∪
[4,+
∞
).
答案 (-
∞
,-1]
∪
[0,2)
∪
[4,+
∞
)
考点二 全称量词与存在量词
考向基础
1.全称量词和存在量词
2.全称命题和特称命题
名称
常见量词
符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每
一个等
∀
存在量词
存在一个、至少一个、有些、
某些等
∃
名称
结构
符号表示
全称命题
对
M
中任意一个
x
,有
p
(
x
)成立
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
特称命题
存在
M
中的一个
x
0
,使
p
(
x
0
)成立
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
3.全称命题和特称命题的否定
命题
命题的否定
∀
x
∈
M
,
p
(
x
)
∃
x
0
∈
M
,¬
p
(
x
0
)
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
)
∀
x
∈
M
,¬
p
(
x
)
考向突破
考向一 全(特)称命题的否定
例3 (2020届河南平顶山调研,4)命题“
∃
x
0
∈(0,+
∞
),ln
x
0
=
x
0
-1”的否定
是
( )
A.
∃
x
0
∈(0,+
∞
),ln
x
0
≠
x
0
-1
B.
∃
x
0
∉
(0,+
∞
),ln
x
0
=
x
0
-1
C.
∀
x
∈(0,+
∞
),ln
x
≠
x
-1
D.
∀
x
∉
(0,+
∞
),ln
x
=
x
-1
解析 命题“
∃
x
0
∈(0,+
∞
),ln
x
0
=
x
0
-1”为特称命题,故该命题的否定为全
称命题,即“
∀
x
∈(0,+
∞
),ln
x
≠
x
-1”,故选C.
答案 C
考向二 全(特)称命题真假性的判断
例4 给出下列命题:
①
∀
x
∈N,
x
3
>
x
2
;
②所有可以被5整除的整数,其末位数字是0;
③
∃
x
0
∈R,使
-
x
0
+1
≤
0;
④存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定为真命题的序号为
.
解析 ①当
x
=0时,
x
3
=
x
2
,该命题为假命题,故它的否定为真命题;②所有可以
被5整除的整数,其末位数字是0或5,故②中的命题为假命题,故它的否定为
真命题;③∵
x
2
-
x
+1=
+
≥
,∴命题“
∃
x
0
∈R,使
-
x
0
+1
≤
0”为假命
题,故它的否定为真命题;④存在一个四边形,它的对角线互相垂直,该命题
为真命题,故它的否定为假命题.所以四个命题的否定中,真命题的序号为
①②③.
答案 ①②③
考向三 根据全(特)称命题的真假求参数的取值范围
例5 (2019安徽江淮十校第三次联考,13)若命题“
∀
x
∈
,1+tan
x
≤
m
”的否定是假命题,则实数
m
的取值范围是
.
解析 根据题意得不等式1+tan
x
≤
m
对任意
x
∈
恒成立,∵
y
=1+tan
x
在
上为增函数,∴(1+tan
x
)
max
=1+tan
=1+
,则有
m
≥
1+
,即实数
m
的取值范围是[1+
,+
∞
).
答案 [1+
,+
∞
)
方法1
含有逻辑联结词的命题真假的判断方法
“
p
∨
q
”“
p
∧
q
”“¬
p
”形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题的构成形式;
(2)判断命题
p
、
q
的真假;
(3)确定“
p
∧
q
”“
p
∨
q
”“¬
p
”形式命题的真假.
方法技巧
例1 (2020届黑龙江大庆实验中学开学考试,4)已知命题
p
:若
a
,
b
是实数,则
“
a
>
b
”是“
a
2
>
b
2
”的充分不必要条件;命题
q
:“
∃
x
∈R,
x
2
+2>3
x
”的否定
是“
∀
x
∈R,
x
2
+2<3
x
”,下列命题为真命题的是
( )
A.
p
∧
q
B.(¬
p
)∧
q
C.
p
∧(¬
q
) D.(¬
p
)∧(¬
q
)
解题导引
解析 命题
p
:若
a
,
b
是实数,则“
a
>
b
”是“
a
2
>
b
2
”的既不充分也不必要条
件,所以命题
p
为假命题;命题
q
:“
∃
x
∈R,
x
2
+2>3
x
”是特称命题,而特称命
题的否定为全称命题,所以其否定为“
∀
x
∈R,
x
2
+2
≤
3
x
”,因此命题
q
为假
命题,结合真值表可知
p
∧
q
为假命题,(¬
p
)∧
q
为假命题,
p
∧(¬
q
)为假命题,
(¬
p
)∧(¬
q
)为真命题,故选D.
答案 D
方法2
全(特)称命题真假性的判断方法
1.要判定一个全称命题(
∀
x
∈
M
,
p
(
x
))是真命题,必须对限定集合
M
中的每
个元素
x
,验证
p
(
x
)成立;但要判定该全称命题为假命题,只要能举出集合
M
中的一个
x
=
x
0
,使得
p
(
x
0
)不成立即可.
2.要判定一个特称命题(
∃
x
0
∈
M
,
p
(
x
0
))为真命题,只要在限定集合
M
中,能找
到一个
x
=
x
0
,使
p
(
x
0
)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
例2 (2020届陕西西安铁一中9月开学测试,3)有下列四个命题:①
∀
x
∈R,
2
x
2
-3
x
+4>0;②
∀
x
∈{1,-1,0},2
x
+1>0;③
∃
x
0
∈N,使
≤
x
0
;④
∃
x
0
∈N
*
,使
x
0
为
29的约数.其中真命题的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 ①是全称命题,由于
Δ
=(-3)
2
-4
×
2
×
4<0,所以
∀
x
∈R,2
x
2
-3
x
+4>0恒成
立,故①为真命题;②是全称命题,由于当
x
=-1时,2
x
+1=-1<0,故②为假命题;
③是特称命题,当
x
0
=0或
x
0
=1时,有
≤
x
0
成立,故③为真命题;④是特称命题,
当
x
0
=1时,
x
0
为29的约数成立,故④为真命题.综上可知,真命题的个数是3,故
选C.
答案 C