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  • 2021-06-22 发布

山东省平度市第九中学2020届高三上学期期中考试数学试卷

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数学试卷 本试卷共4页,23题.全卷满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,请将答题卡上交。‎ 一、单项选择题:本大题共10小题.每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集为,集合,集合,‎ 则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若点在角的终边上,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知平面向量,,若,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知函数,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若先将函数的图象向左平移个单位,再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍,得到函数的图象,则( )‎ A. B. C. D.‎ A B C D ‎6.函数的部分图象大致为( )‎ ‎7.已知,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设为两个平面,则的充要条件是( )‎ ‎ A.内有一条直线与垂直 B.内有一条直线与内两条直线垂直 ‎ C.与均与同一平面垂直 D.与均与同一直线垂直 ‎9.若函数的一个极大值点为,则( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.英国数学家泰勒发现了如下公式:.‎ 则下列数值更接近的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、多项选择题:本大题共3小题.每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.‎ ‎11.下列结论正确的是( )‎ ‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,,则 ‎12.在正方体中,下列直线或平面与平面平行的是( ) ‎ ‎ A.直线 B.直线 C.平面 D.平面 ‎13.若函数与的图象恰有一个公共点,则实数可能取值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎14.声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).‎ ‎(1)平时常人交谈时的声强约为,则其声强级为 ;‎ ‎(2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,则正常人听觉的声强级范围为 .‎ ‎15.已知等差数列满足:,,则数列的前项和等于 .‎ ‎16.在中,内角所对的边分别为,若的面积,,则的取值范围为 . ‎ ‎17.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且 ‎,则三棱锥的外接球与内切球的半径比为 .‎ 四、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 在中,分别为线段上的点,,,,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求的长度.‎ ‎19.(本题满分14分)‎ 如图,在四棱锥中,底面为梯形,,,,,面面,为的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)在线段上是否存在一点,‎ 使得面?‎ 若存在,请证明你的结论;‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎20.(本题满分14分)‎ 已知数列满足:,,,,.‎ ‎(1)证明:数列为等比数列;‎ ‎(2)证明:数列为等差数列;‎ ‎(3)若数列的前项和为,数列的前项和为,数列的前项和为,证明:.‎ ‎21.(本题满分14分)‎ 图是由菱形,平行四边形和矩形组成的一个平面图形,其中,,,,将其沿折起使得与重合,如图.‎ ‎(1)证明:图2中的平面平面;‎ ‎(2)求图2中点到平面的距离;‎ ‎(3)求图2中二面角的余弦值.‎ 图 图 ‎22.(本题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎23.(本题满分14分)‎ 已知自变量为的函数的极大值点为,,为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:函数有且仅有个零点;‎ ‎(2)若为任意正实数,证明:.‎ 答案及评分标准 一、单项选择题:本大题共10小题.每小题4分,共40分.‎ C B A C C A D A D B ‎ 二、多项选择题:本大题共3小题.每小题4分,共12分.‎ ‎11.BCD; 12.AD; 13.BCD.‎ 三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎14.,; 15.; 16.; 17..‎ 四、解答题:本大题共6小题,共82分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 解:(1)因为,所以 2分 在中由正弦定理知: 5分 又因为为钝角,所以 6分 ‎(2)因为,,所以, 8分 又因为,,,所以,即 9分 在中由余弦定理知:‎ ‎ 11分 ‎ 12分 ‎19. (本小题满分14分)‎ 解:(1)取中点,连接,‎ 且 且 所以四边形为平行四边形 ,‎ 又,‎ 所以四边形为正方形 2分 在中,因为,所以 在中,因为,所以 因为,所以, 4分 因为面,面面,面面 所以面 6分 因为面 所以 7分 ‎(2)线段上存在一点,满足 即为中点时,面 9分 证明如下:连结,因为为的中点, 为中点,所以 又,所以, 12分 因为面,面,所以面 14分 ‎20.(本小题满分14分)‎ 解:(1)因为 2分 又因为, 3分 所以是首项为公比的等比数列 4分 ‎(2)由(1)得: 5分 所以 6分 所以 7分 所以是公差为的等差数列 8分 ‎(3)由(2)知:, 10分 因为,所以 12分 所以 13分 所以 14分 ‎21.(本小题满分14分)‎ 解:(1)由题知,在中:‎ 所以 2分 又在矩形中: 3分 且 ‎ 所以平面 4分 又因为平面 ‎ 所以平面平面 5分 ‎(2)由(1)知:平面,所以 因为菱形中的,所以为等边三角形,,‎ 所以在中: 6分 所以在中, 7分 又因为平面平面,且平面平面 所以平面 8分 又因为平面,所以点到平面的距离为 9分 ‎(3)以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系 所以 10分 由(1)知平面的法向量为, 11分 设平面的法向量,因为,‎ 由,得,取得, 12分 所以,即二面角的余弦值为 14分 ‎22.(本小题满分14分)‎ 解:(1)由题知: 1分 ‎①当时,,在上单调递减,所以无极值 3分 ‎ ‎②当时,由得,所以 ‎ 当时,,在上单调递增;‎ ‎ 当时,,在上单调递减;‎ 所以在时取得极大值 6分 综上:当时,无极值;当时,的极大值为,无极小值 7分 ‎(2)①当时,由(1)知在上单调递减 因为,所以,当时, ‎ 所以时,不存在符合题意的值 9分 ‎②当时,由(1)知:‎ 因为恒成立,所以 11分 令,则,由得 ‎ 当时,,在上单调递减;‎ 当时,,在上单调递增; 13分 所以,所以,因此 14分 ‎23. (本小题满分14分)‎ 解:(1)由题知:,所以 1分 令,,所以在单调递减 2分 又,所以,当时,;当时, ‎ 故在上单调递增;在上单调递减;所以 5分 又因为,‎ 所以在,上各恰有零点,即有且仅有个零点 7分 ‎(2)由题知, 8分 所以,当时,;当时, ‎ 故在上单调递增;在上单调递减;当时,取极大值 因此且 10分 所以,, 11分 设,所以①‎ ‎②‎ ‎①②得: 13分 所以 ,所以,即 14分