数学（文）卷·2018届河南省漯河高中高三上学期第三次模拟考试（期中）（2017 9页

漯河高中2017—2018学年（上）高三第三次模拟考试 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知集合，则的子集共有 （ ）‎ A．2个 B．4个 C．5个 D．8个 ‎3.在不等式组表示的平面区域内任取一个点，则 的概率为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．与的值有关 ‎5. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.若是第三象限角，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后得到图象对应的函数为偶函数，则的图象 （ ）‎ A．关于点对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．‎ 关于直线对称 ‎8. 如图所示，在边长为1的正方形组成的格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. 若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 设函数，若在上的值域为，其中，且，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知等差数列的前项和为，若，则取最大值的是 ．‎ ‎14. 平面直角坐标系中，，若曲线上存在一点，使 ‎，则称曲线为“合作曲线”，有下列曲线①；②；③；④；⑤，‎ 其中“合作曲线”是 ．（填写所有满足条件的序号）‎ ‎15.在中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知函数分别为图象上任一点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 数列的前项和为，且对任意正整数都有.‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）若，且，求数列的前项和.‎ ‎18. 已知是的三个内角，若向量，‎ 且.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎19.如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由.‎ ‎20. 已知，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）若，求曲线的单调性；‎ ‎（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在极坐标系中，圆的极坐标方程为，若以极点为原点，极轴所在的直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求圆的参数方程；‎ ‎（2）在直线坐标系中，点是圆上的动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标.‎ ‎23.若关于的不等式的解集为，记实数的最大值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若正实数满足，求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AACCC 6-10: BCACC 11、A 12：B 二、填空题 ‎13. 9 14. ①③④ 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）证：当时，，因为，解得，，‎ 当时，，‎ 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，时，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）由已知得,‎ 即,‎ 故，‎ 整理得，‎ 即.‎ ‎（2）因为 ‎，‎ 因为为三角形内角，，‎ 所以，所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 故，所以的最大值为.‎ ‎19.解：（1）因为平面平面，‎ 平面平面，所以平面，‎ 因为平面，所以,‎ 又为圆的直径，所以,‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）如图，取 的中点的中点，连接， ‎ 则 ，‎ 又，所以，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又平面平面，‎ 所以平面，‎ 即存在一点为的中点，使得平面.‎ ‎20.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，由题意得， ‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上有唯一的实数根，且，‎ 当时，，当 时，，‎ 从而当时，取极小值，也是最小值，‎ 由，得，则，‎ 故，所以.‎ ‎21.（1）当时，，，设，‎ 则，当时，，‎ 当时，，所以在单调递增，在上为减函数，‎ 又 ，所以当时，，即，所以在上为减函数，‎ ‎（2）由已知得，则，‎ 记，则，‎ ‎①若，则当时，，故函数在上单调递增，‎ 且当时，，即；当时，，‎ 即，又，所以在处取得极小值不满足题意.‎ ‎②若时，当时，，故函数在上单调递增，‎ 且当时，，即；当时，，‎ 即，又，所以在处取极小值不满足题意.‎ ‎③若，则当时，故在上单调递增；‎ 当时，，故在上单调递减，所以当时，，‎ 即，故在上点掉递减，不满足题意.‎ ‎④若，则，当时，，故在上单调递减，‎ 且当时，，即；当时，，‎ 即，又，所以在处取得极大值，满足题意，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）因为，所以，‎ 即为圆的直角坐标方程，‎ 所以圆的参数方程为为参数）.‎ ‎（2）设，得，‎ 代入，整理得，‎ 则关于的方程必有实数根，所以，‎ 化简得，解得，即的最大值为，‎ 将代入方程得，‎ 解得，代入，得，‎ 故的最大值为时，点的直角坐标为.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，‎ 又因为，所以，‎ 从而实数的最大值.‎ ‎（2）因为 ‎ ‎，‎ 所以，从而，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为.‎