2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（讲解部分） 16页

考点一　逻辑联结词“或”“且”“非” 考点清单 考向基础 1.逻辑联结词:“或”“且”“非”. 2.复合命题“ p ∨ q ”“ p ∧ q ”“¬ p ”的真假判断如下表: p q p ∨ q p ∧ q ¬ p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 温馨提示　含有逻辑联结词的命题的真假判断规律: (1) p ∨ q : p 、 q 中有一个为真,则 p ∨ q 为真,即 一真即真 . (2) p ∧ q : p 、 q 中有一个为假,则 p ∧ q 为假,即 一假即假 . (3) ¬ p :与 p 的真假相反,即一真一假, 真假相反 . 考向突破 考向一　含有逻辑联结词命题真假的判断 例1　若命题 p :函数 y = x 2 -2 x 的单调递增区间是[1,+ ∞ ),命题 q :函数 y = x -   的 单调递增区间是[1,+ ∞ ),则   (　　) A. p ∧ q 是真命题　    B. p ∨ q 是真命题 C. ¬ p 是真命题　    D.(¬ p )∧ q 是真命题 解析　因为函数 y = x 2 -2 x =( x -1) 2 -1,所以其单调递增区间为[1,+ ∞ ),所以 p 是真 命题;对于命题 q ,函数 y = x -   的单调递增区间为(- ∞ ,0)和(0,+ ∞ ),所以命题 q 为假命题,所以 p ∧ q 为假命题, p ∨ q 为真命题, ¬ p 是假命题,(¬ p )∧ q 为假命 题,故选B. 答案    B 考向二　根据含有逻辑联结词命题的真假求参数的取值范围 例2    (2020届豫南九校第一次联考,14)已知命题 p :函数 y = x 2 +2( a 2 - a ) x + a 4 -2 a 3 在[-2,+ ∞ )上单调递增, q :关于 x 的不等式 ax 2 - ax +1>0的解集为R,若 p ∧ q 为假, p ∨ q 为真,则实数 a 的取值范围为 　　　　　　　     . 解析　∵函数 y = x 2 +2( a 2 - a ) x + a 4 -2 a 3 =[ x +( a 2 - a )] 2 - a 2 在[-2,+ ∞ )上单调递增, ∴-( a 2 - a ) ≤ -2,即 a 2 - a -2 ≥ 0,解得 a ≤ -1或 a ≥ 2, 即 p 为真命题时, a ≤ -1或 a ≥ 2. 由不等式 ax 2 - ax +1>0的解集为R,得 a =0或   即 a =0或   解得 a =0或0< a <4, ∴ q 为真命题时,0 ≤ a <4. ∵ p ∧ q 为假, p ∨ q 为真,∴ p 与 q 一真一假. ①当 p 真 q 假时,   得 a ≤ -1或 a ≥ 4. ②当 p 假 q 真时,   得0 ≤ a <2. 综上,实数 a 的取值范围为(- ∞ ,-1] ∪ [0,2) ∪ [4,+ ∞ ). 答案　(- ∞ ,-1] ∪ [0,2) ∪ [4,+ ∞ ) 考点二　全称量词与存在量词 考向基础 1.全称量词和存在量词 2.全称命题和特称命题 名称 常见量词 符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每 一个等 ∀ 存在量词 存在一个、至少一个、有些、 某些等 ∃ 名称 结构 符号表示 全称命题 对 M 中任意一个 x ,有 p ( x )成立 ∀ x ∈ M , p ( x ) 特称命题 存在 M 中的一个 x 0 ,使 p ( x 0 )成立 ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) 3.全称命题和特称命题的否定 命题 命题的否定 ∀ x ∈ M , p ( x ) ∃ x 0 ∈ M ,¬ p ( x 0 ) ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) ∀ x ∈ M ,¬ p ( x ) 考向突破 考向一　全(特)称命题的否定 例3    (2020届河南平顶山调研,4)命题“ ∃ x 0 ∈(0,+ ∞ ),ln x 0 = x 0 -1”的否定 是   (　　) A. ∃ x 0 ∈(0,+ ∞ ),ln x 0 ≠ x 0 -1 B. ∃ x 0 ∉ (0,+ ∞ ),ln x 0 = x 0 -1 C. ∀ x ∈(0,+ ∞ ),ln x ≠ x -1 D. ∀ x ∉ (0,+ ∞ ),ln x = x -1 解析    命题“ ∃ x 0 ∈(0,+ ∞ ),ln x 0 = x 0 -1”为特称命题,故该命题的否定为全 称命题,即“ ∀ x ∈(0,+ ∞ ),ln x ≠ x -1”,故选C. 