高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2 10页

第一章 导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1　　　　　　‎ B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝1，b＝－1 ‎ D．a＝－1，b＝－1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，‎ 将(0，b)代入切线方程得b＝1.‎ ‎2．一物体的运动方程为s＝2tsint＋t，则它的速度方程为(　　)‎ A．v＝2sint＋2tcost＋1 ‎ B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint ‎ D．v＝2sint＋2cost＋1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sint＋2tcost＋1，故选A.‎ ‎3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是(　　)‎ A．4 ‎ B．5‎ C．6 ‎ D．7‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.‎ ‎4．函数y＝x|x(x－3)|＋1(　　)‎ A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1‎ B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1‎ C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1‎ D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　y＝x|x(x－3)|＋1‎ ‎＝ ‎∴y′＝ x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  无极值  极大值5‎  极小值1‎  ‎∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1‎ 故应选B.‎ ‎5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝‎2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)‎ A．y＝2x－1 ‎ B．y＝x C．y＝3x－2 ‎ D．y＝－2x＋3‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．‎ ‎∵f(x)＝‎2f(2－x)－x2＋8x－8，‎ ‎∴f(2－x)＝‎2f(x)－x2－4x＋4，‎ ‎∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，‎ ‎∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.‎ ‎6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)‎ A．2 ‎ B．3‎ C．4 ‎ D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，‎ ‎∵f(x)在x＝－3时取得极值，‎ ‎∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根，‎ ‎∴a＝5，故选D.‎ ‎7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)‎ A．(－3,0)∪(3，＋∞)‎ B．(－3,0)∪(0,3)‎ C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)‎ D．(－∞，－3)∪(0,3)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.‎ 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0‎ ‎∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0‎ 于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示 ‎∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.‎ ‎8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是(　　)‎ A．①② ‎ B．③④‎ C．①③ ‎ D．①④‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.‎ ‎9．(2010·湖南理，5)dx等于(　　)‎ A．－2ln2 ‎ B．2ln2‎ C．－ln2 ‎ D．ln2‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　因为(lnx)′＝，‎ 所以 dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.‎ ‎10．已知三次函数f(x)＝x3－(‎4m－1)x2＋(‎15m2‎－‎2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m的取值范围是(　　)‎ A．m<2或m>4 ‎ B．－4f(b)g(b)‎ B．f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C．f(x)g(b)>f(b)g(x)‎ D．f(x)g(x)>f(a)g(x)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　令F(x)＝ 则F′(x)＝<0‎ f(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数 ‎∴F(x)在R上为递减函数，‎ 当x∈(a，b)时，> ‎∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故应选C.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　取F(x)＝－，‎ 从而F′(x)＝ 则＝F(－1)－F(－2)‎ ‎＝－＋＝－＝.‎ ‎14．若函数f(x)＝的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[答案]　a≥0‎ ‎[解析]　f′(x)＝′＝a＋，‎ 由题意得，a＋≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立，‎ ‎∴a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0.‎ ‎15．(2009·陕西理，16)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．‎ ‎[答案]　－2‎ ‎[解析]　本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．‎ k＝y′|x＝1＝n＋1，‎ ‎∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，‎ 令y＝0，x＝，∴an＝lg，‎ ‎∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ‎＝lg××…×＝lg＝－2.‎ ‎16．如图阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．‎ ‎[答案]　＋ln2‎ ‎[解析]　由，得交点A(1,1)‎ 由得交点B.‎ 故所求面积S＝dx＋dx ‎＝x＋lnx＝＋ln2.‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为，求a的值．‎ ‎[解析]　函数f(x)的定义域为(0,2)，‎ f ′(x)＝－＋a，‎ ‎(1)当a＝1时，f ′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；‎ ‎(2)当x∈(0,1]时，f ′(x)＝＋a>0，‎ 即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.‎ ‎18．(本题满分12分)求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．‎ ‎[解析]　由得x1＝0，x2＝2.‎ 由图可知，所求图形的面积为S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx|＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx.‎ 因为′＝2x－x2，‎ ′＝2x2－4x，‎ 所以S＝－＝4.‎ ‎19．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．‎ ‎[分析]　考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．‎ ‎[解析]　(1)f′(x)＝3x2－‎3a.‎ 因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，‎ 所以即 解得a＝4，b＝24.‎ ‎(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．‎ 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．‎ 当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.‎ 当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；‎ 当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；‎ 当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ 此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．‎ ‎20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋lnx.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求证：当x>1时，x2＋lnx0}，‎ ‎∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．‎ ‎(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，‎ ‎∴g′(x)＝2x2－x－，‎ ‎∵当x>1时，g′(x)＝>0，‎ ‎∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴g(x)>g(1)＝>0，‎ ‎∴当x>1时，x2＋lnx0；当12时f′(x)>0.‎ 所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，‎ 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.‎ 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.‎ ‎22．(本题满分14分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)在区间上递增，在区间上递减，求a的值；‎ ‎(2)当x∈[0,1]时，设函数y＝f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈，求θ的取值范围；‎ ‎(3)在(1)的条件下，是否存在实数m，使得函数g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象与函数y＝f(x)的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m的值；若不存在，试说明理由．‎ ‎[解析]　(1)依题意f′＝0，‎ 由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－32＋‎2a·＝0，即a＝1.‎ ‎(2)当x∈[0,1]时，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－32＋.‎ 由a∈，得∈.‎ ‎①当∈，即a∈时，f′(x)max＝，‎ f(x)min＝f′(0)＝0.‎ 此时0≤tanθ≤.‎ ‎②当∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)时，f′(x)max＝f′(1)＝‎2a－3，f′(x)min＝f′(0)＝0，‎ 此时，0≤tanθ≤‎2a－3.‎ 又∵θ∈[0，π)，∴当3时，θ∈[0，arctan(‎2a－3)]．‎ ‎(3)函数y＝f(x)与g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的图象恰有3个交点，等价于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3个不等实根，‎ ‎∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0，‎ 显然x＝0是其中一个根(二重根)，‎ 方程x2－4x＋(1－m)＝0有两个非零不等实根，则 ‎∴m>－3且m≠1‎ 故当m>－3且m≠1时，函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有3个交点．‎ ‎ ‎