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- 2021-06-22 发布
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数学试卷
本试卷共4页,23题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上,并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,请将答题卡上交。
一、单项选择题:本大题共10小题.每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集为,集合,集合,
则( )
A. B. C. D.
2.若点在角的终边上,则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量,,若,则( )
A. B. C. D.
4.已知函数,则( )
A. B. C. D.
5.若先将函数的图象向左平移个单位,再保持图象上所有点的纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍,得到函数的图象,则( )
A. B. C. D.
A
B
C
D
6.函数的部分图象大致为( )
7.已知,则( )
A. B. C. D.
8.设为两个平面,则的充要条件是( )
A.内有一条直线与垂直 B.内有一条直线与内两条直线垂直
C.与均与同一平面垂直 D.与均与同一直线垂直
9.若函数的一个极大值点为,则( )
A. B. C. D.
10.英国数学家泰勒发现了如下公式:.
则下列数值更接近的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题.每小题4分,共12分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.
11.下列结论正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,,则
12.在正方体中,下列直线或平面与平面平行的是( )
A.直线 B.直线 C.平面 D.平面
13.若函数与的图象恰有一个公共点,则实数可能取值为( )
A. B. C. D.
三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
14.声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).
(1)平时常人交谈时的声强约为,则其声强级为 ;
(2)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,则正常人听觉的声强级范围为 .
15.已知等差数列满足:,,则数列的前项和等于 .
16.在中,内角所对的边分别为,若的面积,,则的取值范围为 .
17.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且
,则三棱锥的外接球与内切球的半径比为 .
四、解答题:本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分12分)
在中,分别为线段上的点,,,,,.
(1)求;
(2)求的长度.
19.(本题满分14分)
如图,在四棱锥中,底面为梯形,,,,,面面,为的中点.
(1)求证:;
(2)在线段上是否存在一点,
使得面?
若存在,请证明你的结论;
若不存在,请说明理由.
20.(本题满分14分)
已知数列满足:,,,,.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)证明:数列为等差数列;
(3)若数列的前项和为,数列的前项和为,数列的前项和为,证明:.
21.(本题满分14分)
图是由菱形,平行四边形和矩形组成的一个平面图形,其中,,,,将其沿折起使得与重合,如图.
(1)证明:图2中的平面平面;
(2)求图2中点到平面的距离;
(3)求图2中二面角的余弦值.
图
图
22.(本题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)若,求的值.
23.(本题满分14分)
已知自变量为的函数的极大值点为,,为自然对数的底数.
(1)证明:函数有且仅有个零点;
(2)若为任意正实数,证明:.
答案及评分标准
一、单项选择题:本大题共10小题.每小题4分,共40分.
C B A C C A D A D B
二、多项选择题:本大题共3小题.每小题4分,共12分.
11.BCD; 12.AD; 13.BCD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
14.,; 15.; 16.; 17..
四、解答题:本大题共6小题,共82分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本小题满分12分)
解:(1)因为,所以 2分
在中由正弦定理知: 5分
又因为为钝角,所以 6分
(2)因为,,所以, 8分
又因为,,,所以,即 9分
在中由余弦定理知:
11分
12分
19. (本小题满分14分)
解:(1)取中点,连接,
且
且
所以四边形为平行四边形 ,
又,
所以四边形为正方形 2分
在中,因为,所以
在中,因为,所以
因为,所以, 4分
因为面,面面,面面
所以面 6分
因为面
所以 7分
(2)线段上存在一点,满足
即为中点时,面 9分
证明如下:连结,因为为的中点, 为中点,所以
又,所以, 12分
因为面,面,所以面 14分
20.(本小题满分14分)
解:(1)因为 2分
又因为, 3分
所以是首项为公比的等比数列 4分
(2)由(1)得: 5分
所以 6分
所以 7分
所以是公差为的等差数列 8分
(3)由(2)知:, 10分
因为,所以 12分
所以 13分
所以 14分
21.(本小题满分14分)
解:(1)由题知,在中:
所以 2分
又在矩形中: 3分
且
所以平面 4分
又因为平面
所以平面平面 5分
(2)由(1)知:平面,所以
因为菱形中的,所以为等边三角形,,
所以在中: 6分
所以在中, 7分
又因为平面平面,且平面平面
所以平面 8分
又因为平面,所以点到平面的距离为 9分
(3)以为坐标原点,分别以为轴建立空间直角坐标系
所以 10分
由(1)知平面的法向量为, 11分
设平面的法向量,因为,
由,得,取得, 12分
所以,即二面角的余弦值为 14分
22.(本小题满分14分)
解:(1)由题知: 1分
①当时,,在上单调递减,所以无极值 3分
②当时,由得,所以
当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以在时取得极大值 6分
综上:当时,无极值;当时,的极大值为,无极小值 7分
(2)①当时,由(1)知在上单调递减
因为,所以,当时,
所以时,不存在符合题意的值 9分
②当时,由(1)知:
因为恒成立,所以 11分
令,则,由得
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增; 13分
所以,所以,因此 14分
23. (本小题满分14分)
解:(1)由题知:,所以 1分
令,,所以在单调递减 2分
又,所以,当时,;当时,
故在上单调递增;在上单调递减;所以 5分
又因为,
所以在,上各恰有零点,即有且仅有个零点 7分
(2)由题知, 8分
所以,当时,;当时,
故在上单调递增;在上单调递减;当时,取极大值
因此且 10分
所以,, 11分
设,所以①
②
①②得: 13分
所以 ,所以,即 14分