答案    C 考向二　全(特)称命题真假性的判断 例4　给出下列命题: ① ∀ x ∈N, x 3 > x 2 ; ②所有可以被5整除的整数,其末位数字是0; ③ ∃ x 0 ∈R,使   - x 0 +1 ≤ 0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定为真命题的序号为 　　　     . 解析　①当 x =0时, x 3 = x 2 ,该命题为假命题,故它的否定为真命题;②所有可以 被5整除的整数,其末位数字是0或5,故②中的命题为假命题,故它的否定为 真命题;③∵ x 2 - x +1=   +   ≥   ,∴命题“ ∃ x 0 ∈R,使   - x 0 +1 ≤ 0”为假命 题,故它的否定为真命题;④存在一个四边形,它的对角线互相垂直,该命题 为真命题,故它的否定为假命题.所以四个命题的否定中,真命题的序号为 ①②③. 答案　①②③ 考向三　根据全(特)称命题的真假求参数的取值范围 例5    (2019安徽江淮十校第三次联考,13)若命题“ ∀ x ∈   ,1+tan x ≤ m ”的否定是假命题,则实数 m 的取值范围是 　　　     . 解析　根据题意得不等式1+tan x ≤ m 对任意 x ∈   恒成立,∵ y =1+tan x 在   上为增函数,∴(1+tan x ) max =1+tan   =1+   ,则有 m ≥ 1+   ,即实数 m 的取值范围是[1+   ,+ ∞ ). 答案　[1+   ,+ ∞ ) 方法1 　含有逻辑联结词的命题真假的判断方法 “ p ∨ q ”“ p ∧ q ”“¬ p ”形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; (2)判断命题 p 、 q 的真假; (3)确定“ p ∧ q ”“ p ∨ q ”“¬ p ”形式命题的真假. 方法技巧 例1    (2020届黑龙江大庆实验中学开学考试,4)已知命题 p :若 a , b 是实数,则 “ a > b ”是“ a 2 > b 2 ”的充分不必要条件;命题 q :“ ∃ x ∈R, x 2 +2>3 x ”的否定 是“ ∀ x ∈R, x 2 +2<3 x ”,下列命题为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　     B.(¬ p )∧ q C. p ∧(¬ q )　     D.(¬ p )∧(¬ q )   解题导引    解析　命题 p :若 a , b 是实数,则“ a > b ”是“ a 2 > b 2 ”的既不充分也不必要条 件,所以命题 p 为假命题;命题 q :“ ∃ x ∈R, x 2 +2>3 x ”是特称命题,而特称命 题的否定为全称命题,所以其否定为“ ∀ x ∈R, x 2 +2 ≤ 3 x ”,因此命题 q 为假 命题,结合真值表可知 p ∧ q 为假命题,(¬ p )∧ q 为假命题, p ∧(¬ q )为假命题, (¬ p )∧(¬ q )为真命题,故选D. 答案    D 方法2 　全(特)称命题真假性的判断方法 1.要判定一个全称命题( ∀ x ∈ M , p ( x ))是真命题,必须对限定集合 M 中的每 个元素 x ,验证 p ( x )成立;但要判定该全称命题为假命题,只要能举出集合 M 中的一个 x = x 0 ,使得 p ( x 0 )不成立即可. 2.要判定一个特称命题( ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ))为真命题,只要在限定集合 M 中,能找 到一个 x = x 0 ,使 p ( x 0 )成立即可;否则,这一特称命题就是假命题. 例2    (2020届陕西西安铁一中9月开学测试,3)有下列四个命题:① ∀ x ∈R, 2 x 2 -3 x +4>0;② ∀ x ∈{1,-1,0},2 x +1>0;③ ∃ x 0 ∈N,使   ≤ x 0 ;④ ∃ x 0 ∈N * ,使 x 0 为 29的约数.其中真命题的个数是   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 解析　①是全称命题,由于 Δ =(-3) 2 -4 × 2 × 4<0,所以 ∀ x ∈R,2 x 2 -3 x +4>0恒成 立,故①为真命题;②是全称命题,由于当 x =-1时,2 x +1=-1<0,故②为假命题; ③是特称命题,当 x 0 =0或 x 0 =1时,有   ≤ x 0 成立,故③为真命题;④是特称命题, 当 x 0 =1时, x 0 为29的约数成立,故④为真命题.综上可知,真命题的个数是3,故 选C. 答案    C