数学卷·2017届上海市闵行区高三下学期质量调研（二模）（2017 9页

闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 试 卷 2017.04‎ ‎（满分150分，时间120分钟）‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．‎ 1. 方程的解是 ． ‎ 2. 已知集合则 ． ‎ 3. 若复数（是虚数单位），且为纯虚数，则实数= ． ‎ 主视图 俯视图 左视图 4. 直线（为参数）对应的普通方程是 ． ‎ 5. 若，且，则的值为 ．‎ 6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ． ‎ 7. 若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 ． ‎ 8. 在约束条件下，目标函数的最大值为 ． ‎ 9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ． ‎ 10. 已知椭圆，其左、右焦点分别为，．若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 ． ‎ 11. 已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量，是坐标原点，则的取值范围是 ． ‎ 12. 已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和___． ‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ 13. 设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为，‎ 所成的角的取值范围为，则“”是“”的 ( ) ‎ ‎(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 ‎(C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 1. 将函数图像上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图像上，则 ( )‎ ‎(A) ，的最小值为 (B) ，的最小值为 ‎ ‎(C) ，的最小值为 (D) ，的最小值为 ‎ x y O ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ x y O x y O x y O 2. 某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )‎ ‎(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）‎ ‎(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）‎ ‎(C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）‎ ‎(D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） ‎ 3. 设函数的定义域是，对于以下四个命题：‎ ‎（1）若是奇函数，则也是奇函数；‎ ‎（2）若是周期函数，则也是周期函数；‎ ‎（3）若是单调递减函数，则也是单调递减函数；‎ ‎（4）若函数存在反函数，且函数有零点，‎ 则函数也有零点．‎ 其中正确的命题共有 ( )‎ ‎(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．‎ A B C M B1‎ C1‎ A1‎ 1. ‎（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 直三棱柱中，底面为等腰直角三角形， ，，, 是侧棱上一点，设．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成的角．‎ 2. ‎（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．‎ 3. ‎（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） ‎ A B C P Q D 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．‎ ‎(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和AC的长度分别为多少米？‎ ‎(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？‎ 1. ‎ (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)‎ ‎ 设直线与抛物线相交于不同两点，与圆相切于点，且为线段的中点．‎ ‎(1) 若是正三角形（为坐标原点），求此三角形的边长；‎ ‎(2) 若，求直线的方程；‎ ‎(3) 试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（只需直接写出结果）．‎ 2. ‎(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分) ‎ 已知是上的奇函数，，且对任意，都成立．‎ ‎(1) 求、的值；‎ ‎(2) 设，求数列的递推公式和通项公式；‎ ‎(3) 记，求的值．‎ 闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试 数学试卷参考答案与评分标准 一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．16； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； ‎ 二. 选择题 13．C； 14．A； 15．B； 16．B．‎ 三. 解答题 ‎ ‎17．[解]（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则,，， ……………………2分 A B C M B1‎ C1‎ A1‎ x y z ‎，‎ ‎ ……………………4分 由得，即 解得． ……………………6分 ‎(2) 解法一：此时 ‎……………8分 设平面的一个法向量为 由得 ‎ 所以 ……………………10分 设直线与平面所成的角为 则 ……………12分 所以 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 解法二：联结，则，‎ ‎，平面 …………………8分 平面 所以是直线与平面所成的角； ……………………10分 在中， ‎ 所以 ……………………12分 所以 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 ‎18．[解]（1）由得 ……………………2分 所以（舍）或， ……………………4分 所以 ……………………6分 ‎（2）由得 ……………………8分 ‎ ……………………10分 而，当且仅当时取等号…12分 所以，所以．………………………………14分 ‎19．[解]（1）设长为米，长为米，依题意得，‎ 即， ………………………………2分 ‎ …………………………4分 ‎=‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米……6分 ‎（2）在(1)的条件下，因为．‎ 由 …………………………8分 得 ‎ …………………………10分 ‎ ‎ ‎， …………………………12分 ‎ 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 解法二：在中， ‎ ‎ ………8分 ‎ 在中，‎ ‎ …………………………10分 在中，‎ ‎= …………12分 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，‎ ‎,即，设 ………8分 由，求得， 所以 …………10分 所以，……………………12分 元 所以，建水上通道还需要万元． …………………………14分 ‎20．[解] (1)设的边长为，则的坐标为………2分 所以所以 此三角形的边长为． ……………………………4分 ‎(2)设直线 当时，符合题意 ……………………………6分 当时， …………………8分 ‎，舍去 综上所述，直线的方程为： ……………………………10分 ‎(3)时，共2条；……………………………12分 时，共4条； ……………………………14分 时，共1条． ……………………………16分 ‎21．[解]（1）对等式，‎ 令 所以 ……………………………2分 令,‎ 所以 ……………………………4分 ‎（2）取，可得，………………6分 即，‎ 所以 所以数列的递推公式为 ……………………………8分 故 ………………10分 所以数列的通项公式为． …………………12分 ‎（3）由（2）代入得 ‎……14分 ‎……16分 则 ……………………………18分